La décomposition d`un demi-groupe commutatif en ses

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
A LFRED H. C LIFFORD
La décomposition d’un demi-groupe commutatif en ses
composantes archimédiennes
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 15, no 2 (1961-1962), exp. no 20,
p. 1-3
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20-01
Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des nombres)
15e année, 1961/62, n° 20
21 mai 1962
LA DÉCOMPOSITION D’UN DEMI-GROUPE COMMUTATTF
EN SES COMPOSANTES ARCHIMÉDIENNES
par Alfred H. CLIFFORD
décomposition, et sa description explicite (théorèmes 1
dues indépendamment à TAMURA et KIMURA [3], à THIERRIN [4]
L’existence d’une telle
ci-dessous),
et 2
sont
[2].
et à HEWITT et ZUCKERMAN
Ceux-ci vont
plus
dans leur théorie des
décomposition
yer cette
(théorèmes
loin que les autres
5) ~ ayant
3 et
caractères
le but
d’emplo-
demi-groupe
commu-
tatif, qui sera traitée dans ma deuxième conférence. Les deux théories se trouvent
dans "Algebraic theory of semigroups" ([1], § 4.3 et § 5.5), et je m’y réfère pour
les démonstrations des théorèmes.
Soit
(a ,
b
un.
e
D) ,
et
nous
b . C’est
ax =
que
demi-groupe commutatif’. Nous
D
entier
un
D
est
positif
sur
tel que
n
si
a
D
qui
albn.
totalement ordonné est ~rchimédien dans le
tie strictement
Par
un
positive
demi-treillis
que élément
a
Y
de
entendons
nous
est
b
ou
est diviseur de
b
dans
D
s’il existe
Remarquons qu’un groupe abélien
sens
un
idempotent
sens
( a~
=
a . ) Soit ~ :
D .~ Y
D203B1 ~ D03B1 ;
alors
est
p
une
( l, p. a
idempotente
congruence idempotente
D
Y
un
a p. b
si
cp (a) ~
homomorphis-
un
r;
congruence
pour
chaque
D
i
E
qui est ~.ussi
I~
c i est-à-dire
,
D
et
puisque
D . Nous disons que
D
(a
E
Y) .
idempotentes p . 1 (i e I) sur
b veut dire
idempotente :
a g pour chaque i ~ 1 ~ nous en
de toutes les congruences
sur
alors
(relation d’équivalence régulière) qui est
pour chaque a E D ). Inversement, si p est une
D et si Y désigne le demi-groupe quotient D/p ,
sur
demi-treillis
L’intersection
une
sur
D)
b E
qui est image homomorphe de
réunion du demi-treillis Y de sous-demi-groupes
est
est la
est
(a .~
congruence
aussi
alors
tel que cha-
Y
= w ..1 (a) ;
p b
G
défini ci-dessus.
demi-groupe commutatif
d’un
a
tel
usuel si et seulement si la par-
demi-groupe D sur un demi-treillis Y . Posons D
Y . En particulier,
D
D c D A pour chaque
que chaque D a est sous-demi-groupe de D . Si nous définissons
me
x
est
est archimédienne dans le
G
de
=
a
réflexive, transitive, et réguarchimédien si, pour chaque a , b E D , il
relation
une
lière. Nous disons que
existe
a~b ,
écrivons
disons que
D
déduisons que
ences
D
a
a ~La
r)
idempotentes
dans le
D , et D/rj est le
demi-treillis, qui est
sur
sens :
un
de
image homomorphe
,
plus fine de toutes les congrudemi-treillis homomorphe maximum de
image homomorphe de D , est aussi
est la
congruence 11
B.
THEOREME 1. -
(a ,
n b
a
diviseur d’une
convenables
~
la
’
idempotente
fine congruence
plus
’
’
’
sur un
demi-groupe
D.
commutatif
Alors
Soit ~
b
puissance
est
positifs
pour des entiers
et
de l’autre
a ~ b
n ).
et
m
si et seulement si chacun des éléments
D)
e
,
peut être exprimé (et d’une seule
façon) comme la réunion d’un demi-treillis Y de demi-groupes archimédiens
D (a e Y) . Le demi-treillis Y est isomorphe au demi-treillis homomorphe maTHEOREME 2. - Tout
D/r]
ximum
de
(a
D
et les
D ,
D
demi-groupe commutatif
~
Y)
’
sont les classes
d’équivalence
’
de
’
D mod r) .
Nous
(qui
D
les
appelons
uniques)
sont
Nous disons qu’un demi-groupe commutatif
é
(Pour
la raison de
,
ce
=
b2
terme,
(a ,
ab
=
composantes archimédiennes de
les
D
b
séparatif
est
D)
e
implique
D.
si
a
=
b
.
conférence.)
voir la deuxième
~
THEOREME 3. - Un
~es composantes archimédiennes sont
Pour la théorie des
D
commutatif
demi-groupe
caractères,
est
séparatif
si et seulement si
simplifiables.
important est celui d’un demi-groupe qui
est réunion de groupes. Je rappelle à ce sujet un théorème que j’ai donné autrefois (Annals of Math. , 42(1941) p. 1037-1049 ; théorème 4.Il , p. 128, dans notre
un cas
livre).
~
t
THEORÈME 4. - Soit
D
un demi-groupe qui
ments neutres commutent les
demi-treillis
a ~
De
plus,
alors
Y
Y}
les
des
e
est
un
uns
de groupes
idempotents
avec
G
les autres. Alors
(a e Y) .
de
D ,
sont dans le centre de
homomorphisme
est réunion de groupes dont les élé-
de
Ga
e
Y
est
D
est la réunion d’un
isomorphe
au
demi-treillis
désignant l’élément neutre
D ~ et si nous définissons
dans
de
entraîne
G .
20-03
Inversement,
Y
sur un
si
ensemble de
03C603B103B2 : G03B1 ~
G (a > )
produit associatif
un
application biunivoque a Ga d’un demi-treillis
groupes disj oints, et un système d’homomorphismes
satisfaisant à (1) , alors (2) définit dans D = ~ G
nous avons une
tel que le
les éléments neutres commutent les
Les
G a.
THEOREME 5. - Un
est réunion des groupes
Ga
dont
les autres.
uns avec
sont les sous-groupes maximaux de
archimédiennes de
commutatif
D
demi-groupe
D ,
et
en
même temps les
composantes
D .
demi-groupe commutatif
qui e st réunion
D
peut être plongé
de groupe s si et seulement si
D
demi-groupe
séparatif.
dans
e st
un
BIBLIOGRAPHIE
[1]
CLIFFORD (A. H.) and PRESTON (G. B.). - Algebraic theory ofsemigroups.
Vol. 1. - Providence, American mathematical Society, 1961 (Mathematical
Surveys, 7).
[2]
[3]
[4]
HEWITT (E. ) and ZUCKERMAN (H. S.). - The l1-algebra of a commutative semigroup, Trans. Amer. math. Soc., t. 83,
p. 70-97.
TAMURA (T.) and KIMURA (N.). - On decompositions of a commutative semigroup,
Kodai math. Sem. Rep., t. 6, 1954, p. 109-112.
1956,
THIERRIN (Gabrzel). - Sur quelques propriétés de certaines classes de demigroupes, C. R. Acad. Sc. Paris, t.
1954, p. 1335-1337.
239,