Corrigés des exercices de trigonométrie I. Résoudre algébriquement des équations, des inéquations Pour les exercices suivants, on utilisera le cercle trigonométrique Exercice 1 Résoudre dans l’intervalle [ 0 ; 2π ] l’équation cos x = − 2 . 2 Correction : 3π 5π ; 4 4 Les solutions sont S = Exercice 2 € Résoudre dans l’intervalle [ 0 ; 2π ] l’équation sin x = Correction : π 2π 3 3 Les solutions sont S = ; € 3 . 2 Exercice 3 Résoudre dans l’intervalle ] − π ; π ] l’équation cos x = 1 . 2 Correction : π π 3 3 Les solutions sont S = − ; Exercice 4€ Résoudre dans l’intervalle ] − π ; π ] l’équation sin x = − Correction : Exercice 5 2 . 2 Résoudre dans l’intervalle ] − π ; π ] l’inéquation cos x > 2 . 2 Correction : π π ; 4 4 Les solutions sont − € Exercice 6 Résoudre dans l’intervalle ] − π ; π ] l’inéquation sin x ≤ Correction : π 3π Les solutions sont −π ; ∪ ; π 4 4 € Exercice 7 2 . 2 Résoudre dans l’intervalle [ 0 ; 2π ] l’inéquation sin x < 1 . 2 Correction : Exercice 8 Résoudre dans l’intervalle [ 0 ; 2π ] l’inéquation cos x > 0 . Correction : π 3π L’ensemble des solutions est 0; ∪ ; 2π 2 2 € II. Résoudre graphiquement des équations Exercice 9 On a tracé sur l’intervalle [ 0 ; 2π ] la représentation graphique de la fonction cosinus. Résoudre graphiquement dans l’intervalle [ 0 ; 2π ] l’équation cos x = 1 . 2 Correction : Graphiquement, on lit que les solutions sont x1 ≈ 1,05 (soit x1 = € π 3 ) et x 2 ≈ 5, 25 (soit x 2 = € € 5π ). 3 € Exercice 10 On a tracé sur l’intervalle ] − π ; π ] la représentation graphique de la fonction sinus. Résoudre graphiquement dans l’intervalle ] − π ; π ] l’équation sin x = − 3 . 2 Correction : Graphiquement, on lit que les solutions sont x1 ≈ −1,05 (soit x1 = − € € € π 3 ) et x 2 ≈ −2,1 (soit x 2 = − € 2π ). 3 III. Etudier le signe d’une expression Exercice 11 On considère la fonction définie sur [ 0 ; 2π [ par f ( x) = 2 sin x + 1 . a. Résoudre, en utilisant le cercle trigonométrique, l’inéquation sin x > − 1 sur l’intervalle 2 [0 ; 2π [ . b. En déduire le signe de f ( x) sur [ 0 ; 2π [ . Correction : a. L’ensemble des solutions de 1 l’inéquation sin x > − sur 2 7π 11π [0 ; 2π [ est 0 ; ∪ ; 2π 6 6 b. 1 f ( x) > 0 ⇔ 2sin x + 1 > 0 ⇔ 2sin x > −1 ⇔ sin x > − . 2 On en déduit alors le signe de f ( x ) sur [ 0 ; 2π [ , en utilisant a. : x 7π 6 0 + f ( x) 0 11π 6 _ 0 2π + Exercice 12 On considère la fonction définie sur ] −π ;π ] par f ( x) = 2 cos x − 3 . a. Résoudre, en utilisant le cercle trigonométrique, l’inéquation cos x > ] −π ; π ]. 3 sur l’intervalle 2 b. En déduire le signe de f ( x) sur ] − π ; π ] . Correction : a. L’ensemble des solutions de 3 sur 2 π 11π [0 ; 2π [ est 0 ; ∪ ; 2π 6 6 l’inéquation cos x > b. f ( x) > 0 ⇔ 2 cos x − 3 > 0 ⇔ 2 cos x > 3 ⇔ cos x > 3 . 2 On en déduit alors le signe de f ( x ) sur [ 0 ; 2π [ , en utilisant a. : x f ( x) π 0 11π 6 6 + 0 _ 2π 0 + Exercice 13 On considère la fonction définie sur a. Résoudre dans ] − π ; π ] −π ;π ] par ] l’équation cos 2 x + b. En déduire le signe de f ( x) sur ] − π ; π ] . Correction : π f ( x) = cos 2 x + . 3 π = 0. 3 π π π π π cos 2 x + = 0 ⇔ 2 x + = + k 2π ou 2 x + = − + k 2π (k ∈ Z ) 3 3 2 3 2 ⇔ 2x = ⇔ 2x = π 2 π 6 π 3 + k 2π ou 2 x = − + k 2π ou 2 x = − π 2 − π 3 + k 2π (k ∈ Z ) 5π + k 2π (k ∈ Z ) 6 5π + kπ ( k ∈ Z ) 12 12 11π 5π π 7π Dans l’intervalle ] − π ; π ] , les solutions sont − . ;− ; ; 12 12 12 12 ⇔ x= Sur l’intervalle −π ; − π − 11π 12 + kπ ou x = − , 11π 11π π π 11π π puis − 2π < 2 x < − et − 2π + < 2 x + < − + donc 12 6 3 3 6 3 π 7π π 3π − < 2x + < − et cos 2 x + > 0 ; 3 3 2 3 −π < x < − 11π 5π Sur l’intervalle − ;− , 12 12 11π 5π 11π 5π 11π π π 5π π < x <− puis − < 2x < − et − + < 2x + < − + donc 12 12 6 6 6 3 3 6 3 π 3π π π − < 2 x + < − et cos 2 x + < 0 ; 2 3 2 3 − 5π π ; , 12 12 5π π 5π π 5π π π π π puis − et − − <x< < 2x < + < 2 x + < + donc 12 12 6 6 6 3 3 6 3 Sur l’intervalle − − π 2 < 2x + π 3 < π 2 π et cos 2 x + π >0 ; 3 7π Sur l’intervalle ; , 12 12 π 7π π 7π π π π 7π π puis < 2 x < et + < 2 x + < + donc 12 12 6 6 6 3 3 6 3 π π 3π π et cos 2 x + < 0 ; < 2x + < 2 3 2 3 <x< 7π Sur l’intervalle ; π , 12 7π 7π 7π π π π < x < π puis < 2 x < 2π et + < 2 x + < 2π + donc 12 6 6 3 3 3 3π π 7π π et cos 2 x + > 0 . < 2x + < 2 3 3 3 On peut alors résumer ces résultats : x −π f ( x) IV. − + 11π 12 0 − - 5π 12 0 π 7π 12 12 + 0 - 0 π + Utiliser la parité et la périodicité des fonctions sinus et cosinus Exercice 14 On considère la fonction f définie sur par f ( x ) = x sin x . Démontrer que f est paire. Correction : La fonction f est définie sur par f ( x ) = x sin x . Pour tout réel x, f ( − x ) = ( − x ) sin( − x ) , or sin( − x ) = − sin x , donc f (− x) = − x(− sin x) = x sin x = f ( x) ; la fonction f est donc paire. Exercice 15 On considère la fonction f définie sur par f ( x ) = x + sin x . Démontrer que f est impaire. Correction : La fonction f est définie sur par f ( x ) = x + sin x . Pour tout réel x, f ( − x) = − x + sin( − x ) ; or sin( − x ) = − sin x , donc f (− x) = − x − sin( x) = − ( x + sin x ) = − f ( x) ; la fonction f est donc impaire. Exercice 16 On considère la fonction f définie sur par f ( x ) = sin 2 x . Démontrer que f est périodique de période π . Correction : La fonction f est définie sur par f ( x ) = sin 2 x . Pour tout réel x, f ( x + π ) = sin(2( x + π )) = sin(2 x + 2π ) ; or sin(a + 2π ) = sin a , donc f ( x + π ) = sin(2 x) = f ( x) ; la fonction f est donc périodique de période π . Exercice 17 x π + . Démontrer que f est périodique de 3 4 On considère la fonction f définie sur par f ( x) = cos période 6π . Correction : x π + . 3 4 La fonction f est définie sur par f ( x) = cos x + 6π π x 6π π x π + = cos + + = cos + + 2π , or 4 3 3 3 4 3 4 x π cos(a + 2π ) = cos a , donc f ( x + 6π ) = cos + = f ( x) ; la fonction f est donc périodique 3 4 de période 6π . Pour tout réel x, f ( x + 6π ) = cos V. Etudier des limites Exercice 18 Etudier la limite en 0 de la fonction f définie sur * par f ( x ) = 3sin x . x Correction : La fonction f est définie sur * par f ( x ) = f ( x) = 3 × 3sin x . x sin x sin x sin x , or on sait d’après le cours que lim = 1 , donc par produit : lim 3 =3 x→0 x →0 x x x Exercice 19 Etudier la limite en 0 de la fonction f définie sur * par f ( x ) = cos x − 1 . 2x Correction : La fonction f est définie sur * par f ( x) = cos x − 1 . 2x cos x − 1 1 cos x − 1 cos x − 1 , or on sait d’après le cours que lim = × = 0 , donc par produit : x→0 2x 2 x x cos x − 1 lim =0. x→0 2x f ( x) = Exercice 20 Etudier la limite en +∞ de la fonction f définie sur par f ( x ) = sin x − x . Correction : La fonction f est définie sur par f ( x ) = sin x − x . On sait que, pour tout réel x, −1 ≤ sin x ≤ 1 , donc −1 − x ≤ sin x − x ≤ 1 − x , puis f ( x ) ≤ 1 − x . lim (1 − x ) = −∞ , donc d’après le théorème de comparaison, lim f ( x ) = −∞ . x →+∞ x →+∞ Exercice 21 Etudier la limite en −∞ de la fonction f définie sur par f ( x ) = cos 2 x + x . Correction : La fonction f est définie sur par f ( x ) = cos 2 x + x . On sait que, pour tout réel x, −1 ≤ cos(2 x ) ≤ 1 , donc −1 + x ≤ cos(2 x) + x ≤ 1 + x , puis f ( x ) ≤ 1 + x . lim (1 + x ) = −∞ , donc d’après le théorème de comparaison, lim f ( x ) = −∞ . x →−∞ VI. x →−∞ Calculer des dérivées Exercice 22 On considère la fonction définie sur par f ( x ) = x sin x . Calculer f '( x ) . Correction : La fonction est définie sur par f ( x ) = x sin x . u ( x) = x v( x) = sin x On remarque que f = u × v avec ; u '( x) = 1 ; ; v '( x) = cos x Pour tout réel x, f '( x) = 1× sin x + x × cos x = sin x + x cos x . Exercice 23 On considère la fonction définie sur * par f ( x) = cos x . Calculer f '( x ) . x Correction : cos x . x ; u '( x) = − sin x u ( x) = cos x u On remarque que f = avec ; ; v '( x) = 1 v v ( x ) = x La fonction est définie sur * par f ( x) = Pour tout réel x, f '( x) = −(sin x) × x − cos x − x sin x − cos x . = x2 x2 Exercice 24 On considère la fonction définie sur par f ( x) = sin(2 x) . Calculer f '( x ) . Correction : La fonction est définie sur par f ( x) = sin(2 x) . On remarque que f = sin u avec u ( x) = 2 x ; u '( x) = 2 ; On sait que ( sin u ) ' = u 'cos u , donc pour tout réel x, f '( x) = 2 cos(2 x) . Exercice 25 x π + . Calculer f '( x ) . 2 3 On considère la fonction définie sur par f ( x) = cos Correction : x π + . 2 3 La fonction est définie sur par f ( x) = cos On remarque que f = cos u avec u ( x) = x π 1 + ; u '( x) = ; 2 3 2 1 2 x π + . 2 3 On sait que ( cos u ) ' = −u 'sin u , donc pour tout réel x, f '( x) = − sin VII. Etude d’une fonction Exercice 26 1 3 . 2 2 Vérifier que f ′( x ) = sin( x ) [ 2 cos( x ) − 1] et en déduire le signe de f ′( x ) sur [ 0; π ] . Soit f la fonction dérivable sur [ 0; π ] , définie par f ( x ) = − cos(2 x ) + cos( x ) + Dresser le tableau de variation de f sur [ 0; π ] Correction : 1 2 Elle est dérivable sur [ 0; π] et pour tout x de [ 0; π] , La fonction est définie sur [ 0; π] , par f ( x) = − cos(2 x) + cos( x) + 3 . 2 1 f '( x) = − (−2 sin(2 x)) − sin( x) 2 = sin(2 x) − sin( x) = 2sin( x) cos( x) − sin( x) = sin( x) [ 2 cos( x) − 1] Sur [ 0; π] , sin( x) est positif et s’annule en 0 et en π ; f '( x) est donc du signe de 2 cos( x) − 1 . Sur [ 0; π] , 2 cos( x) − 1 = 0 ⇔ cos( x) = 2 cos( x) − 1 > 0 ⇔ cos( x) > 1 π ⇔ x = et 2 3 1 π ⇔0≤ x< . 2 3 On en déduit le tableau de variation de f : x π 0 f '( x) π 3 0 + 0 - 0 9 4 f 2 0 VIII. Pour aller plus loin….Etude de la fonction tangente Exercice 27 1. Définition La fonction tangente, notée tan, est la fonction définie pour tout réel x différent de − k entier, par tan x = 2 + kπ , avec sin x . cos x Valeurs particulières à connaître : Compléter le tableau suivant x 0 tanx π π π π 6 4 3 π 2. Propriétés a. Montrer que, pour tout réel x différent de − π 2 + kπ , avec k entier, tan( x + π ) = tan x . La fonction tangente est donc périodique de période π . b. Montrer que, pour tout réel x différent de − π 2 + kπ , avec k entier, tan(−π ) = tan x . La fonction tangente est donc impaire. π On peut alors réduire l’intervalle d’étude de la fonction tangente à l’intervalle 0 ; . 2 3. Etude de la fonction tangente a. Montrer que : lim tan x = +∞ . x→ x< π 2 π 2 La droite d’équation x = π 2 est donc asymptote à la courbe représentant la fonction tangente. π b. La fonction tangente est dérivable sur 0 ; (quotient de deux fonctions dérivables sur 2 π π 0 ; 2 , le dénominateur ne s’annulant pas sur 0 ; 2 ). π 1 Montrer que, pour tout x de 0 ; , tan'( x) = = 1 + tan 2 x . 2 2 cos x π En déduire le sens de variation de la fonction tangente sur 0 ; . 2 c. Tracer la courbe représentative de la fonction tangente sur [ − 2π ; 2π ] . Correction : 1. x 0 tanx 0 π π π π 6 4 3 3 3 1 + kπ , avec k entier, 2 sin( x + π ) − sin x tan( x + π ) = = = tan x . cos( x + π ) − cos x 2. a. Soit x un réel différent de − 3 π 0 b. Soit x un réel différent de − tan(− x) = π 2 + kπ , avec k entier, sin(− x) − sin x = = − tan x cos(− x) cos x 3. a. lim sin x = 1 et lim cos x = 0 avec cos x > 0 , lorsque x ∈ 0 ; x→ π x→ 2 π 2 π 2 . Donc : lim tan x = +∞ . x→ x< π 2 π 2 La droite d’équation x = π 2 est donc asymptote à la courbe représentant la fonction tangente. π b.La fonction tangente est dérivable sur 0 ; (quotient de deux fonctions dérivables sur 2 π π 0 ; 2 , le dénominateur ne s’annulant pas sur 0 ; 2 ). π cos x × cos x − sin x × (− sin x) cos 2 x + sin 2 x 1 = = Et pour tout x de 0 ; , tan'( x ) = 2 2 2 cos x cos x cos 2 x et tan'( x ) = cos 2 x + sin 2 x cos 2 x sin 2 x = + = 1 + tan 2 x . 2 2 2 cos x cos x cos x π Pour tout x de 0 ; , tan’(x) > 0. La fonction tangente est strictement croissante sur 2 π 0 ; 2 . Courbe