Chapitre 5 — Généralités sur les fonctions d`une variable réelle

Lycée Jean Bart – PCSI – Année 2013-2014 – 10 octobre 2013
Chapitre 5 — Généralités sur les fonctions d’une variable
réelle — Compléments et illustrations
Les objectifs de ce chapitre sont de revoir certaines propriétés des “anciennes” fonctions usuelles, et de définir les
“nouvelles” fonctions usuelles. Explicitement, nous étudierons :
A. les fonctions logarithme népérien, logarithme de base a, exponentielle, exponentielle de base a, puissances (que
vous avez déjà rencontrées en Terminale).
B. les fonctions cosinus hyperbolique (ch), sinus hyperbolique (sh) et tangente hyperbolique (th) (déjà étudiées dans
un exercice récent).
C. les fonctions circulaires réciproques : les fonctions arc cosinus (arccos), arc sinus (arcsin) et arc tangente (arctan)
(déjà rencontrées dans d’autres disciplines il me semble. . . ).
Conventions : tout au long de ces lignes, I désignera un intervalle non-vide de R, et K désignera l’ensemble R ou
l’ensemble C.
I — Généralités sur les fonctions
Nous rappelons rapidement les définitions et propriétés que nous utiliserons au cours de ce chapitre.
Définition 1. Une fonction f : I −→ K est dite paire si son ensemble de définition Df est symétrique par
rapport à zéro, et si on a : f (−x) = f (x) pour tout x ∈ Df . La courbe représentative dans un repère orthonormal
d’une telle fonction est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Définition 1-bis. Une fonction f : I −→ K est dite impaire si son ensemble de définition Df est symétrique
par rapport à zéro, et si on a : f (−x) = −f (x) pour tout x ∈ Df . La courbe représentative dans un repère
orthonormal d’une telle fonction est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Exemples de fonctions paires
2
−2
1
−
→
j
0
→ 1
−1
0−
i
−1
2
2
−2
−2
1
−
→
j
0
→ 1
−1
0−
i
−1
2
2
1
−
→
j
0 →
−4 −3 −2 −1 0−
i 1
−1
2
3
−2
−2
La fonction cosinus (définie sur R
par ex)
Les fonctions constantes (définies
sur R par ex)
La fonction “x2 ” (et plus
généralement “xn ” avec n pair)
définie sur R
4
2
Chapitre 5 — Fonctions usuelles — 10 octobre 2013
Exemples de fonctions impaires
2
−2
1
−
→
j
0
→ 1
−1
0−
i
−1
2
−2
2
−2
2
1
−
→
j
0
→ 1
−1
0−
i
−1
2
1
−
→
j
0 −
−4 −3 −2 −1 0→
i 1
−1
2
3
−2
−2
La fonction sinus
La fonction “x3 ” (et plus
généralement “xn ” avec n impair)
1
La fonction inverse “ ”
x
• Enfin, il existe des fonctions ni paires ni impaires : toutes les précédentes dès que l’on restreint leur ensemble de
définition à une partie de R non symétrique par rapport à zéro ; et puis les fonctions racine carrée, logarithme, exponentielle
(sur leurs ensembles de définitions usuels). . .
Théorème 1. Soit D une partie de R symétrique par rapport à zéro. Toute fonction f définie sur D et à
valeurs dans R s’écrit de manière unique comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire (toutes
deux définies sur D).
Ù
Démonstration en classe
Le théorème affirme donc que pour f : D −→ R (avec D symétrique par rapport à zéro), il existe deux fonctions
g, h : D −→ R avec g paire et h impaire telles que : f = g + h. En outre, cette décomposition est unique.
Définition 2. Une fonction f : I −→ R est dite de classe C 1 sur I si f est dérivable sur I, et si f ′ est
continue sur I. On note C 1 (I, R) l’ensemble des fonctions de classe C 1 sur R.
Cette définition appelle déjà quelques commentaires et exemples.
+ Tout d’abord, rappelons que la continuité et la dérivabilité d’une fonction sont des notions locales, ce qui signifie en
clair que f est continue (resp. dérivable) sur I si elle est continue (resp. dérivable) en tout a ∈ I. Et (on ne sait jamais),
on dit que f est continue en a ∈ I si :
lim f (x) = f (a) =
x−
−−→a
x<a
lim f (x)
x−
−−→a
x>a
et que f est dérivable en a ∈ I si le taux d’accroissement :
f (a + h) − f (a)
h
a une limite finie lorsque h tend vers 0 ; lorsque c’est le cas, on note : f ′ (a) = lim
h→
−0
propriété :
f (a + h) − f (a)
. On a alors la célèbre
h
Propriété 1. Soit f : I −→ R une fonction, et a ∈ I.
SI f est dérivable en a (resp. sur I), ALORS f est continue en a (resp. sur I).
(réciproque fausse)
Les contre-exemples les plus célèbres à la réciproque, c’est-à-dire les fonctions qui sont continues sur un intervalle mais pas
dérivables sur le même intervalle sont la fonction valeur absolue (continue sur R, mais pas dérivable en 0) et la fonction
racine carrée (continue sur R+ , mais dérivable seulement sur R∗+ ).
+ Exemple 1. Les fonctions polynomiales, cosinus, sinus, exponentielle sont de classe C 1 sur R.
4
Chapitre 5 — Fonctions usuelles — 10 octobre 2013
3
+ Exemple 2. La fonction logarithme népérien est de classe C 1 sur R∗+ .
+ Exemple 3. La fonction inverse est de classe C 1 sur R∗ .
+ Exemple 4. La fonction valeur absolue est continue (de classe C 0 ) sur R, mais évidemment pas de classe C 1 sur R
puisqu’elle n’est même pas dérivable en 0. La fonction g : x 7−→ x |x| /2 est dérivable sur R, mais pas de classe C 1 sur R
puisque sa dérivée (qui est la fonction valeur absolue) n’est pas dérivable sur R.
Dans un autre registre :
Théorème 2 (existence de primitives). Toute fonction à valeurs réelles continue sur I admet une (donc
une infinité) primitive sur I.
Et enfin, pour revenir à un thème plus récent :
Théorème 3 (“théorème de la bijection”). Soit f : I −→ R une fonction à valeurs réelles. Si f est
continue et strictement monotone sur I, alors f réalise une bijection de I sur f (I).
Ce théorème est une retraduction (avec le mot “bijection”) d’une propriété que vous avez déjà rencontrée en Terminale
(conséquence du théorème des valeurs intermédiaires). C’est l’occasion de rappeler que la phrase “f est une bijection” n’a
absolument aucun sens, tant que vous ne précisez pas l’ensemble de définition et l’ensemble d’arrivée de la fonction f . En
effet, la fonction carrée (x 7−→ x2 ) n’est pas du tout une bijection de R sur R, ∗ mais elle réalise une bijection de R+ sur
R+ (ou de [0; 2] sur [0; 4], ou de [−3; −1] sur [1; 9]. . . ).
C’est aussi l’occasion d’insister sur l’importance des hypothèses dans un théorème, et dans le
cas présent d’insister sur l’hypothèse de continuité. La courbe ci-contre représente la fonction
de la fonction f définie sur [0; 3] par
∀ x ∈ [0; 3] , f (x) =
x
+ E (x)
2
9
La fonction f est strictement croissante sur [0; 3], avec f (0) = 0 et f (3) = , mais f
2
[
]
9
ne réalise pas pour autant une bijection de [0; 3] sur 0;
(puisque par exemple 1 n’a pas
2
d’antécédent par f ). Comme vous l’avez compris, tout le problème vient de la non-continuité
de f sur [0; 3]. Pour enfoncer le clou, on peut observer que l’image de l’intervalle [0; 3] par f
n’est pas un seul intervalle, mais la réunion de plusieurs intervalles disjoints (et non-vides).
Enfin, pour achever ces rappels, quelques considérations géométriques.
Propriété 2. Dans un repère orthonormal du plan, les points de coordonnées (x; y) et (y; x) sont symétriques
par rapport à la première bissectrice des axes (la droite d’équation y = x).
La figure ci-contre illustre cette propriété dont la démonstration n’est pas trop ardue.
On choisit un point M (x; y) quelconque du plan, et on note M ′ le point de coordonnées
(y; x). Il s’agit alors de prouver (par exemple) que le milieu K de [M M ′ ] appartient à
−−−→
∆ (la droite d’équation y = x), et que M M ′ est orthogonal à un vecteur directeur de
∆.
Evidemment, si M appartient à ∆, la propriété est évidente.
Et si M ∈
/ ∆, on note que les coordonnées de K sont ((x + y)/2; (x + y)/2), ce qui
−−−→
−−−→
assure que K ∈ D ; et celles de M M ′ sont ((y − x); (x − y)), ce qui prouve que M M ′
est un vecteur normal de ∆, d’où la propriété dans ce second cas.
Conséquence. Soit f : I −→ J une fonction bijective, et f −1 : J −→ I sa réciproque. Dans un repère
orthonormal du plan, les courbes représentatives de f et de f −1 sont symétriques par rapport à la première
bissectrice des axes.
∗. Pourquoi au fait ?
4
Chapitre 5 — Fonctions usuelles — 10 octobre 2013
Par exemple, la fonction carrée réalise une bijection de R+ sur R+ , † et sa réciproque
est la fonction racine carrée. Les courbes représentatives de ces deux fonctions dans un
repère orthonormal du plan sont deux “demi”-paraboles symétriques par rapport à la
première bissectrice des axes.
L’idée de la preuve est encore simple : tout point sur la courbe représentative de f a des
coordonnées “de la forme” (x; f (x)) (pour un certain réel x). Et le point de coordonnées
(f (x) , x) appartient à la courbe représentative de f −1 puisque f −1 (f (x)) =( x. Récipro)
quement, un
sur )la courbe représentative de f −1 a pour coordonnées
x; f −1 (x) ,
( point
(
)
et le point f −1 (x) ; x appartient à la courbe de f puisque f f −1 (x) = x.
Ces rappels faits, nous pouvons entrer dans le vif du sujet.
II — Fonctions logarithme néperien et fonction exponentielle
Nous irons assez vite sur ces fonctions que vous connaissez parfaitement.
La fonction logarithme népérien
La fonction exponentielle
ä Dérivabilité : la fonction x 7−→ ln x est définie et
dérivable sur R∗+ . Sa dérivée est donnée par :
ä Dérivabilité : la fonction x 7−→ ex est définie et dérivable sur R. Sa dérivée est donnée par :
∀ x ∈ R∗+ ,
ln′ x =
1
x
∀ x ∈ R,
ä Sens de variation : strictement croissante sur R∗+ .
ä Limites aux bornes :
lim ln x = +∞ et
x−
→+∞
lim ln x = −∞
x>0
x−
−−→0
(asymptote verticale d’équation x = 0).
+∞
0
ä Sens de variation : strictement croissante sur R.
ä Limites aux bornes :
lim ex = +∞ et
x→
− +∞
lim ex = 0
x−
→−∞
(asymptote horizontale d’équation y = 0).
ä Tableau de variation :
ä Tableau de variation :
x
e′ (x) = ex
x
−∞
+∞
+∞
e
ln x
−∞
+∞
x
0
ä Bijection : la fonction ln induit une bijection de R∗+
vers R et de plus :
ä Bijection : la fonction exp induit une bijection de R
vers R∗+ et de plus :
( )2
∀ (x, y) ∈ R∗+ , ln (x × y) = ln (x) + ln (y)
∀ (x, y) ∈ R2 , ex+y = ex × ey
Chapitre 5 — Fonctions usuelles — 10 octobre 2013
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Enfin vous savez que ces deux fonctions sont réciproques l’une de l’autre,
ce qui se traduit par les identités suivantes (et on prendra bien garde aux
domaines de validité respectifs de ces identités) :
∀ x ∈ R∗+ , eln x = x
∀ x ∈ R, ln (ex ) = x
et
Sur la figure ci-contre sont tracées les courbes représentatives des fonctions logarithme népérien et exponentielle, dans un repère orthonormé
du plan.
Conformément à une remarque faite en préambule, ces courbes sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
Remarque : ce que l’on a passé sous silence ici, c’est la façon dont on définit les fonctions ln et exponentielle. L’idée est qu’il
suffit d’en définir une des deux, puis prouver que c’est une bijection d’un intervalle sur un autre, pour obtenir l’existence
de l’autre fonction comme bijection réciproque de la première. Oui, mais par laquelle commencer ? En Terminale, vous
avez sans doute défini en premier la fonction exponentielle, comme unique solution de l’équation différentielle y ′ = y
avec la condition initiale y(0) = 1. ‡ Rien n’empêche a priori de commencer “dans l’autre sens”, c’est-à-dire par ln, en la
définissant comme l’unique primitive sur R∗+ s’annulant en 1 de la fonction inverse. Il “suffit” alors de savoir que toute
fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle (théorème 2 de ces notes). Mais ce qui devient
plus difficile, si l’on adopte ce point de vue, c’est la démonstration des propriétés algébriques de la fonction ln.
III — Fonctions logarithmes de base a
Définition 3. Soit a un réel strictement positif et différent de 1. On appelle fonction logarithme de base
a et on note loga la fonction définie sur R∗+ par :
∀ x ∈ R∗+ , loga (x) =
ln x
ln a
Si l’enseignement de la Chimie n’a pas trop changé depuis mon époque, il me semble que vous devez y utiliser à tour de
bras la fonction logarithme en base 10 (notée donc log10 ) pour calculer des pH par exemple.
On peut par ailleurs observer que la fonction loga est obtenue en multipliant ln par une constante : 1/ ln a. Or cette
constante peut être strictement positive (lorsque a > 1) ou strictement négative (lorsque a < 1). On doit donc distinguer
deux cas :
+
Si a > 1 : la fonction loga est strictement croissante sur R∗+ et on a
lim loga x = −∞
x−
→0
et
>
+
lim
x−
→+∞
>
loga x = +∞
Si 0 < a < 1 : la fonction loga est strictement décroissante sur R∗+ et on a
lim loga x = +∞
x−
→0
>
et
lim
x−
→+∞
>
loga x = −∞
En revanche dans tous les cas, la fonction loga réalise une bijection qui “transforme les produits en seommes”. Plus
précisément :
Propriété 3. Soit a un réel strictement positif, et a ̸= 1.
La fonction loga : x 7−→ loga x réalise une bijection R∗+ vers R, et en outre :
( )2
∀ (x, y) ∈ R∗+ , loga (x × y) = loga (x) + loga (y)
‡. L’aspect frustrant de cette approche étant que l’on est alors “obligé” (en Terminale en tout cas) d’admettre l’existence d’une solution de
l’équation différentielle y ′ = y (théorème de Cauchy).
6
Chapitre 5 — Fonctions usuelles — 10 octobre 2013
La démonstration de cette propriété est, si l’on s’appuie sur les propriétés précédemment établies, un exercice pas trop
difficile (que je vous conseille de faire).
IV — Fonctions exponentielles de base a
Définition 4. Soit a un réel strictement positif et différent de 1. On appelle fonction exponentielle de base
a et on note expa la bijection réciproque de la fonction loga . Autrement dit, c’est la fonction qui associe à tout
réel x l’unique solution de l’équation (d’inconnue X) : loga X = x. Avec des quantificateurs :
∀ x ∈ R, y = expa x ⇐⇒ x = loga y
En particulier, expa réalise une bijection de R sur R∗+ .
On a aussi la définition alternative (que vous avez vue l’an passé) :
Définition 4-bis. Soit a un réel strictement positif et différent de 1. On appelle fonction exponentielle de
base a et on note expa fonction définie sur R comme suit :
∀ x ∈ R, ax = ex ln a
Remarque — En particulier : ∀ x ∈ R, ax > 0.
Notation et convention. Soit a un réel strictement positif et différent de 1. On note aussi
∀ x ∈ R, ax = ex ln a
et par convention :
∀ x ∈ R, 1x = 1
Propriété 4. Soit a un réel strictement positif, et a ̸= 1.
La fonction expa : x 7−→ ax est dérivable sur R et :
′
∀ x ∈ R, (expa ) (x) = (ln a) × ax
La propriété 4 permet d’obtenir facilement le sens de variation des fonctions exponentielles de base a.
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Etude de x 7→ ax
lim ax = +∞ et
lim ax = 0
x−
→+∞
−∞
(a > 1)
ä Sens de variation : strictement croissante sur R.
ä Limites aux bornes :
lim ax = 0
x−
→−∞
et
lim ax = +∞
x→
− +∞
ä Tableau de variation :
ä Tableau de variation :
x
Etude de x 7→ ax
(0 < a < 1)
ä Sens de variation : strictement décroissante sur R.
ä Limites aux bornes :
x−
→−∞
7
−∞
x
+∞
+∞
′
′
(expa )
(expa )
+∞
+∞
x
x
a
a
0
0
ä Exemple de courbe représentative :
ä Exemple de courbe représentative :
Je vous renvoie aux exercices pour les propriétés algébriques de ces fonctions. On notera simplement que pour tout réel
a (strictement positif et ̸= 1), la fonction exponentielle de base a réalise une bijection de R vers R∗+ , et “transforme les
sommes en produits”.
V — Fonctions puissances
Définition 5. Soit a un réel (quelconque). On appelle fonction puissance d’exposant a et nous noterons
Pa la fonction définie sur R∗+ définie comme suit :
∀ x ∈ R∗+ , Pa (x) = xa = ea ln x
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Chapitre 5 — Fonctions usuelles — 10 octobre 2013
Etude de x 7→ xa
(a > 0)
ä Sens de variation : strictement croissante sur R∗+ .
ä Limites aux bornes :
lim xa = 0 et
>
x−
→0
lim xa = +∞
x−
→+∞
+∞
0
P ′ a (x)
(a < 0)
ä Sens de variation : strictement décroissante sur R∗+ .
ä Limites aux bornes :
lim xa = +∞ et
>
x−
→0
ä Tableau de variation :
x
Etude de x 7→ xa
lim xa = 0
x−
→+∞
ä Tableau de variation :
+
+∞
x
+∞
0
P ′ a (x)
xa
−
+∞
0
xa
0
ä Exemples de courbes représentatives :
ä Exemple de courbe représentative :
Remarques : Soit n un entier naturel strictement positif, et x un réel strictement positif. On appelle racine nième de x, et
√
1
on note n x le nombre x n . C’est un cas particulier des fonctions xa étudiées ci-dessus.
D’autre part, le graphique suggère que dans le cas a > 0, la fonction Pa : x 7→ xa peut être prolongée par continuité
en 0 en posant Pa (0) = 0. Ce choix est rendu légitime par le fait que si a > 0, la limite en 0 (à droite) de la fonction Pa
est égale à 0.
VI — Quelques limites de référence
ä
ex
lim
= +∞
x→
− +∞ x
ä ∀ a ∈ R∗+ ,
ä ∀ a ∈ R∗+ ,
et
ln x
lim
=0
x−
→+∞ x
ä ∀ a ∈ R∗+ ,
a
lim |x| ex = 0
x→
− −∞
ex
lim
= +∞
x→
− +∞ xa
( )2
ä ∀ (a, b) ∈ R∗+ ,
lim xa e−x = 0
( )2
ä ∀ (a, b) ∈ R∗+ ,
x→
− +∞
a
lim
x−
→+∞
(ln x)
=0
xb
a
lim xb |ln x| = 0
x>0
x−
−−→0
Chapitre 5 — Fonctions usuelles — 10 octobre 2013
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VII — Fonctions hyperboliques
Comme indiqué précédemment, ces fonctions ont déjà été étudiées au cours d’un exercice récent.
Définition 6. On appelle fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique et on note respectivement
ch et sh les fonctions définies sur R par :
∀ x ∈ R, ch x =
ex + e−x
2
et
∀ x ∈ R, sh x =
ex − e−x
2
Remarque : on observera bien entendu la merveilleuse analogie avec les formules d’Euler pour les fonctions cosinus et
sinus usuelles.
La fonction cosinus hyperbolique
La fonction sinus hyperbolique
ä Dérivabilité et parité : la fonction x 7−→ ch x est
définie et dérivable sur R. Sa dérivée est donnée par :
ä Dérivabilité et parité : la fonction x 7−→ sh x est
définie et dérivable sur R. Sa dérivée est donnée par :
∀ x ∈ R,
ch′ x = sh x
∀ x ∈ R,
C’est une fonction paire.
ä Sens de variation : strictement décroissante sur R− ,
strictement croissante sur R+ .
ä Limites aux bornes :
lim ch x = +∞ et
lim ch x = +∞
x−
→+∞
x−
→−∞
ä Tableau de variation :
x
−∞
′
C’est une fonction impaire.
ä Sens de variation : strictement croissante sur R.
ä Limites aux bornes :
lim sh x = −∞
lim sh x = +∞ et
x−
→+∞
x−
→−∞
ä Tableau de variation :
+∞
0
−
ch (x)
sh′ x = ch x
0
+∞
x
+
−∞
′
+∞
+
sh (x)
+∞
0
+∞
ch(x)
sh(x)
1
0
−∞
Ceci est une illustration de l’exercice portant sur les fonctions ch, sh et th
(notées C, S et T avant qu’on ne les définisse). Apparaissent sur ce graphique
les courbes CC et CS représentant les fonctions ch et sh respectivement.
On vous demandait aussi de tracer les tangentes respectives à ces deux courbes
au point d’abscisse 0, et d’étudier toutes les positions relatives “possibles et
imaginables” (et je vous renvoie donc au corrigé du devoir pour ces propriétés.
Et pour finir cette première partie de chapitre, on observe que la fonction ch est strictement positive sur R (puisque
d’après son tableau de variation elle ne prend que des valeurs supérieures ou égales à 1), ce qui permet de définir sur R
une nouvelle fonction :
Définition 7. On appelle fonction tangente hyperbolique la fonction définie sur R par :
∀ x ∈ R, th x =
ex − e−x
sh x
= x
ch x
e + e−x
10
Chapitre 5 — Fonctions usuelles — 10 octobre 2013
La fonction tangente hyperbolique
ä Dérivabilité et parité : la fonction x 7−→ th x est définie et dérivable sur R. Sa dérivée est donnée par :
∀ x ∈ R,
th′ x = 1 − th2 x =
1
ch2 x
C’est une fonction impaire.
ä Sens de variation : strictement croissante sur R.
ä Limites aux bornes :
lim th x = 1
ä Tableau de variation :
x−
→+∞
x
−∞
th′ (x)
et
lim th x = −1
x−
→−∞
0
+∞
+
1
th(x)
0
−1
De nouveau, l’illustration ci-contre est extraite de
l’exercice portant sur les fonctions hyperboliques. On
a représenté ici la courbe CT représentant la fonction
th, ainsi que sa tangente au point d’abscisse 0 (qui
n’est autre que la droite d’équation y = x).
VIII — Fonctions trigonométriques circulaires
A — Définitions et premières propriétés des fonctions trigonométriques
Définition 8. On se place dans le plan muni d’un repère orthonormal (O; I, J).
1) On appelle point
image
du réel x le point M du cercle trigonométrique tel qu’une mesure en radians de
(−→ −−
→)
l’angle orienté OI, OM soit égale à x.
2) On appelle cosinus du réel x (resp. sinus du réel x) et on note cos x (resp. sin x) l’abscisse (resp.
l’ordonnée) du point M .
Remarque : il résulte de la définition que les fonctions cosinus
et sinus sont définies sur R tout entier.
Chapitre 5 — Fonctions usuelles — 10 octobre 2013
11
Propriété 5. Les fonctions cosinus et sinus sont bornées sur R. Plus précisément, ce sont deux fonctions
définies sur R et à valeurs dans [−1; 1] :


 |cos x| 6 1
 −1 6 cos x 6 1
∀x∈R:
ou ∀ x ∈ R :


−1 6 sin x 6 1
|sin x| 6 1
Démonstration : tout point appartenant au cercle trigonométrique a une abscisse et une ordonnée comprise entre −1 et 1. Propriété 6. Les fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodiques. En d’autres termes :

 cos (x + 2π) = cos x
∀x∈R:

sin (x + 2π) = sin x
Démonstration : Soit x un nombre réel. Les réels x et (x + 2π) ont la même image sur le cercle trigonométrique. Propriété 7. La fonction cosinus est paire, et la fonction sinus est impaire. En d’autres termes :
∀ x ∈ R, cos (−x) = cos x
et
∀ x ∈ R, sin (−x) = − sin x
Démonstration : Soit x un nombre réel. Les points images de x et −x sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Valeurs remarquables. Le graphique ci-contre représente une partie du cercle trigonométrique. Sur celui-ci,
on a placé les points I, A, B, C et J, images respectives
π π π
π
des réels 0, , , et . On appelle valeurs remarquables
6 4 3
2
les images de ces réels par les fonctions trigonométriques.
x
0
cos (x)
1
sin (x)
0
π
6
π
4
π
3
π
2
√
3
2
√
2
2
1
2
0
1
2
√
2
2
√
3
2
1
Démonstration : C’est un très amusant petit exercice de géométrie élémentaire ! π
Définition 9. Soit x un nombre réel tel que x ̸=
[π]. § On appelle tangente du réel x et on note tan x
2
le réel :
tan x =
sin x
cos x
}
{
π
[π] .
Remarque : il résulte de cette définition que la fonction tangente est définie sur l’ensemble : Dtan = x ∈ R, x ̸=
2
On observera que cet ensemble est symétrique par rapport à zéro ; sur le dessin suivant, l’ensemble Dtan est en effet
constitué de la droite réelle “privée des points rouges”.
12
Chapitre 5 — Fonctions usuelles — 10 octobre 2013
Propriété 8. La fonction tangente est π-périodique. En d’autres termes :
∀ x ∈ R,
tan (x + π) = tan x
Démonstration : Traitée en exercice. Propriété 9. La fonction tangente est impaire. En d’autres termes :
∀ x ∈ Dtan , tan (−x) = − tan x
Démonstration : Traitée en exercice. Valeurs remarquables. Les valeurs remarquables de la fonction tangente sont données dans le tableau ci-dessous :
x
tan (x)
0
0
π
6
√
3
3
π
4
π
3
π
2
1
√
3
non-définie
Chapitre 5 — Fonctions usuelles — 10 octobre 2013
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B — Etude des fonctions trigonométriques
ä La fonction cosinus
+ Ensemble de définition : R
+ Dérivabilité : la fonction cos est dérivable sur R et :
+ Courbe représentative :
∀ x ∈ R, cos′ x = − sin x
+ Tableau de variation :
−π
x
π
0
Signe de − sin x
+
−
0
1
Variations de cos
−1
−1
Cette courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (cf parité). De plus, pour obtenir la courbe complète,
il suffit de la tracer sur [−π; π] puis d’appliquer des trans→
−
lations de vecteur 2kπ i (avec k ∈ Z).
ä La fonction sinus
+ Ensemble de définition : R
+ Dérivabilité : la fonction sin est dérivable sur R et :
+ Courbe représentative :
∀ x ∈ R, sin′ x = cos x
+ Tableau de variation :
−π
x
−π/2
−
Signe de cos x
0
π
π/2
+
0
0
−
1
Variations de sin
−1
0
Cette courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère (cf parité). Comme pour la fonction cosinus, pour obtenir la courbe complète, il suffit de la tracer sur [−π; π] puis
−
→
d’appliquer des translations de vecteur 2kπ i (avec k ∈ Z).
ä La fonction tangente
+ Ensemble de définition : R −
{π
}
+ kπ, k ∈ Z
2
+ Dérivabilité : la fonction tangente est dérivable sur son
ensemble de définition et :
π
1
∀ x ∈ R, x ̸=
[π] , tan′ x = 1 + tan2 x =
2
cos2 x
+ Tableau de variation :
−π/2
x
′
+ Courbe représentative :
π/2
+
Signe de tan x
+∞
Variations de tan
−∞
Cette courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère (cf parité). Pour obtenir la courbe complète, il suffit de
la tracer sur ] − π/2; π/2 [ puis d’appliquer des translations
→
−
de vecteur kπ i (avec k ∈ Z).