Chapitre 5 — Généralités sur les fonctions d`une variable réelle

Lycée Jean Bart – PCSI – Année 2013-2014 – 10 octobre 2013
Chapitre 5 — Généralités sur les fonctions d’une variable
réelle — Compléments et illustrations
Les objectifs de ce chapitre sont de revoir certaines propriétés des “anciennes” fonctions usuelles, et de définir les
“nouvelles” fonctions usuelles. Explicitement, nous étudierons :
A. les fonctions logarithme népérien, logarithme de base a, exponentielle, exponentielle de base a, puissances (que
vous avez déjà rencontrées en Terminale).
B. les fonctions cosinus hyperbolique (ch), sinus hyperbolique (sh) et tangente hyperbolique (th) (déjà étudiées dans
un exercice récent).
C. les fonctions circulaires réciproques : les fonctions arc cosinus (arccos), arc sinus (arcsin) et arc tangente (arctan)
(déjà rencontrées dans d’autres disciplines il me semble. . . ).
Conventions : tout au long de ces lignes, Idésignera un intervalle non-vide de R, et Kdésignera l’ensemble Rou
l’ensemble C.
I — Généralités sur les fonctions
Nous rappelons rapidement les définitions et propriétés que nous utiliserons au cours de ce chapitre.
Définition 1.Une fonction f:I−→ Kest dite paire si son ensemble de définition Dfest symétrique par
rapport à zéro, et si on a : f(−x) = f(x)pour tout x∈ Df. La courbe représentative dans un repère orthonormal
d’une telle fonction est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Définition 1-bis.Une fonction f:I−→ Kest dite impaire si son ensemble de définition Dfest symétrique
par rapport à zéro, et si on a : f(−x) = −f(x)pour tout x∈ Df. La courbe représentative dans un repère
orthonormal d’une telle fonction est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Exemples de fonctions paires
−→
i
−→
j
012−1−20
1
2
−1
−2
Les fonctions constantes (définies
sur Rpar ex)
−→
i
−→
j
0 1 2−1−20
1
2
−1
−2
La fonction “x2” (et plus
généralement “xn” avec npair)
définie sur R
−→
i
−→
j
01234−1−2−3−40
1
2
−1
−2
La fonction cosinus (définie sur R
par ex)

2 Chapitre 5 — Fonctions usuelles — 10 octobre 2013
Exemples de fonctions impaires
−→
i
−→
j
0 1 2−1−20
1
2
−1
−2
La fonction “x3” (et plus
généralement “xn” avec nimpair)
−→
i
−→
j
012−1−20
1
2
−1
−2
La fonction inverse “ 1
x”
−→
i
−→
j
01234−1−2−3−40
1
2
−1
−2
La fonction sinus
•Enfin, il existe des fonctions ni paires ni impaires : toutes les précédentes dès que l’on restreint leur ensemble de
définition à une partie de Rnon symétrique par rapport à zéro ; et puis les fonctions racine carrée, logarithme, exponentielle
(sur leurs ensembles de définitions usuels). . .
Théorème 1.Soit Dune partie de Rsymétrique par rapport à zéro. Toute fonction fdéfinie sur Det à
valeurs dans Rs’écrit de manière unique comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire (toutes
deux définies sur D).
ÙDémonstration en classe
Le théorème affirme donc que pour f:D−→ R(avec Dsymétrique par rapport à zéro), il existe deux fonctions
g, h :D−→ Ravec gpaire et himpaire telles que : f=g+h. En outre, cette décomposition est unique.
Définition 2.Une fonction f:I−→ Rest dite de classe C1sur Isi fest dérivable sur I, et si f′est
continue sur I. On note C1(I, R)l’ensemble des fonctions de classe C1sur R.
Cette définition appelle déjà quelques commentaires et exemples.
+Tout d’abord, rappelons que la continuité et la dérivabilité d’une fonction sont des notions locales, ce qui signifie en
clair que fest continue (resp. dérivable) sur Isi elle est continue (resp. dérivable) en tout a∈I. Et (on ne sait jamais),
on dit que fest continue en a∈Isi :
lim
xx<a −−−→a
f(x) = f(a) = lim
xx>a −−−→a
f(x)
et que fest dérivable en a∈Isi le taux d’accroissement :
f(a+h)−f(a)
h
a une limite finie lorsque htend vers 0; lorsque c’est le cas, on note : f′(a) = lim
h−→0
f(a+h)−f(a)
h. On a alors la célèbre
propriété :
Propriété 1.Soit f:I−→ Rune fonction, et a∈I.
SI fest dérivable en a(resp. sur I), ALORS fest continue en a(resp. sur I).
(réciproque fausse)
Les contre-exemples les plus célèbres à la réciproque, c’est-à-dire les fonctions qui sont continues sur un intervalle mais pas
dérivables sur le même intervalle sont la fonction valeur absolue (continue sur R, mais pas dérivable en 0) et la fonction
racine carrée (continue sur R+, mais dérivable seulement sur R∗
+).
+Exemple 1. Les fonctions polynomiales, cosinus, sinus, exponentielle sont de classe C1sur R.

Chapitre 5 — Fonctions usuelles — 10 octobre 2013 3
+Exemple 2. La fonction logarithme népérien est de classe C1sur R∗
+.
+Exemple 3. La fonction inverse est de classe C1sur R∗.
+Exemple 4. La fonction valeur absolue est continue (de classe C0) sur R, mais évidemment pas de classe C1sur R
puisqu’elle n’est même pas dérivable en 0. La fonction g:x7−→ x|x|/2est dérivable sur R, mais pas de classe C1sur R
puisque sa dérivée (qui est la fonction valeur absolue) n’est pas dérivable sur R.
Dans un autre registre :
Théorème 2 (existence de primitives).Toute fonction à valeurs réelles continue sur Iadmet une (donc
une infinité) primitive sur I.
Et enfin, pour revenir à un thème plus récent :
Théorème 3 (“théorème de la bijection”).Soit f:I−→ Rune fonction à valeurs réelles. Si fest
continue et strictement monotone sur I, alors fréalise une bijection de Isur f(I).
Ce théorème est une retraduction (avec le mot “bijection”) d’une propriété que vous avez déjà rencontrée en Terminale
(conséquence du théorème des valeurs intermédiaires). C’est l’occasion de rappeler que la phrase “fest une bijection” n’a
absolument aucun sens, tant que vous ne précisez pas l’ensemble de définition et l’ensemble d’arrivée de la fonction f. En
effet, la fonction carrée (x7−→ x2) n’est pas du tout une bijection de Rsur R,∗mais elle réalise une bijection de R+sur
R+(ou de [0; 2] sur [0; 4], ou de [−3; −1] sur [1; 9]. . . ).
C’est aussi l’occasion d’insister sur l’importance des hypothèses dans un théorème, et dans le
cas présent d’insister sur l’hypothèse de continuité. La courbe ci-contre représente la fonction
de la fonction fdéfinie sur [0; 3] par
∀x∈[0; 3] , f (x) = x
2+E(x)
La fonction fest strictement croissante sur [0; 3], avec f(0) = 0 et f(3) = 9
2, mais f
ne réalise pas pour autant une bijection de [0; 3] sur 0; 9
2(puisque par exemple 1n’a pas
d’antécédent par f). Comme vous l’avez compris, tout le problème vient de la non-continuité
de fsur [0; 3]. Pour enfoncer le clou, on peut observer que l’image de l’intervalle [0; 3] par f
n’est pas un seul intervalle, mais la réunion de plusieurs intervalles disjoints (et non-vides).
Enfin, pour achever ces rappels, quelques considérations géométriques.
Propriété 2.Dans un repère orthonormal du plan, les points de coordonnées (x;y)et (y;x)sont symétriques
par rapport à la première bissectrice des axes (la droite d’équation y=x).
La figure ci-contre illustre cette propriété dont la démonstration n’est pas trop ardue.
On choisit un point M(x;y)quelconque du plan, et on note M′le point de coordonnées
(y;x). Il s’agit alors de prouver (par exemple) que le milieu Kde [M M′]appartient à
∆(la droite d’équation y=x), et que −−−→ MM ′est orthogonal à un vecteur directeur de
∆.
Evidemment, si Mappartient à ∆, la propriété est évidente.
Et si M /∈∆, on note que les coordonnées de Ksont ((x+y)/2; (x+y)/2), ce qui
assure que K∈D; et celles de −−−→ MM ′sont ((y−x); (x−y)), ce qui prouve que −−−→ MM ′
est un vecteur normal de ∆, d’où la propriété dans ce second cas.
Conséquence.Soit f:I−→ June fonction bijective, et f−1:J−→ Isa réciproque. Dans un repère
orthonormal du plan, les courbes représentatives de fet de f−1sont symétriques par rapport à la première
bissectrice des axes.
∗. Pourquoi au fait ?

4 Chapitre 5 — Fonctions usuelles — 10 octobre 2013
Par exemple, la fonction carrée réalise une bijection de R+sur R+,†et sa réciproque
est la fonction racine carrée. Les courbes représentatives de ces deux fonctions dans un
repère orthonormal du plan sont deux “demi”-paraboles symétriques par rapport à la
première bissectrice des axes.
L’idée de la preuve est encore simple : tout point sur la courbe représentative de fa des
coordonnées “de la forme” (x;f(x)) (pour un certain réel x). Et le point de coordonnées
(f(x), x)appartient à la courbe représentative de f−1puisque f−1(f(x)) = x. Récipro-
quement, un point sur la courbe représentative de f−1a pour coordonnées x;f−1(x),
et le point f−1(x) ; xappartient à la courbe de fpuisque ff−1(x)=x.
Ces rappels faits, nous pouvons entrer dans le vif du sujet.
II — Fonctions logarithme néperien et fonction exponentielle
Nous irons assez vite sur ces fonctions que vous connaissez parfaitement.
La fonction logarithme népérien
äDérivabilité : la fonction x7−→ ln xest définie et
dérivable sur R∗
+. Sa dérivée est donnée par :
∀x∈R∗
+,ln′x=1
x
äSens de variation : strictement croissante sur R∗
+.
äLimites aux bornes :
lim
x−→+∞ln x= +∞et lim
xx>0 −−−→0
ln x=−∞
(asymptote verticale d’équation x= 0).
äTableau de variation :
x
ln x
0+∞
+∞
−∞
äBijection : la fonction ln induit une bijection de R∗
+
vers Ret de plus :
∀(x, y)∈R∗
+2,ln (x×y) = ln (x) + ln (y)
La fonction exponentielle
äDérivabilité : la fonction x7−→ exest définie et dé-
rivable sur R. Sa dérivée est donnée par :
∀x∈R,e′(x) = ex
äSens de variation : strictement croissante sur R.
äLimites aux bornes :
lim
x−→+∞ex= +∞et lim x−→−∞ ex= 0
(asymptote horizontale d’équation y= 0).
äTableau de variation :
x
ex
−∞ +∞
+∞
0
äBijection : la fonction exp induit une bijection de R
vers R∗
+et de plus :
∀(x, y)∈R2,ex+y=ex×ey

Chapitre 5 — Fonctions usuelles — 10 octobre 2013 5
Enfin vous savez que ces deux fonctions sont réciproques l’une de l’autre,
ce qui se traduit par les identités suivantes (et on prendra bien garde aux
domaines de validité respectifs de ces identités) :
∀x∈R∗
+,eln x=xet ∀x∈R,ln (ex) = x
Sur la figure ci-contre sont tracées les courbes représentatives des fonc-
tions logarithme népérien et exponentielle, dans un repère orthonormé
du plan.
Conformément à une remarque faite en préambule, ces courbes sont sy-
métriques par rapport à la droite d’équation y=x.
Remarque : ce que l’on a passé sous silence ici, c’est la façon dont on définit les fonctions ln et exponentielle. L’idée est qu’il
suffit d’en définir une des deux, puis prouver que c’est une bijection d’un intervalle sur un autre, pour obtenir l’existence
de l’autre fonction comme bijection réciproque de la première. Oui, mais par laquelle commencer ? En Terminale, vous
avez sans doute défini en premier la fonction exponentielle, comme unique solution de l’équation différentielle y′=y
avec la condition initiale y(0) = 1.‡Rien n’empêche a priori de commencer “dans l’autre sens”, c’est-à-dire par ln, en la
définissant comme l’unique primitive sur R∗
+s’annulant en 1de la fonction inverse. Il “suffit” alors de savoir que toute
fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle (théorème 2 de ces notes). Mais ce qui devient
plus difficile, si l’on adopte ce point de vue, c’est la démonstration des propriétés algébriques de la fonction ln.
III — Fonctions logarithmes de base a
Définition 3.Soit aun réel strictement positif et différent de 1. On appelle fonction logarithme de base
aet on note logala fonction définie sur R∗
+par :
∀x∈R∗
+,loga(x) = ln x
ln a
Si l’enseignement de la Chimie n’a pas trop changé depuis mon époque, il me semble que vous devez y utiliser à tour de
bras la fonction logarithme en base 10 (notée donc log10) pour calculer des pH par exemple.
On peut par ailleurs observer que la fonction logaest obtenue en multipliant ln par une constante : 1/ln a. Or cette
constante peut être strictement positive (lorsque a > 1) ou strictement négative (lorsque a < 1). On doit donc distinguer
deux cas :
+Si a > 1: la fonction logaest strictement croissante sur R∗
+et on a
lim
x> −→0
logax=−∞ et lim
x> −→+∞
logax= +∞
+Si 0< a < 1: la fonction logaest strictement décroissante sur R∗
+et on a
lim
x> −→0
logax= +∞et lim
x> −→+∞
logax=−∞
En revanche dans tous les cas, la fonction logaréalise une bijection qui “transforme les produits en seommes”. Plus
précisément :
Propriété 3.Soit aun réel strictement positif, et a̸= 1.
La fonction loga:x7−→ logaxréalise une bijection R∗
+vers R, et en outre :
∀(x, y)∈R∗
+2,loga(x×y) = loga(x) + loga(y)
‡. L’aspect frustrant de cette approche étant que l’on est alors “obligé” (en Terminale en tout cas) d’admettre l’existence d’une solution de
l’équation différentielle y′ =y(théorème de Cauchy).