Cours

C11 - Les probabilités
Numéro
SP5
SP6
Troisième
Cours
Compétences
Comprendre et utiliser les notions élémentaires de probabilité
Calculer des probabilités dans des contextes familiers
Pour toi
11.1 Expériences aléatoires et événements
11.1.1 Expériences aléatoires
D ÉFINITION 1
Une expérience est aléatoire lorsqu’elle vérifie trois conditions :
• on connaît les issues (« résultats possibles ») ;
• le résultat n’est pas prévisible ;
• l’expérience est reproductible dans les mêmes conditions.
Exemples :
• Exemple dit de référence pour tout le chapitre :
On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6 et on regarde le numéro de la face obtenue.
Cette expérience aléatoire a six issues : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 .
• On lance un dé et on regarde si le numéro de la face obtenue est pair ou impair : P ; I .
• On lance une pièce de monnaie : P ; F.
Nous appelons l’univers d’une expérience aléatoire l’ensemble des issues.
Remarquons qu’une même expérience peut déboucher sur des univers différents suivant ce que l’on observe.
11.1.2 Évènements
D ÉFINITION 2
Un événement est un ensemble des résultats que l’on peut obtenir lors d’une expérience aléatoire.
Il est constitué d’une ou plusieurs issues de l’expérience.
• Un événement qui ne contient une seule issue est appelé événement élémentaire.
• Un événement qui ne contient aucune issue est un événement impossible.
Cet événement ne peut jamais se réaliser.
• Un événement qui contient toutes les issues est un événement certain.
Cet événement se réalise à coup sûr.
E XEMPLE 1
Pour l’expérience aléatoire de référence :
•
•
•
•
« Obtenir un nombre supérieur à 4 » est un événement réalisé par les issues 5 et 6.
« Obtenir le chiffre 2 » est un événement élémentaire.
« Obtenir un chiffre entre 1 et 6 » est un événement certain.
« Obtenir le chiffre 8 » est un événement impossible.
11.2 Calcul d’une probabilité
11.2.1 Définir une probabilité
Lors d’une expérience aléatoire, on s’intéresse à la réalisation d’un événement.
Pour ce faire, on réalise un très grand nombre de fois cette expérience
et on calcule la fréquence de réalisation de cet événement.
Au XVIIe siècle, Jacques Bernoulli démontre que cette fréquence se
« stabilise » .
Il la définit alors comme la probabilité de l’événement considéré.
Ce constat est un résultat mathématique appelé La loi des grands
nombres :
N. SANS
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11.2.2 Cas général
D ÉFINITION 3 (Simplifiée)
La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1 qui exprime « la chance » qu’à cet événement de
se réaliser.
On note p(A) la probabilité de l’événement A.
R EMARQUE
Attention : Soit p une probabilité. On a toujours : 0 6 p 6 1 .
E XEMPLE 2
Dire que la probabilité d’un événement est de 0,8 signifie que cet événement a 8 chances sur 10 ou 80 % de chance de
se réaliser .
Mais cela ne signifie pas qu’il se produira. Une probabilité est seulement une estimation de sa chance de se réaliser !
Dans notre exemple de référence, avec l’événement A : « obtenir un nombre pair » .
1
p(A) = . Soit nous avons une chance sur deux d’obtenir un nombre pair en lançant un dé à six faces équilibré.
2
Par contre, en lançant un tel dé deux fois de suite, peut-être que nous n’obtiendrons pas un nombre pair !
Mais en répétant un très grand nombre de fois cette expérience et en comptabilisant le nombre de fois où nous obtenons un nombre pair alors la fréquence d’apparition de cet événement A se rapprochera de 0,5.
P ROPRIÉTÉ 1 1. Si l’on répète un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’un événement
se rapproche de la probabilité de cet événement.
2. La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1.
3. La probabilité de l’événement certain est égale à 1 et la probabilité de l’événement impossible est égale à 0.
11.3 Calculs de probabilité
11.3.1 Cas particulier : l’équiprobabilité
D ÉFINITION 4
Lorsque toutes les issues d’une expérience aléatoire ont la même probabilité de se réaliser, on dit qu’il y a équiprobabilité .
Dans ce cas, la règle de calcul de la probabilité d’un évènement A est la suivante :
P ROPRIÉTÉ 2
Dans une situation d’équiprobabilité, pour tout évènement A on a :
p(A) =
nombre d’issues favorables à A
.
nombre d’issues possibles
E XEMPLE 3
Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé cubique bien équilibré et on note B l’événement « le résultat est un
entier supérieur ou égal à 3 » .
Le fait que le dé soit bien équilibré implique que chaque issue a la même probabilité de se réaliser. Nous sommes donc
en situation d’équiprobabilité.
4 2
L’événement B comporte 4 issues favorables à sa réalisation. D’où, p(B) = = .
6 3
11.3.2 Propriétés
D ÉFINITION 5
L’événement contraire de A, noté A, est l’événement qui se réalise quand A n’est pas réalisé.
P ROPRIÉTÉ 3
Soit A un évènements d’une expérience aléatoire alors :
p(A) = 1 − p(A).
E XEMPLE 4
2
2 1
Avec la même expérience que l’exemple 3. Comme p(B) = , p(B = 1 − p(B) = 1 − = .
3
3 3
N. SANS
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