Exercices C

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Exercice n° 14 : Identités I
C-1
MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S EXERCICES CUMULATIFS page 33
1. Exprime chacune des expressions suivantes uniquement en termes de sin θ .
a. csc θ b. cos2 θ c. cot2 θ
2. Exprime chacune des expressions suivantes uniquement en termes de cos θ .
a. sec
θ b. sin2 θ c. tan2 θ
3. Exprime chacune des expressions suivantes en termes de sin θ , ou de cos θ , ou
des deux.
Prouve que chacune des équations suivantes est une identité.
4. cos xsec x= 1 5. csc xsin x= 1 6. tan
θ cot θ = 1
7. cot θ sin θ = cos θ 8. tan θ cos θ = sin θ
10. Résous l’équation 3 cos θ + 2 = 0 dans l’intervalle . Exprime ta
réponse à une décimale près.
11. Représente graphiquement les deux côtés de l’équation :
a) Que remarques-tu au sujet des graphiques ?
b) Démontre algébriquement que l’équation ci-dessous est une identité.
12. Pour chacune des valeurs suivantes de
θ , identifie le quadrant où se trouve
P(
θ ) :
a.
θ = 600o b. θ = – 400o c. d. θ = – 9
13. Si sin et que cos
θ > 0, trouve la valeur exacte de tan θ .
14. Si , trouve les coordonnées de P(
θ ).
θπ =−8
3
θ =−3
4
θπ =11
3
0 360
oo
≤≤ θ
90.Résous l’équation 4 sin + 2 3 dans l’intervalle 0 2 . θθπ =≤≤
a sin csc . θθ
b. sin + 1
sec
2
2
θθ
c. 1 2 −csc θ
1
cos cos tan sin xx−=
θθ

15. Trouve la(les) valeur(s) exacte(s) de θ pour l’intervalle :
16. Trouve la valeur de xsi le domaine correspond aux nombres réels : cos x= .
17. Trouve la valeur de
θ , dans l’intervalle :
tan 2
θ = –1
18. Utilise la représentation graphique de f(x) pour calculer f[f(4)].
19. Si f(x) = , trouve une expression qui représente f –1(x).
x
y
20. La droite y= mx, m> 0, touche la parabole
y= x2+ 9 en un seul point. Trouve la valeur de m.
31x+
1
1
y = f(x)
(2, 0)(– 3, 0)
(0, 2) (4, 2)
x
y
02≤≤ θπ
−3
2
22
2
cos cos θθ =
πθ π ≤≤2
page 34 EXERCICES CUMULATIFS MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S
Exercice n° 14 : Identités I
C-1

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Exercice n° 15 : Identités II
C-1
MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S EXERCICES CUMULATIFS page 35
Prouve les identités suivantes :
2. cos2x– sin2x= 1 – 2 sin2x
3. cos2
θ = (1 – sin θ )(1 + sin θ )
4. (1 – sec
θ )(1 + sec θ ) = – tan2 θ
6. sec2x– csc2x= tan2x– cot2x
7. cos4x– sin4x= 1 – 2 sin2x
9. Trouve la valeur de
θ si :
10. Résous l’équation suivante dans l’intervalle . Exprime ta réponse à 4
décimales près.
3 – 6 tan
θ = tan θ + 6
12. Résous graphiquement l’équation suivante, si le domaine correspond à
l’ensemble des nombres réels. (Exprime ta réponse à 4 décimales près).
6 sin2
θ + 10 sin θ – 4 = 0
11. cosTrouve la valeur de sin si = 12
13 et que tan > 0.
θθ θ
02≤≤ θπ
sec sec θθ −=+ 1
21
0 360
oo
≤≤ θ
81
2
2
.csc cos
csc2
θ
θθ
−=
52 1
1
1
1
.sin sin sec2xxx =−++
11 1 1
2
. sin sin sec +xxx
()
−
()
=

13. Résous algébriquement l’équation suivante si le domaine correspond à
l’ensemble des nombres réels.
14. Prouve l’identité suivante en utilisant deux méthodes différentes :
15. Exprime les angles suivants en radians.
a. 225ob. 216oc. 125od. 105o
16. Exprime les valeurs suivantes en degrés.
17. Si f(x) = 2x+ 3, trouve l’ordonnée à l’origine du graphique de y= f[f(x)].
18. Question à choix multiple. Si a< 0 et b2– 4ac > 0, lequel des graphiques
suivants pourrait représenter y= ax2+ bx + c?
19. Décompose en facteurs l’expression suivante : x3– 2x2+ 3x– 6
20 3
25
1
. Si , trouve .
-
fx x
xf
()
=+
−
()
d.c.b.a.
d. 3
4
π
c. 4
3
π
b. 5
6
π
a. 2
3
π
sec
sec sin
2
22
1ttt −=
3
80sin
1
4
θ −=
page 36 EXERCICES CUMULATIFS MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S
Exercice n° 15 : Identités II
C-1

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Exercice n° 16 : Identités de sommes et de différences I
C-2
MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S EXERCICES CUMULATIFS page 37
3. À l’aide des relations connues pour sin( α + β ) et cos( α + β ), trouve la formule
pour tan(
α + β ). Exprime ta réponse en termes de tangente seulement.
5. Trouve une formule pour les expressions suivantes. Exprime ta réponse en
termes de tangente seulement :
a. cot(
α + β ) b. tan( α – β )
7. Trouve la valeur exacte de cos 105oen utilisant les mesures 45oet 60o.
8. Si sin α= , et cos β= et que P(α) et P(β) ne se trouvent pas dans le 1er
quadrant, trouve :
a. sin(
α + β ) b. cos( α + β ) c. sec( α + β )
d. dans quel quadrant se trouve le point P(
α + β )?
9. Représente graphiquement les deux côtés de l’équation :
a. Que remarques-tu au sujet des graphiques?
b. Vérifie algébriquement que cette équation est une identité.
10. Trouve la valeur exacte de
sin cos
cos
22
2
18 18
1 210
oo
o
+
−
sin costt+
=−
3
2
π
9
41
7
25
6. À l’aide de la formule obtenue à la question 3, trouve tan 7
12 si = 3 et = 4.
Compare ta réponse avec celle de la question 4c.
παπβπ
c. tan 7
12
π
b. cos 7
12
π
a. sin 7
12
π
4. Si = 3 et = 4, trouve : απβπ
2. Trouve la valeur exacte de cos 12 si = 3 et = 4 dans la formule appropriée.
παπβπ
1.
.
Trouve la valeur exacte de sin 5
12 si = 6 et = 4 dans la formule d’addition
pour sin +
παπβπ
αβ
()