• Chapitre3: Unevariablealéatoire𝑋estuneapplication𝑋∶𝛺→ℝc'estàdirequiassocieàchaqueélémentdeΩun certainnombreréel. Elleestdite: 1. Discrètesil’ensembledesesvaleurspossibles𝑋(Ω)contientunnombrefiniouinfinid’éléments dénombrables(ilexisteaumoinsunebijectionEdansl’ensembleℕdesentiersnaturels). 2. Continuesiellepeutprendren’importequellevaleursurunintervalledonnédeℝ. N.B:Danslaplupartdesproblèmespratiques,lesvariablesaléatoirescontinuesreprésententde l’informationmesurée,commeparexempledeshauteurs,despoids,destempératures,desduréesdevie… etc.Parcontre,lesvariablesaléatoiresdiscrètesreprésententdecomptagescommeparexemplelenombre d’élémentsdéfectueuxdansunéchantillonoubienlenombred’accidentssuruneintersection…etc. • L’application𝑥 → 𝑃(𝑋 = 𝑥)s’appelledistributiondelavariablealéatoire𝑋. Onnoteracetteapplication𝑓 𝑥 = 𝑃(𝑋 = 𝑥). Ona: 1. Pourlesvariablesaléatoiresdiscrètes:(Loideprobabilité) - 𝑓 𝑥 ≥ 0∀𝑥 ] 𝑓(𝑥) = 1 - 𝑓 𝑥 = 𝑃(𝑋 = 𝑥) 2. Pourlesvariablesaléatoirescontinues:(Densitédeprobabilité) - 𝑓 𝑥 ≥ 0∀𝑥 ∈ ℝ `a 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 ba - 𝑃 𝑎<𝑋<𝑏 = • 𝑥 𝑑𝑥 𝑎et𝑏 ∈ ℝ − {+∞, −∞} Onappellefonctionderépartitionouloicumulative𝐹(𝑥)d’unevariablealéatoire: 1. Discrète𝑋ayantunedistributiondeprobabilité𝑓(𝑥)lafonction: 𝑓(𝑡) pour𝑥 ∈ ℝ 𝐹 𝑥 =𝑃 𝑋<𝑥 = 2. pq] Continueavecunedensitédeprobabilité𝑓(𝑋)est: `a 𝐹 𝑥 =𝑃 𝑋<𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 pour𝑥 ∈ ℝ ba • Systèmede2variablesaléatoiresX,Y:Lafonction𝑓(𝑥, 𝑦)estappelé: 1. Distributiondeprobabilitéd’unsystèmede2variablesaléatoiresdiscrètes𝑋, 𝑌si: - 𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 0pourtout(𝑥, 𝑦) ] w 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 - 𝑃 𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 2. Densitédeprobabilitéd’unsystèmede2variablescontinuesX,Ysi: - 𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 0pourtout(𝑥, 𝑦) `a `a 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1 ba ba • 𝑃 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐴 = y 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ; pourtouterégion𝐴dansleplan𝑥𝑦 DistributionMarginales:Lesdistributionsmarginalesde𝑋seuleetde𝑌seulesont: 1. Pourlecasdiscret:𝑔 𝑥 = w 𝑓(𝑥, 𝑦) etℎ 𝑦 = ] 𝑓(𝑥, 𝑦) 2. Pourlecascontinue:𝑔 𝑥 = `a 𝑓 ba 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦etℎ 𝑦 = `a 𝑓 ba 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 Letermemarginalestutilisécar,danslecasdevariablesdiscrètes,lesvaleursde𝑔(𝑥)etℎ(𝑥)sontles totauxmarginauxdescolonnesetlignesrespectivesquandlesvaleursde𝑓(𝑥, 𝑦)sontdonnéesdansune tablerectangulaire. • f 𝑓 g Soit𝑋et𝑌,2variablesaléatoires,discrètesoucontinues,avaleursrespectivesdansFetG.Ladistribution conditionnelledeprobabilitédelavariable𝑌,sachantque𝑋 = 𝑥,est: 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑓 𝑥𝑦 = , 𝑔 𝑥 > 0 𝑔(𝑥) Demêmeladistributionconditionnelledeprobabilitédelavariablealéatoire𝑋,sachantque𝑌 = 𝑦,est: 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑓 𝑥𝑦 = , ℎ 𝑦 > 0 ℎ(𝑦) • Soit𝑋et𝑌,2variablesaléatoires,discrètesoucontinues,avecunedistributiondeprobabilité𝑓(𝑥, 𝑦),etde distributionsmarginales𝑔(𝑥)etℎ(𝑦),respectivement.Lesvariablesaléatoires𝑋et𝑌sontdites indépendantesstatistiquementsi,etseulementsi: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑥 . ℎ 𝑦 pourtout 𝑥, 𝑦 . • Soit𝑋‚ , 𝑋ƒ , … , 𝑋„ 𝑛variablesaléatoires,discrètesoucontinues,avecunedistributiondeprobabilité 𝑓(𝑥‚ , 𝑥ƒ , … , 𝑥„ )etdistributionsmarginales𝑓‚ 𝑥‚ , 𝑓ƒ 𝑥ƒ , … , 𝑓„ (𝑥„ )respectivement.Lesvariables aléatoires𝑋‚ , 𝑋ƒ , … , 𝑋„ sontditesmutuellementindépendantesstatistiquementsietseulementsi, 𝑓 𝑥‚ , 𝑥ƒ , … , 𝑥„ = 𝑓‚ 𝑥‚ . 𝑓ƒ 𝑥ƒ … 𝑓„ 𝑥„ pouttout𝑥‚ , 𝑥ƒ , … , 𝑥„ Soit𝑋 ∶ Ω → 𝐹 ⊂ ℝunevariablealéatoire.Elleestditeintégrablesi: 1. 𝑿Discrète: ]∈ˆ 𝑥 𝑓(𝑥) = ]∈ˆ 𝑥 𝑃(𝑋 = 𝑥) < +∞ `a 2. 𝑿Continue: ba 𝑥 𝑓(𝑥) < +∞ • • Soit𝑋unevariablealéatoireintégrableavecunedistributiondeprobabilité𝑓(𝑥).L’espérance Mathématiquede𝑋oumoyennede𝑋est: 1. 𝑿Discrète: 𝜇 = 𝐸 𝑋 = ] 𝑥. 𝑓 𝑥 2. 𝑿Continue: 𝜇 = 𝐸 𝑋 = `a 𝑥. 𝑓(𝑥) ba • Théorème:Soit𝑋 ∶ Ω → 𝐹unevariablealéatoireayantunedistributiondeprobabilité𝑓(𝑥),etune fonction𝑔 𝑋 : 𝐹 → ℝ.Alorslavariable𝑔 𝑋 estintégrablesietseulementsi: 1. 𝑿Discrète: ]∈ˆ 𝑔 𝑥 𝑃(𝑋 = 𝑥) = ]∈ˆ 𝑔 𝑥 𝑓(𝑥) < +∞ Etalorsl’espérancede𝑔 𝑋 :𝜇•(Ž) = 𝐸 𝑔 𝑋 = ]∈ˆ 𝑔 𝑥 𝑓(𝑥) 2. 𝑿Continue: • 𝑔 𝑥 𝑓(𝑥) < +∞ Etalorsl’espérancede𝑔 𝑋 : 𝜇•(Ž) = 𝐸 𝑔 𝑋 • • 𝑔 𝑥 𝑓(𝑥) Soit𝑋et𝑌,2variablesaléatoiresayantunedistributiondeprobabilitéjointe𝑓(𝑥, 𝑦).L’espérancedela variablealéatoire𝑔(𝑋, 𝑌)sera: 1. 𝑿et𝒀Discrète:𝜇•(Ž,‘) = 𝐸 𝑔 𝑋, 𝑌 = ] w 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) 2. 𝑿et𝒀Continues:𝜇•(Ž,‘) = 𝐸 𝑔 𝑋, 𝑌 = • = `a `a 𝑔 ba ba 𝑥, 𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) Théorèmes: 1. Si𝑎et𝑏sont2constantes,alors:𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏 2. L’espérancedelasommeoudeladifférencede2ouplusieursfonctionsd’unevariablealéatoire𝑋 estlasommeouladifférencedesespérancesdesfonctions,c’estàdire: 𝐸 𝑔 𝑋 ± ℎ 𝑋 = 𝐸[𝑔 𝑋 ] ± 𝐸[ℎ 𝑋 ] 3. 4. L’espérancedelasommeoudeladifférencede2ouplusieursfonctionsdesvariablesaléatoires𝑋 et𝑌estlasommeouladifférencedesespérancesdesfonctions,c’est-à-dire: 𝐸 𝑔 𝑋, 𝑌 ± ℎ 𝑋, 𝑌 = 𝐸[𝑔 𝑋, 𝑌 ] ± 𝐸[ℎ 𝑋, 𝑌 ] Soit𝑋et𝑌deuxvariablesaléatoiresindépendantes.Alors:𝐸 𝑋×𝑌 = 𝐸 𝑋 ×𝐸(𝑌) • Soit𝑋unevariablealéatoiredecarréintégrable(𝑋 ƒ estintégrable)avecunedistributiondeprobabilité 𝑓(𝑥)etunemoyenne𝜇.LaVariancede𝑋est: 1. 𝑿Discrète: 𝜎 ƒ = 𝐸 𝑋 − 𝜇 ƒ = ] 𝑥 − 𝜇 ƒ 𝑓(𝑥) 2. 𝑿Continue: 𝜎 ƒ = 𝐸 𝑋 − 𝜇 ƒ = `a ba ] 𝑥 − 𝜇 ƒ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 Laracinecarréepositivedelavariance,𝜎,estappeléécarttypede𝑋. • Pouréviterleslongscalculsfastidieuxquidécoulentgénéralementducalculdelavariance,onutilise souventlaformulesuivante: 𝜎 ƒ = 𝐸 𝑋 ƒ − 𝜇ƒ • Soit𝑋et𝑌,2variablesaléatoiresayantunedistributiondeprobabilitéjointe𝑓(𝑥, 𝑦).LaCovariancede𝑋et 𝑌est: 1. 𝑿et𝒀Discrète: 𝜎Ž‘ = 𝐸 𝑋 − 𝜇] 𝑌 − 𝜇‘ = ] w 𝑥 − 𝜇] 𝑦 − 𝜇‘ 𝑓(𝑥, 𝑦) 2. 𝑿et𝒀Continues: 𝜎Ž‘ = 𝐸 𝑋 − 𝜇] 𝑌 − 𝜇‘ `a `a ba ba = 𝑥 − 𝜇] 𝑦 − 𝜇‘ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 N.B:Sionpose𝑋 = 𝑌,onretrouvelaformuledelavariance. • Pouréviterleslongscalculsfastidieuxquidécoulentgénéralementducalculdelacovariance,onutilise souventlaformulesuivante: 𝜎Ž‘ = 𝐸 𝑋𝑌 − 𝜇Ž 𝜇‘ • Lacovariancede2variablesaléatoiresindépendantes𝑋et𝑌estnulle. • Lecoefficientdecorrélationlinéaire𝑟estdéfinipar: 𝑟= 𝜎Ž‘ 𝜎Ž 𝜎‘ • Danslecasgénéralona:−1 ≤ 𝑟 ≤ +1 - Si𝑟 = 1ou𝑟 = −1,alorslesvariablessontliéesparunerelationlinéairestricte. - Si𝑟estprochede±1ondiraqu’ilyaunefortecorrélationlinéaireentre𝑋et𝑌. - Si𝑟estnul,alorsoubienles2caractèressontindépendants,oubien𝑋et𝑌sontliéesparune relationnonlinéaire. • Si𝑎et𝑏sontdesconstantes,alors: ƒ 𝜎gŽ`f = 𝑎 ƒ 𝜎Žƒ = 𝑎 ƒ 𝜎 ƒ • Si𝑋et𝑌sont2variablesaléatoiresayantunedistributiondeprobabilitéjointe𝑓(𝑥, 𝑦),alors: ƒ 𝜎gŽ`f‘ = 𝑎 ƒ 𝜎Žƒ + 𝑏 ƒ 𝜎‘ƒ + 2𝑎𝑏𝜎Ž‘ • Si𝑋et𝑌sontdesvariablesaléatoiresindépendantes,alors: ƒ 𝜎gŽ±f‘ = 𝑎 ƒ 𝜎Žƒ + 𝑏 ƒ 𝜎‘ƒ Généralisationdel’équationprécédentepourunecombinaisonlinéairede𝑛variablesindépendantes: 𝜎gƒœŽœ±g•Ž•±⋯±gŸŽŸ = 𝑎‚ƒ 𝜎Žƒœ + 𝑎ƒƒ 𝜎Žƒ• + ⋯ + 𝑎„ƒ 𝜎ŽƒŸ