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Chapitre3:
Unevariablealéatoire𝑋estuneapplication𝑋∶𝛺→ℝc'estàdirequiassocieàchaqueélémentdeΩun
certainnombreréel.
Elleestdite:
1. Discrètesil’ensembledesesvaleurspossibles𝑋(Ω)contientunnombrefiniouinfinid’éléments
dénombrables(ilexisteaumoinsunebijectionEdansl’ensembleℕdesentiersnaturels).
2. Continuesiellepeutprendren’importequellevaleursurunintervalledonnédeℝ.
N.B:Danslaplupartdesproblèmespratiques,lesvariablesaléatoirescontinuesreprésententde
l’informationmesurée,commeparexempledeshauteurs,despoids,destempératures,desduréesdevie…
etc.Parcontre,lesvariablesaléatoiresdiscrètesreprésententdecomptagescommeparexemplelenombre
d’élémentsdéfectueuxdansunéchantillonoubienlenombred’accidentssuruneintersection…etc.
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L’application𝑥 → 𝑃(𝑋 = 𝑥)s’appelledistributiondelavariablealéatoire𝑋.
Onnoteracetteapplication𝑓 𝑥 = 𝑃(𝑋 = 𝑥).
Ona:
1. Pourlesvariablesaléatoiresdiscrètes:(Loideprobabilité)
- 𝑓 𝑥 ≥ 0∀𝑥
] 𝑓(𝑥) = 1
- 𝑓 𝑥 = 𝑃(𝑋 = 𝑥)
2. Pourlesvariablesaléatoirescontinues:(Densitédeprobabilité)
- 𝑓 𝑥 ≥ 0∀𝑥 ∈ ℝ
`a
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
ba
-
𝑃 𝑎<𝑋<𝑏 =
•
𝑥 𝑑𝑥 𝑎et𝑏 ∈ ℝ − {+∞, −∞}
Onappellefonctionderépartitionouloicumulative𝐹(𝑥)d’unevariablealéatoire:
1. Discrète𝑋ayantunedistributiondeprobabilité𝑓(𝑥)lafonction:
𝑓(𝑡) pour𝑥 ∈ ℝ
𝐹 𝑥 =𝑃 𝑋<𝑥 =
2.
pq]
Continueavecunedensitédeprobabilité𝑓(𝑋)est:
`a
𝐹 𝑥 =𝑃 𝑋<𝑥 =
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 pour𝑥 ∈ ℝ
ba
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Systèmede2variablesaléatoiresX,Y:Lafonction𝑓(𝑥, 𝑦)estappelé:
1. Distributiondeprobabilitéd’unsystèmede2variablesaléatoiresdiscrètes𝑋, 𝑌si:
- 𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 0pourtout(𝑥, 𝑦)
] w 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1
- 𝑃 𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
2. Densitédeprobabilitéd’unsystèmede2variablescontinuesX,Ysi:
- 𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 0pourtout(𝑥, 𝑦)
`a `a
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1
ba ba
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𝑃 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐴 =
y
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ; pourtouterégion𝐴dansleplan𝑥𝑦
DistributionMarginales:Lesdistributionsmarginalesde𝑋seuleetde𝑌seulesont:
1. Pourlecasdiscret:𝑔 𝑥 = w 𝑓(𝑥, 𝑦) etℎ 𝑦 = ] 𝑓(𝑥, 𝑦)
2.
Pourlecascontinue:𝑔 𝑥 =
`a
𝑓
ba
𝑥, 𝑦 𝑑𝑦etℎ 𝑦 =
`a
𝑓
ba
𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 Letermemarginalestutilisécar,danslecasdevariablesdiscrètes,lesvaleursde𝑔(𝑥)etℎ(𝑥)sontles
totauxmarginauxdescolonnesetlignesrespectivesquandlesvaleursde𝑓(𝑥, 𝑦)sontdonnéesdansune
tablerectangulaire.
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f
𝑓
g
Soit𝑋et𝑌,2variablesaléatoires,discrètesoucontinues,avaleursrespectivesdansFetG.Ladistribution
conditionnelledeprobabilitédelavariable𝑌,sachantque𝑋 = 𝑥,est:
𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓 𝑥𝑦 =
,
𝑔 𝑥 > 0
𝑔(𝑥)
Demêmeladistributionconditionnelledeprobabilitédelavariablealéatoire𝑋,sachantque𝑌 = 𝑦,est:
𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓 𝑥𝑦 =
,
ℎ 𝑦 > 0
ℎ(𝑦)
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Soit𝑋et𝑌,2variablesaléatoires,discrètesoucontinues,avecunedistributiondeprobabilité𝑓(𝑥, 𝑦),etde
distributionsmarginales𝑔(𝑥)etℎ(𝑦),respectivement.Lesvariablesaléatoires𝑋et𝑌sontdites
indépendantesstatistiquementsi,etseulementsi:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑥 . ℎ 𝑦 pourtout 𝑥, 𝑦 .
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Soit𝑋‚ , 𝑋ƒ , … , 𝑋„ 𝑛variablesaléatoires,discrètesoucontinues,avecunedistributiondeprobabilité
𝑓(𝑥‚ , 𝑥ƒ , … , 𝑥„ )etdistributionsmarginales𝑓‚ 𝑥‚ , 𝑓ƒ 𝑥ƒ , … , 𝑓„ (𝑥„ )respectivement.Lesvariables
aléatoires𝑋‚ , 𝑋ƒ , … , 𝑋„ sontditesmutuellementindépendantesstatistiquementsietseulementsi,
𝑓 𝑥‚ , 𝑥ƒ , … , 𝑥„ = 𝑓‚ 𝑥‚ . 𝑓ƒ 𝑥ƒ … 𝑓„ 𝑥„ pouttout𝑥‚ , 𝑥ƒ , … , 𝑥„ Soit𝑋 ∶ Ω → 𝐹 ⊂ ℝunevariablealéatoire.Elleestditeintégrablesi:
1. 𝑿Discrète: ]∈ˆ 𝑥 𝑓(𝑥) = ]∈ˆ 𝑥 𝑃(𝑋 = 𝑥) < +∞
`a
2. 𝑿Continue: ba 𝑥 𝑓(𝑥) < +∞
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Soit𝑋unevariablealéatoireintégrableavecunedistributiondeprobabilité𝑓(𝑥).L’espérance
Mathématiquede𝑋oumoyennede𝑋est:
1. 𝑿Discrète: 𝜇 = 𝐸 𝑋 = ] 𝑥. 𝑓 𝑥 2.
𝑿Continue: 𝜇 = 𝐸 𝑋 =
`a
𝑥. 𝑓(𝑥)
ba
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Théorème:Soit𝑋 ∶ Ω → 𝐹unevariablealéatoireayantunedistributiondeprobabilité𝑓(𝑥),etune
fonction𝑔 𝑋 : 𝐹 → ℝ.Alorslavariable𝑔 𝑋 estintégrablesietseulementsi:
1. 𝑿Discrète: ]∈ˆ 𝑔 𝑥 𝑃(𝑋 = 𝑥) = ]∈ˆ 𝑔 𝑥 𝑓(𝑥) < +∞
Etalorsl’espérancede𝑔 𝑋 :𝜇•(Ž) = 𝐸 𝑔 𝑋 = ]∈ˆ 𝑔 𝑥 𝑓(𝑥)
2.
𝑿Continue:
•
𝑔 𝑥 𝑓(𝑥) < +∞
Etalorsl’espérancede𝑔 𝑋 : 𝜇•(Ž) = 𝐸 𝑔 𝑋
•
•
𝑔 𝑥 𝑓(𝑥)
Soit𝑋et𝑌,2variablesaléatoiresayantunedistributiondeprobabilitéjointe𝑓(𝑥, 𝑦).L’espérancedela
variablealéatoire𝑔(𝑋, 𝑌)sera:
1. 𝑿et𝒀Discrète:𝜇•(Ž,‘) = 𝐸 𝑔 𝑋, 𝑌 = ] w 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦)
2.
𝑿et𝒀Continues:𝜇•(Ž,‘) = 𝐸 𝑔 𝑋, 𝑌
=
•
=
`a `a
𝑔
ba ba
𝑥, 𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦)
Théorèmes:
1. Si𝑎et𝑏sont2constantes,alors:𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏
2. L’espérancedelasommeoudeladifférencede2ouplusieursfonctionsd’unevariablealéatoire𝑋
estlasommeouladifférencedesespérancesdesfonctions,c’estàdire:
𝐸 𝑔 𝑋 ± ℎ 𝑋 = 𝐸[𝑔 𝑋 ] ± 𝐸[ℎ 𝑋 ]
3.
4.
L’espérancedelasommeoudeladifférencede2ouplusieursfonctionsdesvariablesaléatoires𝑋
et𝑌estlasommeouladifférencedesespérancesdesfonctions,c’est-à-dire:
𝐸 𝑔 𝑋, 𝑌 ± ℎ 𝑋, 𝑌 = 𝐸[𝑔 𝑋, 𝑌 ] ± 𝐸[ℎ 𝑋, 𝑌 ]
Soit𝑋et𝑌deuxvariablesaléatoiresindépendantes.Alors:𝐸 𝑋×𝑌 = 𝐸 𝑋 ×𝐸(𝑌)
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Soit𝑋unevariablealéatoiredecarréintégrable(𝑋 ƒ estintégrable)avecunedistributiondeprobabilité
𝑓(𝑥)etunemoyenne𝜇.LaVariancede𝑋est:
1. 𝑿Discrète: 𝜎 ƒ = 𝐸 𝑋 − 𝜇 ƒ = ] 𝑥 − 𝜇 ƒ 𝑓(𝑥) 2.
𝑿Continue: 𝜎 ƒ = 𝐸 𝑋 − 𝜇
ƒ
=
`a
ba
]
𝑥 − 𝜇 ƒ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 Laracinecarréepositivedelavariance,𝜎,estappeléécarttypede𝑋.
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Pouréviterleslongscalculsfastidieuxquidécoulentgénéralementducalculdelavariance,onutilise
souventlaformulesuivante:
𝜎 ƒ = 𝐸 𝑋 ƒ − 𝜇ƒ •
Soit𝑋et𝑌,2variablesaléatoiresayantunedistributiondeprobabilitéjointe𝑓(𝑥, 𝑦).LaCovariancede𝑋et
𝑌est:
1. 𝑿et𝒀Discrète: 𝜎Ž‘ = 𝐸 𝑋 − 𝜇] 𝑌 − 𝜇‘ = ] w 𝑥 − 𝜇] 𝑦 − 𝜇‘ 𝑓(𝑥, 𝑦) 2.
𝑿et𝒀Continues: 𝜎Ž‘ = 𝐸 𝑋 − 𝜇] 𝑌 − 𝜇‘
`a `a
ba ba
=
𝑥 − 𝜇] 𝑦 − 𝜇‘ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 N.B:Sionpose𝑋 = 𝑌,onretrouvelaformuledelavariance.
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Pouréviterleslongscalculsfastidieuxquidécoulentgénéralementducalculdelacovariance,onutilise
souventlaformulesuivante:
𝜎Ž‘ = 𝐸 𝑋𝑌 − 𝜇Ž 𝜇‘ •
Lacovariancede2variablesaléatoiresindépendantes𝑋et𝑌estnulle.
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Lecoefficientdecorrélationlinéaire𝑟estdéfinipar:
𝑟=
𝜎Ž‘
𝜎Ž 𝜎‘
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Danslecasgénéralona:−1 ≤ 𝑟 ≤ +1
- Si𝑟 = 1ou𝑟 = −1,alorslesvariablessontliéesparunerelationlinéairestricte.
- Si𝑟estprochede±1ondiraqu’ilyaunefortecorrélationlinéaireentre𝑋et𝑌.
- Si𝑟estnul,alorsoubienles2caractèressontindépendants,oubien𝑋et𝑌sontliéesparune
relationnonlinéaire.
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Si𝑎et𝑏sontdesconstantes,alors:
ƒ
𝜎gŽ`f
= 𝑎 ƒ 𝜎Žƒ = 𝑎 ƒ 𝜎 ƒ •
Si𝑋et𝑌sont2variablesaléatoiresayantunedistributiondeprobabilitéjointe𝑓(𝑥, 𝑦),alors:
ƒ
𝜎gŽ`f‘
= 𝑎 ƒ 𝜎Žƒ + 𝑏 ƒ 𝜎‘ƒ + 2𝑎𝑏𝜎Ž‘ •
Si𝑋et𝑌sontdesvariablesaléatoiresindépendantes,alors:
ƒ
𝜎gŽ±f‘
= 𝑎 ƒ 𝜎Žƒ + 𝑏 ƒ 𝜎‘ƒ Généralisationdel’équationprécédentepourunecombinaisonlinéairede𝑛variablesindépendantes:
𝜎gƒœŽœ±g•Ž•±⋯±gŸŽŸ = 𝑎‚ƒ 𝜎Žƒœ + 𝑎ƒƒ 𝜎Žƒ• + ⋯ + 𝑎„ƒ 𝜎ŽƒŸ