CH XVIII : Espaces probabilisés - cas général

ECE1-B
2015-2016
•
Notons ω le résultat de l’expérience.
On dira que l’événement A est réalisé si le résultat de l’expérience vérifie
l’événement. Autrement dit, si : ω ∈ A.
Ici, l’événement A est notamment réalisé si l’expérience donne pour
résultat ω = 6.
•
Exemple d’événement : B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Cet événement est réalisé si le résultat de l’expérience ω ∈ B i.e. si
ω = 1 (la face haute du dé est 1) ou ω = 2, ou ω = 3, . . ., ou ω = 6.
Cet événement est appelé évenement certain.
•
Exemple d’événement C : « le résultat du lancer est plus grand que 7 ».
Cet événement, jamais réalisé est appelé événement impossible : C = ∅.
CH XVIII : Espaces probabilisés - cas général
Au premier semestre, nous avons fait l’étude de la notion de probabilité
sur un univers Ω fini. Dans ce chapitre, on généralise l’étude faite au premier
semestre au cas où l’univers est infini (chapitre à bien connaître !). C’est
l’occasion de revoir les notions du premier semestre.
I. Espaces probabilisables - cas général
I.1. Expérience aléatoire
Remarque
Ce premier exemple illustre le cas où l’ensemble des résultats possibles Ω est
fini. C’est un cas particulier. On peut en effet définir des expériences dont
l’ensemble des résultats est infini.
2) Expérience : on joue à pile ou face de façon répétée et on s’intéresse au
Définition
rang d’apparition du premier pile.
On appelle expérience aléatoire toute expérience dont le résultat ne peut
∗
être prédit de manière certaine. Autrement dit, une expérience dont le résul• Univers : Ω = N .
tat dépend du hasard.
L’univers est l’ensemble des rangs possibles. A priori, tous les rangs
sont possibles !
Illustrons cette notion d’expérience aléatoire sur différents exemples et profitons• Exemple d’événement D : le premier pile est obtenu avant ou lors du
en pour rappeler une partie du vocabulaire des probabilités.
10ème lancer. On a alors D = J1, 10K.
L’expérience est notamment réalisée pour ω = 3.
Exemple
ème
• Exemple d’événement E : le premier pile est obtenu après le 10
1) Expérience : on effectue 1 lancer d’un dé 6.
lancer. E = D̄ = {n ∈ N∗ | n > 11}.
• Univers : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Remarque
Univers : l’ensemble des résultats possibles de l’expérience.
Ce nouvel exemple illustre le cas où l’ensemble des résultats possibles Ω est
• Exemple d’événement A : « le résultat obtenu est pair ».
non fini et dénombrable. Il existe aussi des expériences où Ω est non fini et
Événement : propriété de l’expérience qui peut être vérifiée ou non.
non
dénombrable.
A = {2, 4, 6} ⊂ Ω
1
ECE1-B
2015-2016
Parenthèse : notion d’ensemble dénombrable / fini.
Définition
Un ensemble E est :
a) fini : si E = ∅ ou s’il existe une bijection entre E et J1, nK.
b) infini : si E n’est pas fini.
c) dénombrable : s’il exite une bijection entre E et N.
d) au plus dénombrable : s’il est fini ou dénombrable.
Dans le cas contraire, on dit qu’il est non dénombrable.
•
De même, on peut considérer l’événement : S =
4
T
Fi
i=1
•
Cet événement est constitué de l’ensemble des suites dont les 4 premiers
éléments sont 6.
T
Et enfin l’événement : T =
Fi
i∈N∗
Cet événement est constitué de l’ensemble des suites dont les tous éléments sont 6 : il est donc réduit à la suite constante de valeur 6.
Remarque
Lorsque l’on considère des univers Ω non finis on constate les points suivants.
3) Expérience : on observe la durée de vie d’une ampoule.
• L’ensemble des événements d’intérêt peut être infini.
+
• Univers : Ω = R .
(Rappel : si Ω fini (de cardinal n) alors P(Ω) fini (de cardinal 2n ) )
L’univers est l’ensemble des durées possibles. A priori, toutes les durées
sont possibles même si la modélisation Ω = [0, T ] avec T suffisamment • Un événement peut être défini comme une union infinie d’événements.
• Un événement peut être défini comme intersection infinie d’événements.
grand semble cohérente.
4) Expérience : on lance indéfiniment un dé 6 et on considère la suite des
Définition
résultats obtenus.
Soit Ω un ensemble. Notons I une partie de N (I ⊆ N).
N∗ , ensemble des suites à valeur dans J1, 6K.
• Univers : Ω = J1, 6K
Notons (Ai )i∈I une famille d’éléments de P(Ω) (∀i ∈ I, Ai ⊆ Ω).
ème lancer ».
S
S
• Considérons l’événement Fi : « on obtient 6 au i
∗
a) On note
Ai l’ensemble défini par : ω ∈
Ai ⇔ ∃i ∈ I, ω ∈ Ai
L’ensemble Fi ⊆ J1, 6KN est un ensemble de suites : il est constitué de
i∈I
i∈I
S
toutes les suites dont le ième élément est 6 (pas de contrainte sur les
Ai = {ω ∈ Ω | ∃i ∈ I, ω ∈ Ai }
Autrement dit :
autres éléments).
i∈I
S
• Notons G l’événement : « on obtient (au moins une fois) 6 lors des 10
L’événement
Ai est réalisé si l’un des événements Ai est réalisé.
premiers lancers ».
i∈I
Cet événement signifie que 6 est obtenu soit lors du 1er lancer, soit lors b) On note T A l’ensemble défini par : ω ∈ T A ⇔ ∀i ∈ I, ω ∈ A
i
i
i
du 2ème , . . ., soit lors du 10ème lancer.
i∈I
i∈I
10
T
S
Ai = {ω ∈ Ω | ∀i ∈ I, ω ∈ Ai }
Autrement dit :
Il s’écrit : G =
Fi
i∈I
i=1
•
Considérons H : « on obtient 6 (au moins une fois) lors de la partie ».
L’événement
Ai est réalisé si tous les événements Ai est réalisé.
i∈I
Cet événement signifie que 6 est obtenu soit lors du 1er lancer, soit lors
+∞
+∞
S
T
du 2ème , . . .
S
c) Lorsque I = N, on notera :
Ai et
Ai .
On peut l’écrire : F =
Fi
i=0
i=0
T
i∈N∗
2
ECE1-B
2015-2016
I.2. Notion de tribu
Comparaison avec la notion d’espace probabilisable dans le cas fini.
Définition
La notion de tribu doit être considérée comme notre nouveau modèle d’ensemble regroupant les événements.
Soit Ω un ensemble.
a) On appelle tribu (ou σ-algèbre) de parties de Ω tout ensemble A consti-
•
Dans le cas où Ω est fini, on choisissait toujours P(Ω) (cf chapitre premier
semestre) : (Ω, P(Ω)) espace probabilisable.
•
Dans le cas où Ω est infini, P(Ω) est encore une tribu (elle contient tous
les événements que l’on peut définir sur Ω) donc (Ω, P(Ω)) est bien un
espace probabilisable.
•
Mais alors pourquoi ne pas prendre toujours P(Ω) qui regroupe tous les
événements que l’on peut former sur Ω ?
tué de parties de Ω (autrement dit A ⊆ P(Ω)) tel que :
(i) Ω ∈ A .
(ii) ∀A ∈ A , Ā ∈ A .
(stabilité par passage au complémentaire)
(iii) Pour toute suite (An )n∈N d’éléments de A on a :
+∞
S
An ∈ A .
n=0
(stabilité par union dénombrable)
b) (Ω, A ) est alors appelé espace probabilisable.
c) Les éléments de A sont appelés événements.
Exemple
En fait, si Ω = R (infini non dénombrable) le choix de (Ω, P(Ω)) comme
espace probabilisable a peu de sens. Le but d’un espace probabilisable est
d’accueillir une fonction de probabilité qui en fait un espace probabilisé. On
peut démontrer (largement hors de notre portée) que l’on ne peut définir
de probabilité sur P(R) tout entier : on ne peut mesurer la probabilité de
certaines parties de R.
•
Si Ω 6= ∅, {∅, Ω} est une tribu, parfois appelée tribu grossière.
Cette tribu contient seulement deux événements : l’événement impossible +
et l’événement certain.
•
Si Ω 6= ∅, A ⊆ Ω, A 6= ∅ et A 6= Ω, alors {∅, Ω, A, Ā} est une tribu sur
Ω. C’est la plus petite tribu qui contient A.
Exemple
Notons A = {A ⊆ N | A fini ou Ā fini}. Ce n’est pas une tribu.
On considère de nouveau l’expérience consistant à observer la durée de vie
d’une ampoule.
× si n ∈ N, An = {2n} est un élément de A ,
+
S
• Ω = R .
× ainsi, si A est une tribu alors
A est un élément de A .
•
L’idée est donc de définir un ensemble d’événements plus restreint sur
lequel on pourra définir une probabilité. Cela revient à sélectionner
les événements que l’on souhaite observer.
n
n∈N
Ce n’est pas le cas car ni
S
An (ensemble des entiers pairs) ni son
n∈N
complémentaire (ensemble des entiers impairs) ne sont de cardinal fini.
•
On peut choisir comme tribu celle engendrée par tous les intervalles de
la forme ]a, +∞[. On pourra notamment observer si la durée de vie de
l’ampoule est strictement supérieur à un temps de référence. Mais aussi
si elle est plus petite qu’un temps donné (passage au complémentaire) ou
encore si elle est comprise entre deux temps distincts.
(en fait cette tribu contient (notamment) tous les intervalles de R+ )
3
ECE1-B
2015-2016
Propriété
Soit A une tribu de parties de Ω.
1) ∅ ∈ A .
2) Pour tout (A, B) ∈ A 2 , on a :
i∈I
A ∪ B, A ∩ B, A \ B sont des éléments de A .
3) Si I ⊆ N et si (Ai )i∈I est une famille d’éléments de A , on a :
S
Ai et
T
Ai sont des éléments de A .
i∈I
i∈I
Démonstration.
1) Ω ∈ A et ∅ = Ω̄ donc ∅ ∈ A .
2) Si (A, B) ∈ A 2 , on considère la suite (Ck )k∈N définie par :
×
C0 = A,
×
C1 = B,
et Ck = ∅ pour tout k > 2.
+∞
S
On a alors :
Ci = A ∪ B ∈ A .
×
i=0
On en déduit que A ∩ B = Ā ∪ B̄ ∈ A car Ā et B̄ sont dans A .
3) Si (Ai )i∈I est une famille d’éléments de A on considère la suite (Ck )k∈N
définie par :
×
Ci = Ai si i ∈ I,
et Ci = ∅ pour tout i 6∈ I.
+∞
S
S
On a alors :
Ci =
Ai ∈ A .
×
i=0
On en déduit que
i∈I
T
i∈I
Ai =
S
i∈I
Remarque : suite ou famille d’événements ?
• On peut remplacer la propriété (iii) de la définition par :
(iii’) Pour tout I ⊆ N et toute famille (Ai )i∈I d’événements de A on a :
S
Ai ∈ A
(stabilité par union au plus dénombrable)
Āi ∈ A car tous les Āi sont dans A .
•
•
L’intérêt de la propriété (iii) est pédagogique : en écrivant +∞, il apparaît
plus clairement qu’on peut considérer une union infinie d’événements.
L’intérêt de la propriété (iii’) est qu’elle englobe le cas I fini : on obtient
directement que l’union finie d’événements est un événement (avec la (iii)
on doit le démontrer).
Résumé des propriétés de stabilité.
Une tribu A de parties de Ω :
× contient l’événement impossible et l’événément certain,
× est stable par union finie et stable par union dénombrable,
× est stable par intersection finie et stable par intersection dénombrable,
× est stable par passage au complémentaire.
Ainsi, si A est une tribu, on pourra toujours considérer l’événément obtenu
par une union au plus dénombrable d’événements de A , par une intersection
au plus dénombrable d’événements de A , ou encore comme complémentaire
d’un événement de A . Tous ces événements sont dans A .
Exemple
• {∅, {1}, {1, 3}, {3}, {2, 4, 5}, {1, 2, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}} est une
tribu de parties de Ω = J1, 5K.
• Si Ω = J1, 5K, alors S = {{1, 2}, {1, 3}, {4}, {5}, {1, 2, 3, 4, 5}} n’est pas une
tribu car (l’une de ces propriétés suffit) :
× ne contient pas ∅,
× n’est pas stable par union puisque {1, 2} ∈ S et {1, 3} ∈ S mais que
{1, 2} ∪ {1, 3} = {1, 2, 3} 6∈ S,
× n’est pas stable par intersection puisque {1, 2} ∈ S et {1, 3} ∈ S mais
que {1, 2} ∩ {1, 3} = {1} 6∈ S,
× ...
4
ECE1-B
•
2015-2016
On s’intéresse parfois à la plus petite tribu contenant un ensemble S de
parties de Ω (on parle alors de tribu engendrée par l’ensemble S).
Par exemple, si on souhaite construire la plus petite tribu de Ω = J1, 5K
contenant S = {{1, 2}, {1, 3}, {4}, {5}, {1, 2, 3, 4, 5}}, on peut procéder
comme suit. On part de S. Étant données les propriétés des tribus, on
doit ajouter :
× ∅,
× {1, 2} = {3, 4, 5},
× {1, 2} ∪ {1, 3} = {1, 2, 3},
× ...
On peut démontrer que l’on construit ainsi P(Ω).
•
1) Le caractère disjoint des cas étudiés : deux cas ne peuvent être vrais en
même temps.
2) Le caractère exhaustif de la recherche : si on regroupe tous les cas
étudiés, on obtient tous les cas possibles.
•
•
La famille (Ai )i∈I est un système complet d’événements si :
1) Pour tout (i, j) ∈ I 2 tel que i 6= j, Ai ∩ Aj = ∅
(les événements sont deux à deux incompatibles)
S
2) Ω =
Ai
2ème branchement n’est considéré que si la condition de la 1ère branche
n’est pas vérifiée (et ainsi de suite).
2) Le caractère exhaustif de la recherche : on utilise l’instruction else
(sans condition) dans la dernière branche ce qui assure qu’au moins un
des blocs est exécuté.
Exemple
•
Soit (Ω, A ) un espace probabilisable.
×
×
i∈I
Remarque
• On peut réécrire cette définition en prenant une suite (An )n∈N d’événements de A (cf remarque « suite ou famille d’événements »).
• Si on sait de plus que : ∀i ∈ I, Ai 6= ∅, on obtient une partition de Ω.
On peut donc reprendre l’analogie du puzzle déjà mentionnée dans le chapitre « Ensemble et applications ». Les événements Ai sont les pièces.
1) Deux pièces ne se chevauchent jamais.
2) Toutes les pièces mises côte à côte permettent de reconstituer le dessin
qui n’est autre que Ω.
Enfin, on peut aussi faire le parallèle avec les structures conditionnelles.
Un if à branchements multiples est correctement construit s’il vérifie les
deux points suivants.
1) Le caractère disjoint des cas étudiés : à l’aide de l’instruction elif, le
I.3. Système complet d’événements
Définition (Système complet d’événements)
Soit A tribu de parties de Ω.
Soit I ⊆ N et (Ai )i∈I une famille d’événements de A .
On peut aussi relier la notion de système complet d’événements à celle de
raisonnement par disjonction de cas. Il repose sur 2 grands principes.
•
si A ∈ A alors (A, Ā) est un système complet d’événements.
si I ⊆ N, Ω = {ωi | i ∈ I} et A = P(Ω) alors ({ωi })i∈I est un système
complet d’événements.
Comme on l’a vu au premier semestre, exhiber un système complet d’événements est nécessaire pour énoncer la formule des probabilités totales.
On teste en fonction des différents cas possibles.
Dans les exercices sur les probabilités, il faudra penser à la notion de système complet dès qu’une situation sera décrite en évoquant différents cas.
5
ECE1-B
2015-2016
Remarque
Exercice
On considère une population touchée par une maladie rare. Cette maladie • C’est une généralisation de la définition de probabilité du premier setouche une personne sur 10000. Un test de dépistage est proposé et donne
mestre : on ajoute le calul de la probabillité d’un événement défini par
les résultats suivants :
union dénombrable d’événements.
• si une personne est malade, le test est positif à 99%,
• Une probabilité étant σ-additive, elle est aussi additive.
Ainsi, si m ∈ N∗ et A1 , . . . , Am des événements deux à deux incompatibles
• si une personne est saine, le test peut aussi se révéler positif à hauteur de
(i.e. Ai ∩ Aj = ∅ pour tout i 6= j) on a :
0, 1% (on parle de faux positif).
m
A-t-on intérêt à se fier aux résultats de ce test ?
m
S
P
Ai =
P
P(Ai )
Plus précisément, on calculera la probabilité qu’une personne soit malade
i=1
i=1
sachant que le test est positif.
P
• Dans cette définition, il est sous-entendu que
P(An ) est une série convern
P
P(Ak ) alors il est simple de démontrer que (Sn )
gente. Si on note Sn =
II. Espace probabilisé
k=0
est une suite croissante et majorée par 1 :
× Sn+1 − Sn = P(An+1 ) > 0
n
n
P
S
× Sn =
P(Ak ) = P
Ak 6 1
II.1. Probabilité
Définition
Soit (Ω, A ) un espace probabilisable.
•
k=0
Une probabilité est un application P : A → [0, 1] telle que :
Définition
Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé.
1) ∀A ∈ A ,
0 6 P(A) 6 1
• Un événement A est dit négligeable ou quasi-impossible si : P(A) = 0.
2) P(Ω) = 1
• Un événement A est dit quasi certain si : P(A) = 1.
(la probabilité de l’événement certain est 1)
• Traduction en terme de propriété : soit P une propriété.
3) Pour toute suite (Ak )k∈N d’événements de A deux à deux incompaSi A = {ω ∈ Ω | ω vérifie la propriété P} et P(A) = 1, on dit que la
tibles (∀(i, j) ∈ N2 , Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j), on a :
propriété est vérifiée presque sûrement.
+∞ +∞
Remarque
P
S
P(Ak )
Ak =
P
Avec cette définition, les propriétés suivantes sont vérifiées.
k=0
k=0
•
•
k=0
(cette propriété est appelée σ-additivité)
Lorsqu’une telle application existe, le triplet (Ω, A , P) est appelé espace
probabilisé.
•
•
•
L’événement impossible ∅ est négligeable (quasi-impossible).
L’événément certain Ω est quasi-certain.
Attention : A quasi certain n’implique pas A = Ω.
Attention : A quasi-impossible n’implique pas A = ∅.
6
ECE1-B
2015-2016
Exemple
Démonstration.
On considère l’expérience aléatoire consistant en 1 lancer d’un dé à 6 faces. 1) On a : A ∪ A = Ω (réunion disjointe). Ainsi, par additivité :
L’univers associé est Ω = J1, 6K. On munit l’espace probabilisable (Ω, P(Ω))
P(A ∪ A) = P(A) + P(A) = P(Ω) = 1
de la probabilité P telle que P({5}) = 12 et P({6}) = 12 .
2) On a : (B \ A) ∪ (A ∩ B) = B (réunion disjointe).
• Obtenir un résultat inférieur à 4 est un événement A quasi-impossible.
Ainsi, par additivité :
A = {1, 2, 3, 4} =
6 ∅ et P(A) = 0.
P((B \ A) ∪ (A ∩ B)) = P(B \ A) + P(A ∩ B) = P(B)
Obtenir un résultat supérieur ou égal à 5 est un événement B quasi-certain.
B = {5, 6} =
6 Ω et P(B) = 1.
3) D’après le point précédent : P(A ∩ B) + P(B \ A) = P(B).
On retiendra au passage que la notion d’événement quasi-certain (resp. quasiOr, comme A ⊂ B, on a A ∩ B = A. Ainsi :
impossible) est dépendante de la probabilté P choisie.
P(B) = P(A) + P(B \ A) > P(A)
•
II.2. Propriétés des probabilités
II.2.a) Propriétés générales
4) On a : A ∪ B = A ∪ (B \ A) (la deuxième réunion est disjointe).
On en déduit, à l’aide du point 2) que :
P(A ∪ B) = P(A ∪ (B \ A))
Propriété
= P(A) + P(B \ A)
Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé.
Soit A, B, C des événements ((A, B, C) ∈ A 3 ).
1) P(Ā) = 1 − P(A) donc P(∅) = 0
2) P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B)
3) Si A ⊂ B, P(A) 6 P(B)
4) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∪ B ∪ C) =
5)
(formule du crible)
P(A) + P(B) + P(C)
− P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C)
+ P(A ∩ B ∩ C)
= P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
5) Généralisation de la formule précédente :
P(A ∪ B ∪ C)
= P(A ∪ (B ∪ C))
= P(A) + P(B ∪ C) − P(A ∩ (B ∪ C))
= P(A) + P(B) + P(C) − P(B ∩ C) − P(A ∩ (B ∪ C))
= P(A) + P(B) + P(C) − P(B ∩ C) − P((A ∩ B) ∪ (A ∩ C))
= P(A) + P(B) + P(C) − P(B ∩ C)
− ( P(A ∩ B) + P(A ∩ C) − P((A ∩ B) ∩ (A ∩ C)) )
= P(A) + P(B) + P(C)
−P(B ∩ C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C)
+P(A ∩ B ∩ C)
7
ECE1-B
2015-2016
II.2.b) Propriété de la limite monotone
Pour cela, on pose :
Théorème 1.
•
Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé.
•
Soit (An )n∈N une suite d’événements de A .
B0 = A0 ,
∀k ∈ N∗ , Bk = Ak \ (A0 ∪ · · · ∪ Ak−1 ) = Ak \ Ak−1
car A0 ∪ · · · ∪ Ak−1 = Ak−1 puisque (An ) est une suite croissante.
1) Si (An )n∈N est croissante (An ⊂ An+1 ) alors :
Ainsi on a : P
a) la suite (P(An )) converge,
b)
P
+∞
S
=
n=0
lim P(An ) = sup P(An )
n→+∞
n∈N
2) Si (An )n∈N est décroissante (An ⊃ An+1 ) alors :
a) la suite (P(An )) converge,
b)
P
+∞
T
An
n=0
lim P(An ) = inf
n→+∞
n∈N
P(Bn ) =
=
Démonstration.
On montre seulement la propriété 1). La démonstration de la propriété 2)
est analogue.
=
a) Comme An ⊆ An+1 , on a P(An ) 6 P(An+1 ). Ainsi, la suite (P(An )) est
=
croissante. Elle est de plus majorée par 1 (∀n ∈ N, P(An ) 6 1) donc
convergente vers ` = sup P(An ).
b) Afin de pouvoir utiliser la σ-additivité de l’application P, on construit
Bn
=
+∞
P
P(Bn )
n=0
On en conclut que :
lim
n→+∞
P(An )
n∈N
n=0
n=0
=
=P
+∞
S
P(Bk ) = P(Ak \ Ak−1 ) = P(Ak ) − P(Ak ∩ Ak−1 )
= P(Ak ) − P(Ak−1 )
or :
(pour k > 1)
+∞
P
An
n=0
An
+∞
S
Et ainsi, on a : P
+∞
S
n=0
n
P
P(Bk )
k=0
lim
n
P
P(Bk )
P(B0 ) +
lim
n
P
P(Ak ) − P(Ak−1 )
P(A0 ) +
n→+∞
n→+∞
lim
n→+∞
k=1
k=1
P(An )
An
= lim
n→+∞
P(An )
une suite (Bn ) d’événements deux à deux incompatibles telle que pour
n
n
S
S
Remarque
Ak =
Bk .
tout n ∈ N :
Ce résultat est appelé « propriété de la limite monotone » car il traite de la
k=0
k=0
limite d’une suite croissante (et majorée).
+∞
+∞
S
S
(ce qui implique
An =
Bn ).
n=0
n=0
8
ECE1-B
2015-2016
III. Probabilité conditionnelle
Théorème 2.
Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé.
III.1. Définition
Soit (An )n∈N une suite d’événements de A .
+∞
n
S
S
An = lim P
P
Ak
1)
n→+∞
n=0
2)
P
+∞
T
An
Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé.
Soit A un événement tel que P(A) 6= 0.
k=0
= lim P
n→+∞
n=0
Théorème 3.
n
T
On considère l’application PA suivante :
Ak
PA : A
k=0
B 7→
Démonstration.
1) Posons Bn =
n
S
Ak . La suite (Bn ) ainsi construite est une suite crois-
k=0
sante d’événements et vérifie :
× An ⊂ Bn donc
× Bn =
n
S
k=0
Ak ⊂
+∞
S
n=0
+∞
S
n=0
An ⊂
+∞
S
Bn =
n=0
+∞
S
+∞
S
An . En effet :
n=0
PA (B) =
P(A ∩ B)
P(A)
•
PA est une probabilité, appelée probabilité conditionnelle relative à A.
•
Pour tout événement B, PA (B) désigne la probabilité de B sachant A.
Démonstration.
PA vérifie les axiomes d’une probabilité (en exercice).
Bn
n=0
An et donc
+∞
S
n=0
Bn ⊂
+∞
S
Propriété
An .
k=0
Remarque
Il faut bien noter que l’on ne suppose pas, dans ce résultat, que la suite (An )
est croissante. Pour pouvoir utiliser le théorème
de la limite monotone on
n
S
Ak qui est une suite croissante
a donc construit la suite auxiliaire
k=0
Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé.
n=0
Il suffit alors d’appliquer le résultat précédent à la suite (Bn ).
n
T
2) Démonstration analogue en posant Bn =
Ak .
d’événements.
→ [0, 1]
Soit A un événement tel que P(A) 6= 0.
•
Pour tout événement B et C, on a :
1) PA (B̄) = 1 − PA (B) donc PA (∅) = 0
2) PA (B \ C) = PA (B) − PA (B ∩ C)
3) Si B ⊂ C, PA (B) 6 PA (C)
4) PA (B ∪ C) = PA (B) + PA (C) − PA (B ∩ C)
5) Si (B
n ) suite d’événements, on a : PA
PA
+∞
S
n=0
+∞
T
n=0
Bn
= lim PA
n→+∞
Bn
= lim PA
n→+∞
n
S
k=0
n
T
Bk
Bk
k=0
9
ECE1-B
2015-2016
III.2. Formules liées à la probabilité conditionnelle
III.2.b) Formule des probabilités totales
La notion de probabilité conditionnelle étant posée, on s’intéresse mainte- Théorème 5. Formule des probabilités totales
nant à comment l’utiliser pour nous aider à réaliser des calculs de probabilité. Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé.
III.2.a) Formule des probabilités composées
Soit (An )n∈N un système complet d’événements de A .
On suppose : ∀n ∈ N, P(An ) 6= 0.
Ce premier résultat stipule que la donnée de PA (B) nous enseigne la
Pour tout événement B, on a :
valeur de P(A ∩ B).
Proposition 1.
P(B) =
Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé.
2) Si P(B) 6= 0, on peut écrire
P(Ai ∩ B) =
i=0
Soient A et B deux événements.
1) Si P(A) 6= 0, on peut écrire
+∞
P
+∞
P
P(Ai ) PAi (B)
i=0
Démonstration.
P(A ∩ B) = P(A) PA (B)
P(A ∩ B) = P(B) PB (A)
3) On a alors, si P(A) × P(B) 6= 0 :
P(B) PB (A) = P(A) PA (B)
Démonstration.
C’est la définition de probabilité conditionnelle !
Comme (An )n∈N un système complet d’événements, on a : Ω =
+∞
+∞
S
S
Ainsi, on a : B = B ∩ Ω = B ∩
Ai =
(B ∩ Ai ).
i=0
+∞
S
Ai .
i=0
i=0
(la distributivité, les lois de de Morgan se généralisent au cas dénombrable)
Et comme (B ∩ Ai )i∈N est une suite d’événements incompatibles, on a :
+∞
P
P(B) =
P(B ∩ Ai ). Enfin, comme P(Ai ) 6= 0 (pour tout i ∈ N), on a :
i=0
Cette proposition peut se généraliser au cas d’une intersection d’un nombre
P(Ai ∩ B)
, ce qui permet de terminer la démonstration.
PAi (B) =
fini (quelconque) d’événements.
P(Ai )
Théorème 4.
Soit (A1 , . . . , Am ) une famille finie d’événements de A .
Cas particulier du système complet (A, Ā)
Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé et soit A est un événement (A ∈ A ).
La famille (A, Ā) est alors un système complet d’événements fini.
On suppose : P(A1 ∩ · · · ∩ Am−1 ) 6= 0.
Si P(A) 6= 0 et P(Ā) 6= 0, alors, pour tout B ∈ A , on peut écrire :
Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé et m ∈ N \ {0, 1}.
On a alors :
P(A1 ∩ · · · ∩ Am ) = P(A1 ) PA1 (A2 ) PA1 ∩A2 (A3 ) . . . PA1 ∩···∩Am−1 (Am )
P(B) = P(A) PA (B) + P(Ā) PĀ (B)
Démonstration.
Faite au premier semestre.
10
ECE1-B
Exercice
On dispose de n urnes numérotées de 1 à n. Dans l’urne numéro k se trouvent
k boules blanches et n − k boules rouges. On choisit au hasard (équiprobablement) une urne, puis on tire deux boules dans cette urne.
a. Quelle est la probabilité d’avoir deux boules blanches ?
b. Même question si on tire les deux boules successivement et avec remise.
2015-2016
Démonstration.
On note Ak : « le tirage s’effectue dans l’urne k » (pour k ∈ J1, nK).
On note B : « on tire deux boules blanches ».
a. La famille (A1 , . . . , An ) est un système complet d’événements.
De plus, P(Ak ) = k1 6= 0 (ne pas oublier cette hypothèse).
On en déduit, par la formule des probabilités totales que :
c. Quelle est la limite de ces probabilités quand n tend vers +∞ ?
P(B) =
n
P
P(B) × PAk (B)
k=1
Remarque
•
•
La difficulté de cet exercice réside dans le fait que la modélisation mathématique est absente. On insiste ici sur le raisonnement à mener qui est
assez naturel et très fréquent dans les exercices.
La probabilité de tirer 2 boules blanches dépend de l’urne dans laquelle
s’effectue le tirage.
×
Soit on tire dans l’urne 1 et dans ce cas . . .
×
Soit on tire dans l’urne 2 et dans ce cas . . .
×
...
×
Soit on tire dans l’urne n et dans ce cas . . .
•
On voit clairement apparaître un raisonnement par disjonction de cas, ce
qui signifie qu’il y a un système complet d’événements sous-jacent.
•
L’idée ici est de tester l’événement « obtenir 2 boules » suivant chacun des
cas listés précédemment.
Cela correspond à utiliser la formule des probabilités totales.
Or on a :
•
•
PA1 (B) = 0 (l’urne 1 ne contient qu’une boule blanche).
k!
k
k!
k(k − 1)
2!(n − 2)!
2!(k−2)!
2
PAk (B) = n =
=
×
=
n!
2!(k − 2)!
n!
n(n − 1)
2
2!(n−2)!
(pour k ∈ J2, nK)
Ainsi, si n > 2, on obtient :
P(B) =
n−1
n 1
P
P
1
1
n(n − 1)
1
k(k − 1)
k =
×
=
=
n(n − 1)
n(n − 1) k=1
n(n − 1)
2
2
k=2 k
b. On raisonne de la même manière que précédemment.
Dans le cas d’un tirage successif avec remise, on a, pour tout k ∈ J1, nK :
PAk (B) =
k×k
n×n
On obtient ainsi :
Il n’y a plus qu’à formaliser ces idées.
P(B) =
c. Comme
n 1
n
P
k ×k
1 P
1 n(n + 1)
n+1 1
= 2
k = 2
=
×
n×n
n k=1
n
2
n 2
k=1 k
lim
n→+∞
n+1
1
= 1, on obtient que lim P(B) = .
n→+∞
n
2
11
ECE1-B
2015-2016
III.2.c) Formule de Bayes
IV. Indépendance en probabilité
Théorème 6. Formule de Bayes
IV.1. Indépendance de deux événements
Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé.
Soit (An )n∈N un système complet d’événements de A .
Définition
Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé.
On suppose : ∀n ∈ N, P(An ) 6= 0.
Pour tout j ∈ N, pour tout B tel que P(B) 6= 0, on a :
PB (Aj ) =
P(Aj ) PAj (B)
P(Aj ) PAj (B)
= +∞
P
P(B)
P(Ai ) PAi (B)
i=0
•
Deux événements A et B sont dits indépendants pour la probabilité P
si :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Remarque
Il ne faut pas confondre cette propriété, liée à une probabilité P avec celle
d’incompatibilité qui ne dépend que des événements !
Démonstration.
La première égalité n’est autre que la formule 3) de la proposition 1.
Théorème 7.
La seconde égalité est une conséquence directe de la formule des probabilités Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé.
totales.
Soient A et B deux événements.
Cas particulier du système complet (A, Ā)
1) Si P(A) 6= 0 alors on a :
Soit A un événement tel que P(A) 6= 0 et P(Ā) 6= 0, alors, pour tout événement B tel que P(B) 6= 0, on peut écrire :
A et B sont indépendants ⇔ P(B) = PA (B)
PB (A) =
P(A) PA (B)
P(A) PA (B)
=
P(B)
P(A) PA (B) + P(Ā) PĀ (B)
2) Si P(B) 6= 0 alors on a :
A et B sont indépendants ⇔ P(A) = PB (A)
Formule des causes
P(A) PA (B)
La formule PB (A) =
est connu sous le nom de « formule des
P(B)
causes ». Si l’on considère l’événement A comme étant postérieur à l’événement B, cette formule peut paraître étonnante puisqu’elle ne suit pas l’ordre
chronologique. On calcule en effet la probabilité de l’événement A (antérieur
à B) sachant que B est réalisé.

La notion d’indépendance n’est pas une notion intrinsèque aux événements : elle dépend fortement de la probabilité choisie. Autrement
dit, deux événements peuvent être indépendants pour une probabilité et dépendants pour une autre.
12
ECE1-B
2015-2016
IV.2. Indépendance deux à deux
Définition
Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé.
Soit I ⊆ N et (Ai )i∈I une famille d’événements de A .
•
On dit que les événements de la famille (Ai )i∈I sont deux à deux indépendants pour la probabilité P si :
∀(i, j) ∈ I 2 ,
i 6= j ⇒ P(Ai ∩ Aj ) = P(Ai ) P(Aj )
IV.3. Indépendance mutuelle d’une famille d’événements
Définition
Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé.
Soit I ⊆ N et (Ai )i∈I une famille d’événements de A .
•
On dit que les événements de la famille (Ai )i∈I sont mutuellement indépendants pour la probabilité P si :
∀J ⊆ N,
J fini
J ⊂I
!
⇒ P
T
j∈J
Ai
=
Q
P(Aj )
j∈J
Remarque
•
•
Si des événements sont mutuellement indépendants, alors ils sont deux à
deux indépendants. La réciproque est fausse (on aurait sinon deux noms
différents pour la même notion !).
indépendance mutuelle
⇒
indépendance 2 à 2
indépendance mutuelle
6⇐
indépendance 2 à 2
On pourra se reporter au chapitre du premier semestre pour plus de détails.
13