Semaine de colle no 11 1 Expériences aléatoires 2 Probabilités

ECS 3 2013 – 2014 Semaine de colle no11 du 25 au 29 novembre
Toutes les définitions /énoncés du cours sont à connaître précisément.
Les démonstrations/exemples précédés de Lpeuvent être considérés comme des questions de cours
1 Expériences aléatoires
Description ensembliste d’une expérience aléatoire :
Etant donné une expérience aléatoire, l’univers est l’ensemble, traditionnellement
noté Ω, des issues (résultats, réalisations) possibles.
Définition
Dans tout ce chapitre, on se limite au cas Ωfini .
Soit Ω un univers fini. Un événement est une partie de Ω i.e. un élément de P ( Ω ).
Définition
•Dictionnaire événements ↔ensembles : événement certain, impossible, contraire ...
Deux événements Aet Bsont dits incompatibles si A∩B=∅
Définition
Soit ( Ai )
i∈I
une famille d’événements. On dit que cette famille forme un système
complet d’événements de Ωsi :
i) Les Aisont deux à deux incompatibles : ∀(i,j)∈I2, i ,j=⇒Ai∩Aj=∅.
ii) S
i∈I
Ai=Ω
Définition
2 Probabilités
Dans toute cette partie, Ωdésigne un univers fini.
2.1 Définitions et premières propriétés
Une probabilité sur (Ω,P(Ω)) est une application P:P(Ω) :→[0,1] vérifiant :
i) P(Ω) = 1 ;
ii) Pour tous événements A,B ∈ P ( Ω ) incompatibles, on a P ( A∪B ) = P ( A )+ P ( B ).
Le triplet (Ω,P(Ω),P ) est alors appelé espace probabilisé (fini).
Définition
LSoit (Ω,P(Ω),P ) un espace probabilisé et soient A,B ∈ P (Ω) :
1. P(A)=1−P(A) ;
2. P(B) = P(B∩A) + P(B∩A) ;
3. Si A⊂B, alors P(A)≤P(B) ;
4. P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B).
Propriétés
•Conséquence de 1. P(∅)=0
•Généralisation de iii) à névénements deux à deux incompatibles (n≥2):
Soit ( Ω,P ( Ω ) ,P ) un espace probabilisé et soient A1,A2,...,An∈ P ( Ω ), deux à
deux incompatibles.
P
n
[
i=1
Ai=
n
X
i=1
P(Ai).
Proposition
•Généralisation de 4. à trois événements :
Soit (Ω,P(Ω),P ) un espace probabilisé et soient A,B,C ∈ P (Ω).
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C) + P(A∩B∩C).
Proposition : Formule de Poincaré
2.2 Construire une probabilité
• Probabilités et événements élémentaires Une probabilité P sur ( Ω,P ( Ω )) est
déterminée par sa valeurs sur les événements élémentaires :
Soit Pune probabilité sur une univers fini Ω={ω1,ω2,...,ωn}. Alors :
∀A∈ P (Ω), P (A) = P
i / ωi∈A
P({ωi})
Proposition
•Remarque. En particulier, avec A=Ω, on obtient n
P
i=1
P({ωi})=1
On a vu que la réciproque de la proposition précédente est vraie.
Page 1/2

•Equiprobabilité
Soit (Ω,P(Ω),P ) un espace probabilisé fini :
• Deux événements Aet Bsont dits équiprobables si P(A) = P(B)
• On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires
sont équiprobables.
Définition
Soit ( Ω,P ( Ω ) ,P ) un espace probabilisé fini en situation d’équiprobabilité. Alors
∀A∈ P (Ω), P (A) = CardA
CardΩ=« nombres de cas favorables » « nombres de cas possibles »
Théorème
3 Probabilités conditionnelles
Dans toute cette partie (Ω,P(Ω),P ) est un espace probabilisé.
3.1 Probabilité « sachant »
Soit A un événement de probabilité non nulle. L’application PA définie sur P ( Ω )
par : ∀B∈ P (Ω), PA(B) = P(A∩B)
P(A)
est une probabilité sur ( Ω,P ( Ω )), appelée probabilité conditionnelle relativement
àAou encore probabilité sachant A.
Théorème – définition : Rappel
• Conséquence. Si P ( A ) , 0, alors ( Ω,P ( Ω ) ,PA ) est un espace probabilisé. Toutes les
formules vues sur les probabilités sont valables pour PA.
• Remarque. Bien souvent, on connaît PA ( B ) et on cherche P ( A∩B ). On utilise donc
plutôt la formule « à l’envers » : P(A∩B) = P(A)PA(B)
3.2 Formule des probabilités composées
Soient A1,A2,...,An∈ P (Ω) tels que P(A1∩ ··· ∩ An−1),0. Alors
P(A1∩ ··· ∩ An) = P(A1)PA1(A2)PA1∩A2(A3)...PA1∩···∩An−1(An)
Proposition
3.3 Formule des probabilités totales
LSoit (Ak)1≤k≤nun système complet d’événement et soit B∈ P (Ω).
1. P(B) = n
P
k=1
P(Ak∩B).
2. Si de plus les Aksont tous de probabilités non-nulles, alors on a
P(B) = n
P
k=1
P(Ak)PAk(B).
Théorème
• Un fait à retenir. Si ( Ak )
1≤k≤n
est un système complet d’événement, alors tout évé-
nement B se décompose en une réunion d’événements deux à deux incompatibles :
B=
n
[
k=1
(Ak∩B)
• Philosophie. La formule est utile lorsque l’on « ressent un manque d’informa-
tion ». Le choix d’un s.c.e. correspond intuitivement à une disjonction de cas dans
l’expérience et apporte de l’information.
3.4 Formule de Bayes ou « des probabilités des causes »
LSoit Bun événement de probabilité non nulle.
1 Si A∈ P (Ω) est de probabilité non nulle, on a PB(A) = PA(B)P(A)
P(B).
2 Soit (Ak)1≤k≤nun s.c.e. tel que : ∀k∈~1,n, P (Ak),0. Alors :
∀k∈~1,n, PB(Ak) = PAk(B)P(Ak)
n
P
i=1
P(Ai)PAi(B)
.
Théorème
• Philosophie. La formule est utile lorsque l’on cherche à « remonter le temps ».
Elle permet d’échanger le conditionnement : on passe de PB ( Ak ) à PAk ( B ). Elle per-
met donc de calculer la probabilité d’une cause connaissant la probabilité de sa
conséquence.
L’adresse de la page des maths est : http://mcathala.perso.math.cnrs.fr/ecs1_ozenne.html
2/2