TD 3

Mathématiques
L3 MIAGE
TD 3
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Propriétés des variables aléatoires discrètes
Exercice 1 : Espérance et variance
Reprendre les exercices 7, 8 et 9 de la feuille de TD2, et calculer la variance et écart-type de
chacune des variables aléatoires discrètes introduites.
Exercice 2
a.
La variable aléatoire X représente le chiffre obtenu après le lancer d’un dé à six faces
numérotées 1 à 6. Déterminer la loi de probabilité de X.
b.
On note Y la variable aléatoire Y = X(7 − X). Calculer E[Y ] et Var(Y ).
Exercice 3
Une variable aléatoire X peut prendre l’une des trois valeurs 0,1, ou 2 avec des probabilités
strictement positives. Déterminer sa loi de probabilité sachant que E[X] = 1 et Var(X) = 1/2.
Exercice 4
La NBA organise une lotterie pour les 11 équipes qui ont eu les pires ratio victoire/défaite de
la saison, afin de leur permettre de sélectionner de nouveaux joueurs (phase de repêchage).
Un total de 66 balles sont placées dans une boîte, chacune ayant le nom d’une équipe écrite
dessus, et réparties comme suit : l’équipe ayant le pire ratio a 11 balles, la deuxième a 10 balles,
jusqu’à celle ayant le 11e pire ratio qui a 1 balle.
Une balle est alors choisi au hasard, et l’équipe correspondante pourra choisir en premier. On
recommence ensuite : si la balle tirée appartient à une équipe qui a déjà sa place pour le
repêchage, on tire une autre balle, sinon, l’équipe correspondant obtient la 2e place pour le
repêchage. On recommence une dernière fois, pour la 3e place. Ensuite, les équipes restants
sont classées en ordre inverse de leur ratio victoire/défaite pour obtenir la place au repêchage.
Soit X la variable aléatoire de la place au repêchage de la pire équipe de la saison. Déterminer
la loi de probabilité de X et son espérance.
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Lois discrètes usuelles
Exercice 5 : Loi arithmétique
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans {0, 1, · · · , n} et telle que : ∀k ∈ {0, 1, . . . , n},
pk = P(X = k) = αk.
a.
b.
Déterminer α pour que X soit effectivement une variable aléatoire.
P
n(n + 1)(2n + 1)
On rappelle que nk=0 k 2 =
. En déduire E[X] et Var(X).
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Exercice 6 : Loi uniforme
a.
On jette une pièce équilibrée. On appelle X la variable aléatoire qui vaut 0 si on obtient
Face et 1 si on obtient Pile. Représenter la fonction de répartition de X.
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b.
On jette un dé équilibré et on appelle X le résultat du lancer. Donner la loi de X et
représenter sa fonction de répartition.
c.
De façon générale, on dit que X suit une loi uniforme sur l’ensemble {1, . . . , n} et on note
X ∼ U{1,...,n} si pour tout i entre 1 et n : P(X = i) = 1/n. Représenter la fonction de
répartition de U .
d.
Lors d’une visite médicale, n patients de tailles différentes se présentent devant le médecin,
et ce dans un ordre aléatoire. On note X le rang de présentation du plus grand d’entre
eux. Donner la loi de la variable X.
Exercice 7 : Loi de Bernouilli
a.
On jette une pièce dont la probabilité d’apparition de Pile est 2/3. On appelle X la variable
aléatoire qui vaut 0 si on obtient Face et 1 si on obtient Pile. Représenter la fonction de
répartition de X.
b.
De façon générale, on dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p et on note
X ∼ B(p) si X est à valeurs dans {0, 1} avec : P(X = 1) = p. Représenter la fonction de
répartition de X.
c.
D’une urne contenant B boules blanches, N boules noires et 1 boule rouge, on tire simultanément n boules (avec n ≤ (B + N + 1)). On appelle X la variable aléatoire égale à
1 si la boule rouge est tirée, 0 sinon : elle suit donc une loi de Bernoulli. Donner son
paramètre.
d.
Un étudiant aviné sort de chez un ami un jeudi soir comme les autres. Á l’instant n = 0 il
est en O et se déplace à chaque instant entier de +1 ou de −1, et ce de façon équiprobable.
Soit Yn la variable aléatoire égale à 1 si à l’instant 2n l’étudiant se retrouve à nouveau en
son point de départ, et Yn = 0 sinon. Donner le paramètre de cette loi de Bernoulli.
Exercice 8 : Loi binomiale
a.
On lance n fois de suite une pièce équilibrée et on note X la somme des résultats obtenus,
avec la convention 0 pour Face et 1 pour Pile. Donner la loi de X.
b.
On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈]0, 1[ et on note X ∼
B(n, p) si
X est à valeurs dans {0, 1, . . . , n} avec pour tout k ∈ {0, 1, . . . , n} : pk = P(X =
k) = nk pk (1 − p)n−k . Vérifier que c’est bien une loi de probabilité, c’est-à-dire que la
somme des pk vaut bien 1. Quel lien peut-on faire entre une loi binomiale B(n, p) et la loi
de Bernoulli B(p) ?
c.
Dans un magasin il y a n clients et m caisses. Chaque client choisit une caisse au hasard
et on appelle X le nombre de clients choisissant la caisse numéro 1. Donner la loi de X.
Exercice 9 : Loi géométrique
a.
On lance une pièce équilibrée jusqu’à la première apparition de Pile. On exclut le cas où
Pile n’apparaît jamais et on appelle X la variable correspondant à la première apparition
de Pile. Donner la loi de X et représenter sa fonction de répartition.
b.
On lance un dé équilibré et on appelle X la variable correspondant à la première apparition
du numéro 1 (avec la même hypothèse que dans la question précédente). Donner la loi de
X et représenter sa fonction de répartition.
c.
On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[ et on note X ∼ G(p) si X
est à valeurs dans N∗ avec pour tout n ∈ N∗ : pn = P(X = n) = p(1 − p)n−1 . Vérifier que
c’est bien une loi de probabilité, c’est-à-dire que la somme des pn vaut bien 1. Quel lien
peut-on faire entre la loi G(p) et la loi de Bernoulli B(p) ?