Mouvement rectiligne sinusoïdal

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Mouvement rectiligne sinusoïdal
I- Etude expérimentale
1/ Expérience
On écarte le solide S de sa position d’équilibre, choisie
comme origine du repère, vers le bas d’une distance
X
m
et on l’abandonne sans vitesse initiale
 Lorsque le cylindre est fixe, le stylo effectue un
mouvement qui se reproduit identiquement à lui
même un trace un segment de droite de longueur
2X
m
. On dit que le mouvement est périodique.
 Lorsque le cylindre tourne, le stylo décrit une sinusoïde. Alors on
peut dire que le mouvement du stylo est rectiligne sinusoïdal.
2/ Grandeurs caractéristiques d’un mouvement rectiligne sinusoïdal.
 Période
La période T d’un mouvement rectiligne sinusoïdal est la durée qui
sépare deux passages successifs par le même point et dans le même
sens (en s).
 Fréquence
La fréquence d’un mouvement périodique est le nombre de période
par seconde
T
1
N= (en Hz).
 Amplitude
Amplitude
Abscisse x : -X
m
≤
x
≤
X
m
X
m
L’amplitude d’un mouvement rectiligne sinusoïdal est la valeur
maximale prise par l’abscisse x.
i
G
o

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Application
On donne le diagramme de mouvement d’un solide (S).
Déterminer graphiquement l’amplitude, la période et la fréquence du
mouvement.
II- Etude cinématique
1/ Loi horaire
i).t(xOM
r
= ; x(t) abscisse du point M dans R )i,o(
r
ou loi horaire du mouvement.
Le mouvement d’un solide est dit rectiligne et sinusoïdal de
translation par rapport à R si sa loi horaire s’écrit de la forme
x(t) = X
m
sin (ωt + ϕ
x
)
x : est appelée aussi élongation du solide à l’instant t (m).
X
m
: est l’amplitude du mouvement (m).
Φ = (ωt + ϕ) : est la phase à l’instant t (rad).
ϕ
x
: phase initiale, à t = 0 (rad).
ω : est la pulsation du mouvement (rad.s
-1
).
Le mouvement rectiligne est périodique et sinusoïdal a une
période
ω
π
=
2
T (s) et une fréquence
π
ω
==
2
T
1
N (Hz)
2/ Vitesse
i
r
X
m
-X
m
M
x (10
-
3
m)
2
1 t(10
-
2
s)
T
3
-3
3

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2
avec)tsin(Vv)
2
tsin(Vv
)tcos(X
dt
dx
vi.
dt
dx
i.x
dt
d
dt
OMd
v
XVVmm
xm
π
+ϕ=ϕϕ+ω=⇔
π
+ϕ+ω=
ϕ+ωω==⇒=== rr
r
3/ Accélération
)tsin(Aa)tsin(Aa
)tsin(X
dtxd
ai.
dtxd
)i.x
dt
d
(
dt
d
dt
vd
a
amxm
xm
2
2
2
2
2
ϕ+ω=⇔π+ϕ+ω=
ϕ+ωω−==⇒===
r
r
r
r
4/ Relation entre x(t) et v(t)
m
22
2
2
xm
xm
xm
xm
X)t(x
v
tcos(X
)t(v )tsin(X)t(x
)tcos(X)t(v
)tsin(X)t(x
=+
ω
⇔
ϕ+ω=
ω
ϕ
+
ω
=
⇔
ϕ+ωω= ϕ+ω=
Exercice
Application
On se propose de déterminer graphiquement les grandeurs caractéristiques des mouvements
rectilignes sinusoïdaux de deux solides S
1
et S
2
d’équations horaires respectives
y
1
= a
1
sin( ω
1
.t + φ
1
) et y
2
= a
2
sin(ω
2
.t +φ
1
)
On donne le tableau suivant
t(10
-2
s) 0 2 5 8 10 12 15 18 20
y
1
(10
-2
m) 3 2,42 0 -242 -3 -2,42 0 2,42 3
t(10
-2
s) 0 4,17 6,25 10,41 12 ,5 16,67 19,25 22,92 25
y
2
(10
-2
m) 2,5 5 4,33 0 -2,5 -5 -3,98 0 2,5
1/ Tracer sur le même papier millimétré les deux graphes y
1
et y
2.
2/ Déterminer les amplitudes, les périodes et les fréquences des mouvements de S
1
et S
2
ainsi
que les phases initiales φ
1
et φ
2
. En déduire y
1
et y
2

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4/ Diagrammes
a- Diagramme des espaces
x = X
m
sin (ωt) avec ϕ = 0 rad. On peut écrire x = X
m
sin (
T
2
π
t).
b- Diagramme des vitesses
v = V
m
cos (ωt) = V
m
sin (ωt +
2
π
)
c- Diagramme des accélérations
a = -A
m
sin (ωt)=A
m
sin (ωt +π)
t 0 T/4 T/2 3T/4 T
x 0 X
m
0 -X
m
0
t 0 T/4 T/2 3T/4 T
v V
m
0 -V
m
0 V
m
t 0 T/4 T/2 3T/4 T
a 0 -A
m
0 A
m
0
x
4
T
4
T3
2
T
T 2T t
T
Xm
-Xm
v
4
T
4
T3
2
T
T t
T
Vm
-Vm
a
4
T
4
T3
2
T
T 2T t
T
Am
-Am

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5/ Expression de déphase ∆φ
a. Déphasage entre x et v
x = X
m
sin (ωt)
v = V
m
sin (ωt +
2
π
)
∆φ = φ
V
– φ
x
=
2
π
rad. ∆φ est appelé déphasage de la vitesse par
rapport à l’abscisse. On dit que la vitesse est en quadrature avance de
phase par rapport à l’abscisse x.
b. Déphasage entre v et a
v = V
m
sin (ωt +
2
π
)
a = A
m
sin (ωt +π)
∆φ = φ
a
– φ
v
=
2
π
rad. ∆φ est appelé déphasage de l’accélération par
rapport à la vitesse. On dit que l’accélération est en quadrature avance
de phase par rapport à x.
c. Déphasage entre x et a
x = X
m
sin (ωt)
a = A
m
sin (ωt +π)
∆φ = φ
a
– φ
v
= π rad. ∆φ est appelé déphasage de l’accélération par
rapport à l’abscisse. On dit que l’accélération est en opposition de
phase par rapport à l’abscisse x.