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Mouvement rectiligne sinusoïdal
I- Etude expérimentale
1/ Expérience
On écarte le solide S de sa position d’équilibre, choisie
comme origine du repère, vers le bas d’une distance
X
m
et on l’abandonne sans vitesse initiale
Lorsque le cylindre est fixe, le stylo effectue un
mouvement qui se reproduit identiquement à lui
même un trace un segment de droite de longueur
2X
m
. On dit que le mouvement est périodique.
Lorsque le cylindre tourne, le stylo décrit une sinusoïde. Alors on
peut dire que le mouvement du stylo est rectiligne sinusoïdal.
2/ Grandeurs caractéristiques d’un mouvement rectiligne sinusoïdal.
Période
La période T d’un mouvement rectiligne sinusoïdal est la durée qui
sépare deux passages successifs par le même point et dans le même
sens (en s).
Fréquence
La fréquence d’un mouvement périodique est le nombre de période
par seconde
T
1
N= (en Hz).
Amplitude
Amplitude
Abscisse x : -X
m
x
X
m
X
m
L’amplitude d’un mouvement rectiligne sinusoïdal est la valeur
maximale prise par l’abscisse x.
i
G
o
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Application
On donne le diagramme de mouvement d’un solide (S).
Déterminer graphiquement l’amplitude, la période et la fréquence du
mouvement.
II- Etude cinématique
1/ Loi horaire
i).t(xOM
r
=
; x(t) abscisse du point M dans R
)i,o(
r
ou loi horaire du mouvement.
Le mouvement d’un solide est dit rectiligne et sinusoïdal de
translation par rapport à R si sa loi horaire s’écrit de la forme
x(t) = X
m
sin (ωt + ϕ
x
)
x : est appelée aussi élongation du solide à l’instant t (m).
X
m
: est l’amplitude du mouvement (m).
Φ = (ωt + ϕ) : est la phase à l’instant t (rad).
ϕ
x
: phase initiale, à t = 0 (rad).
ω : est la pulsation du mouvement (rad.s
-1
).
Le mouvement rectiligne est périodique et sinusoïdal a une
période
ω
π
=
2
T
(s) et une fréquence
π
ω
==
T
1
N
(Hz)
2/ Vitesse
i
r
X
m
-X
m
M
x (10
-
3
m)
2
1 t(10
-
2
s)
T
3
-3
3
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avec)tsin(Vv)
tsin(Vv
)tcos(X
dt
dx
vi.
dt
dx
i.x
dt
d
dt
OMd
v
XVVmm
xm
π
+ϕ=ϕϕ+ω=
π
+ϕ+ω=
ϕ+ωω===== rr
r
3/ Accélération
)tsin(Aa)tsin(Aa
)tsin(X
dtxd
ai.
dtxd
)i.x
dt
d
(
dt
d
dt
vd
a
amxm
xm
2
2
2
2
2
ϕ+ω=π+ϕ+ω=
ϕ+ωω=====
r
r
r
r
4/ Relation entre x(t) et v(t)
m
22
2
2
xm
xm
xm
xm
X)t(x
v
tcos(X
)t(v )tsin(X)t(x
)tcos(X)t(v
)tsin(X)t(x
=+
ω
ϕ+ω=
ω
ϕ
+
ω
=
ϕ+ωω= ϕ+ω=
Exercice
Application
On se propose de déterminer graphiquement les grandeurs caractéristiques des mouvements
rectilignes sinusoïdaux de deux solides S
1
et S
2
d’équations horaires respectives
y
1
= a
1
sin( ω
1
.t + φ
1
) et y
2
= a
2
sin(ω
2
.t +φ
1
)
On donne le tableau suivant
t(10
-2
s) 0 2 5 8 10 12 15 18 20
y
1
(10
-2
m) 3 2,42 0 -242 -3 -2,42 0 2,42 3
t(10
-2
s) 0 4,17 6,25 10,41
12 ,5 16,67
19,25 22,92
25
y
2
(10
-2
m) 2,5 5 4,33 0 -2,5 -5 -3,98 0 2,5
1/
Tracer sur le même papier millimétré les deux graphes y
1
et y
2.
2/ Déterminer les amplitudes, les périodes et les fréquences des mouvements de S
1
et S
2
ainsi
que les phases initiales φ
1
et φ
2
. En déduire y
1
et y
2
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4/ Diagrammes
a- Diagramme des espaces
x = X
m
sin (ωt) avec ϕ = 0 rad. On peut écrire x = X
m
sin (
T
2
π
t).
b- Diagramme des vitesses
v = V
m
cos (ωt) = V
m
sin (ωt +
2
π
)
c- Diagramme des accélérations
a = -A
m
sin (ωt)=A
m
sin (ωt +π)
t 0 T/4 T/2 3T/4 T
x 0 X
m
0 -X
m
0
t 0 T/4 T/2 3T/4 T
v V
m
0
-V
m
0
V
m
t 0 T/4 T/2 3T/4 T
a 0
-A
m
0
A
m
0
x
4
T
4
T3
2
T
T 2T t
T
Xm
-Xm
v
4
T
4
T3
2
T
T t
T
Vm
-Vm
a
4
T
4
T3
2
T
T 2T t
T
Am
-Am
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5/ Expression de déphase φ
a. Déphasage entre x et v
x = X
m
sin (ωt)
v = V
m
sin (ωt +
2
π
)
∆φ = φ
V
φ
x
=
π
rad. ∆φ est appelé déphasage de la vitesse par
rapport à l’abscisse. On dit que la vitesse est en quadrature avance de
phase par rapport à l’abscisse x.
b. Déphasage entre v et a
v = V
m
sin (ωt +
2
π
)
a = A
m
sin (ωt +π)
∆φ = φ
a
φ
v
=
π
rad. ∆φ est appelé déphasage de l’accélération par
rapport à la vitesse. On dit que l’accélération est en quadrature avance
de phase par rapport à x.
c. Déphasage entre x et a
x = X
m
sin (ωt)
a = A
m
sin (ωt +π)
∆φ = φ
a
φ
v
= π rad. ∆φ est appelé déphasage de l’accélération par
rapport à l’abscisse. On dit que l’accélération est en opposition de
phase par rapport à l’abscisse x.
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