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Booklet Salon de la Recherche 4ème Edition

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3ème M,SC&T
Mouvement rectiligne sinusoïdal
I- Etude expérimentale
1/ Expérience
On écarte le solide S de sa position d’équilibre, choisie
comme origine du repère, vers le bas d’une distance
G o
Xm et on l’abandonne sans vitesse initiale
i
Lorsque le cylindre est fixe, le stylo effectue un
mouvement qui se reproduit identiquement à lui
même un trace un segment de droite de longueur
2Xm. On dit que le mouvement est périodique.
Lorsque le cylindre tourne, le stylo décrit une sinusoïde. Alors on
peut dire que le mouvement du stylo est rectiligne sinusoïdal.
2/ Grandeurs caractéristiques d’un mouvement rectiligne sinusoïdal.
Période
La période T d’un mouvement rectiligne sinusoïdal est la durée qui
sépare deux passages successifs par le même point et dans le même
sens (en s).
Fréquence
La fréquence d’un mouvement périodique est le nombre de période
1
par seconde N = (en Hz).
T
Amplitude
Abscisse x : -Xm ≤ x ≤ Xm
Amplitude
Xm
L’amplitude d’un mouvement rectiligne sinusoïdal est la valeur
maximale prise par l’abscisse x.
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Application
On donne le diagramme de mouvement d’un solide (S).
Déterminer graphiquement l’amplitude, la période et la fréquence du
mouvement.
x (10-3m)
T
1
2
3
t(10-2 s)
3
-3
II- Etude cinématique
-Xm
r
i
1/ Loi horaire
r
r
Xm
OM = x ( t ). i ; x(t) abscisse du point M dans R (o, i )
ou loi horaire du mouvement.
Le mouvement d’un solide est dit rectiligne et sinusoïdal de
translation par rapport à R si sa loi horaire s’écrit de la forme
x(t) = Xm sin (ωt + ϕx)
x : est appelée aussi élongation du solide à l’instant t (m).
Xm : est l’amplitude du mouvement (m).
Φ = (ωt + ϕ) : est la phase à l’instant t (rad).
ϕx : phase initiale, à t = 0 (rad).
ω : est la pulsation du mouvement (rad.s-1).
Le mouvement rectiligne est périodique et sinusoïdal a une
période T = 2π (s) et une fréquence N = 1 = ω (Hz)
ω
T 2π
2/ Vitesse
2/5
M
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dx
r d OM d r dx r
v=
= x. i = . i ⇒ v =
= ωX m cos(ωt + ϕ x )
dt
dt
dt
dt
π
π
v = Vm sin(ωt + ϕ + ) ⇔ v = Vm sin(ωt + ϕ V ) avec ϕ V = ϕX +
2
2
3/ Accélération
r
r dv d d r d 2 x r
d2x
a=
= ( x. i ) = 2 . i ⇒ a = 2 = −ω2 X m sin(ωt + ϕ x )
dt dt dt
dt
dt
a = A m sin(ωt + ϕ x + π) ⇔ a = A m sin(ωt + ϕa )
4/ Relation entre x(t) et v(t)
x ( t ) = X m sin(ωt + ϕ x )
 x ( t ) = X m sin(ωt + ϕ x )
⇔  v( t )

v
(
t
)
=
ω
X
cos(
ω
t
+
ϕ
)

m
x
 ω = X m cos(ωt + ϕ x
v2
⇔ 2 + x 2 (t ) = X 2 m
ω
Exercice
Application
On se propose de déterminer graphiquement les grandeurs caractéristiques des mouvements
rectilignes sinusoïdaux de deux solides S1 et S2 d’équations horaires respectives
y1 = a1sin( ω1.t + φ1) et y2 = a2sin(ω2.t +φ1)
On donne le tableau suivant
t(10-2 s)
y1(10-2m)
t(10-2 s)
y2(10-2m)
0
3
0
2,5
2
2,42
4,17
5
5
0
6,25
4,33
8
-242
10,41
0
10
-3
12 ,5
-2,5
12
-2,42
16,67
-5
15
0
19,25
-3,98
18
20
2,42
3
22,92 25
0
2,5
1/ Tracer sur le même papier millimétré les deux graphes y1 et y2.
2/ Déterminer les amplitudes, les périodes et les fréquences des mouvements de S1 et S2 ainsi
que les phases initiales φ1 et φ2. En déduire y1 et y2
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4/ Diagrammes
a- Diagramme des espaces
x = Xm sin (ωt) avec ϕ = 0 rad. On peut écrire x = Xm sin ( 2π t).
T
Xm
t
x
T
x
T
2
T
4
T
0
0
T/4
Xm
T/2
0
3T/4
-Xm
T
0
0
Vm
T/4
0
T/2
-Vm
3T/4
0
T
Vm
0
0
T/4
-Am
T/2
0
3T/4
Am
T
0
t
2T
3T
4
-Xm
b- Diagramme des vitesses
v = Vm cos (ωt) = Vm sin (ωt + π )
2
t
v
v
Vm
T
4
t
T
T
2
3T
4
-Vm
T
c- Diagramme des accélérations
a = -Am sin (ωt)=Am sin (ωt +π)
t
a
Am
T
a
T
2
T
4
T
2T
3T
4
-Am
4/5
t
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5/ Expression de déphase ∆φ
a. Déphasage entre x et v
x = Xm sin (ωt)
v = Vm sin (ωt + π )
2
π
rad. ∆φ est appelé déphasage de la vitesse par
2
rapport à l’abscisse. On dit que la vitesse est en quadrature avance de
phase par rapport à l’abscisse x.
∆φ = φV – φx =
b. Déphasage entre v et a
v = Vm sin (ωt + π )
2
a = Am sin (ωt +π)
π
rad. ∆φ est appelé déphasage de l’accélération par
2
rapport à la vitesse. On dit que l’accélération est en quadrature avance
de phase par rapport à x.
∆φ = φa – φv =
c. Déphasage entre x et a
x = Xm sin (ωt)
a = Am sin (ωt +π)
∆φ = φa – φv = π rad. ∆φ est appelé déphasage de l’accélération par
rapport à l’abscisse. On dit que l’accélération est en opposition de
phase par rapport à l’abscisse x.
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