http://www.abderrazekseddik.sitesled.com/ 3ème M,SC&T Mouvement rectiligne sinusoïdal I- Etude expérimentale 1/ Expérience On écarte le solide S de sa position d’équilibre, choisie comme origine du repère, vers le bas d’une distance G o Xm et on l’abandonne sans vitesse initiale i Lorsque le cylindre est fixe, le stylo effectue un mouvement qui se reproduit identiquement à lui même un trace un segment de droite de longueur 2Xm. On dit que le mouvement est périodique. Lorsque le cylindre tourne, le stylo décrit une sinusoïde. Alors on peut dire que le mouvement du stylo est rectiligne sinusoïdal. 2/ Grandeurs caractéristiques d’un mouvement rectiligne sinusoïdal. Période La période T d’un mouvement rectiligne sinusoïdal est la durée qui sépare deux passages successifs par le même point et dans le même sens (en s). Fréquence La fréquence d’un mouvement périodique est le nombre de période 1 par seconde N = (en Hz). T Amplitude Abscisse x : -Xm ≤ x ≤ Xm Amplitude Xm L’amplitude d’un mouvement rectiligne sinusoïdal est la valeur maximale prise par l’abscisse x. 1/5 3ème M,SC&T http://www.abderrazekseddik.sitesled.com/ Application On donne le diagramme de mouvement d’un solide (S). Déterminer graphiquement l’amplitude, la période et la fréquence du mouvement. x (10-3m) T 1 2 3 t(10-2 s) 3 -3 II- Etude cinématique -Xm r i 1/ Loi horaire r r Xm OM = x ( t ). i ; x(t) abscisse du point M dans R (o, i ) ou loi horaire du mouvement. Le mouvement d’un solide est dit rectiligne et sinusoïdal de translation par rapport à R si sa loi horaire s’écrit de la forme x(t) = Xm sin (ωt + ϕx) x : est appelée aussi élongation du solide à l’instant t (m). Xm : est l’amplitude du mouvement (m). Φ = (ωt + ϕ) : est la phase à l’instant t (rad). ϕx : phase initiale, à t = 0 (rad). ω : est la pulsation du mouvement (rad.s-1). Le mouvement rectiligne est périodique et sinusoïdal a une période T = 2π (s) et une fréquence N = 1 = ω (Hz) ω T 2π 2/ Vitesse 2/5 M 3ème M,SC&T http://www.abderrazekseddik.sitesled.com/ dx r d OM d r dx r v= = x. i = . i ⇒ v = = ωX m cos(ωt + ϕ x ) dt dt dt dt π π v = Vm sin(ωt + ϕ + ) ⇔ v = Vm sin(ωt + ϕ V ) avec ϕ V = ϕX + 2 2 3/ Accélération r r dv d d r d 2 x r d2x a= = ( x. i ) = 2 . i ⇒ a = 2 = −ω2 X m sin(ωt + ϕ x ) dt dt dt dt dt a = A m sin(ωt + ϕ x + π) ⇔ a = A m sin(ωt + ϕa ) 4/ Relation entre x(t) et v(t) x ( t ) = X m sin(ωt + ϕ x ) x ( t ) = X m sin(ωt + ϕ x ) ⇔ v( t ) v ( t ) = ω X cos( ω t + ϕ ) m x ω = X m cos(ωt + ϕ x v2 ⇔ 2 + x 2 (t ) = X 2 m ω Exercice Application On se propose de déterminer graphiquement les grandeurs caractéristiques des mouvements rectilignes sinusoïdaux de deux solides S1 et S2 d’équations horaires respectives y1 = a1sin( ω1.t + φ1) et y2 = a2sin(ω2.t +φ1) On donne le tableau suivant t(10-2 s) y1(10-2m) t(10-2 s) y2(10-2m) 0 3 0 2,5 2 2,42 4,17 5 5 0 6,25 4,33 8 -242 10,41 0 10 -3 12 ,5 -2,5 12 -2,42 16,67 -5 15 0 19,25 -3,98 18 20 2,42 3 22,92 25 0 2,5 1/ Tracer sur le même papier millimétré les deux graphes y1 et y2. 2/ Déterminer les amplitudes, les périodes et les fréquences des mouvements de S1 et S2 ainsi que les phases initiales φ1 et φ2. En déduire y1 et y2 3/5 3ème M,SC&T http://www.abderrazekseddik.sitesled.com/ 4/ Diagrammes a- Diagramme des espaces x = Xm sin (ωt) avec ϕ = 0 rad. On peut écrire x = Xm sin ( 2π t). T Xm t x T x T 2 T 4 T 0 0 T/4 Xm T/2 0 3T/4 -Xm T 0 0 Vm T/4 0 T/2 -Vm 3T/4 0 T Vm 0 0 T/4 -Am T/2 0 3T/4 Am T 0 t 2T 3T 4 -Xm b- Diagramme des vitesses v = Vm cos (ωt) = Vm sin (ωt + π ) 2 t v v Vm T 4 t T T 2 3T 4 -Vm T c- Diagramme des accélérations a = -Am sin (ωt)=Am sin (ωt +π) t a Am T a T 2 T 4 T 2T 3T 4 -Am 4/5 t http://www.abderrazekseddik.sitesled.com/ 3ème M,SC&T 5/ Expression de déphase ∆φ a. Déphasage entre x et v x = Xm sin (ωt) v = Vm sin (ωt + π ) 2 π rad. ∆φ est appelé déphasage de la vitesse par 2 rapport à l’abscisse. On dit que la vitesse est en quadrature avance de phase par rapport à l’abscisse x. ∆φ = φV – φx = b. Déphasage entre v et a v = Vm sin (ωt + π ) 2 a = Am sin (ωt +π) π rad. ∆φ est appelé déphasage de l’accélération par 2 rapport à la vitesse. On dit que l’accélération est en quadrature avance de phase par rapport à x. ∆φ = φa – φv = c. Déphasage entre x et a x = Xm sin (ωt) a = Am sin (ωt +π) ∆φ = φa – φv = π rad. ∆φ est appelé déphasage de l’accélération par rapport à l’abscisse. On dit que l’accélération est en opposition de phase par rapport à l’abscisse x. 5/5
