CHAPITRE 4 – Les Statistiques

Cours de Mathématiques – Classe de première ST2S – Statistiques
CHAPITRE 4 – Les Statistiques
A) Diverses sortes de séries statistiques
1) Définition
Une série statistiques est un ensemble de nombres, représentant une même quantité pour des entités
différentes.
Il y a plusieurs sortes de telles séries, nous allons donc les examiner une par une.
2) Série simple
Une série simple est une série ou chaque entité représente un seul "individu", et ou donc chaque
nombre compte autant que les autres.
Exemples :
. La note de chaque élève d’une classe à un certain devoir :
12, 15, 9, 2, 13, 18, 3, 7, 19, 11, 10, 8, 6, 16, 17, 8
. Le salaire annuel des employés d’une entreprise :
1 200 000, 3 720 000, 2 400 000, 2 520 000, 1 440 000, 1 800 000
Une série simple se représente comme une liste de nombres.
3) Série avec effectifs
Dans ce cas, chaque entité représente plusieurs "individus", que l’on a regroupés parce qu’ils ont
tous la même valeur pour la grandeur étudiée.
Exemples :
. Dans une école primaire, les âges des élèves, où à chaque âge on associe le nombre d’élèves ayant
cet âge.
5 6 7 8 9 10 11 12 13
3 26 32 28 25 31 9 2 1
. Dans un village, le nombre de rues avec zéro, un, deux, trois ou quatre feux rouges.
01234
13 16 8 3 2
. Dans un hôpital, le nombre de personnes hospitalisées pendant 1, 2, 3... 10 jours dans le mois
12345678910
56 42 15 23 4 18 19 21 32 17
On voit que pour représenter une série avec effectifs, il faut un tableau à deux lignes, la première
représentant la valeur prise par la grandeur étudiée, la seconde représentant le nombre d’éléments
prenant cette valeur.
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4) Série avec fréquences
Ceci ressemble au précédent, sauf qu’au lieu de compter des effectifs, on compte la proportion
d’effectifs par rapport à l’effectif global, c’est à dire des "fréquences".
Exemples :
. Nombre d’heures supplémentaires par semaine effectuées par les employés d’une entreprise :
012345
38,00% 22,00% 15,00% 10,00% 12,00% 3,00%
Il faut ici aussi pour représenter la série un tableau à deux lignes, la première donnant les valeurs et
la seconde les proportions ou fréquences.
La somme des fréquences doit alors être égale à 1 (100%).
5) Séries avec classes
Cette fois, on regroupe les valeurs par "classes", c’est à dire par intervalles où se trouvent les
valeurs. Ces intervalles doivent être consécutifs et disjoints.
Dans ce cas, à chaque classe correspond un effectif ou une fréquence, on se retrouve dans des cas
similaires au 3) ou au 4) ci-dessus, la différence étant la présence d’intervalles dans la première
ligne à la place des valeurs.
Exemple :
Reprenons le cas de l’école primaire vue plus haut :
5 à 7 ans 8 à 10 ans 11 ans et plus
61 53 12
B) Moyenne d’une série statistique
1) Définition (rappel)
Soit une série statistique (c’est à dire un ensemble de n nombres) que l’on appellera a1, a2, a3, etc...
an ce que l’on résumera par la notation (ai), i allant de 1 à n.
Soit aussi une série correspondante de coefficients (tous à 1 dans une série simple, mais qui peuvent
aussi être des effectifs ou des fréquences) c1, c2, c3, etc... que l'on résumera par (ci), i allant aussi de
1 à n.
La moyenne a de la série (ai) avec les coefficients (ci) est égale à la somme des produits ai ci, divisée
par la somme des ci.
On écrit : a =
∑
i=1
n
ci×ai
∑
i=1
n
ci
.
Exemple :
Notes d'une classe sur un devoir : 18, 11, 7, 12 avec les coefficients 1, 2, 2, 1
Calculer la moyenne de la classe (on doit trouver 11 !).
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Remarque :
Dans une série statistique par classe, on ne peut pas calculer la moyenne exacte, on est obligé de
prendre le milieu de chaque intervalle pour faire une moyenne approchée.
2) Linéarité de la moyenne
a) Soit (bi) une autre série de n nombres (avec les mêmes effectifs ou fréquences) :
Alors, la moyenne (a + b) de la série (ai + bi) est a + b, c’est à dire la somme des deux moyennes.
b) Moyenne de (ai + k), i de 1 à n
Si l'on ajoute à toutes les valeurs un même nombre k, la moyenne sera aussi augmentée de k.
Application :
Enlevons 1 à chaque note de l'exemple du 1) : on verra en refaisant les calculs que la nouvelle
moyenne est bien 11 – 1 = 10.
c) Moyenne de (k ai) :
Si l'on multiplie toutes les valeurs par un même nombre k, la moyenne sera aussi multipliée par k.
Exemple :
Dans l'exemple du 1), si on remplace 18 par 9 ; 11 par 5,5 ; 7 par 3,5 et 12 par 6 (c'est à dire en
multipliant tout par 0,5), on trouvera comme moyenne la moitié de 11, soit 5,5.
d) Application
Soit la série suivante :
Valeur 100 120 150 160 200 250 300 500
Effectif 2 12 6 10 15 2 2 1
. Calculer la moyenne
. Ces valeurs sont des prix en euros auxquels il faut ajouter 1 000 XPF de port. Calculer la moyenne
du prix port compris en francs pacifiques (on prendra 1 euro = 120 XPF).
Indice :
On n'a pas à refaire tous les calculs lorsque l'on fait subir à tous les termes d'une série une même
modification de type linéaire, par exemple une conversion en une autre monnaie, ou l'ajout d'un
montant identique à toutes les valeurs.
3) Calcul de moyenne à partir de sous-groupes
Exemple :
Supposons que j'arrive à la moyenne 12 avec 6 notes, mais que la note suivante soit un 5 : quelle
moyenne aurai-je avec ces sept notes ?
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Réponse :
(12 * 6 + 5 * 1) / (6 + 1) = 11
Règle :
On peut calculer la nouvelle moyenne à partir de celle des sous groupes à condition de "pondérer"
la moyenne de chaque sous-groupe par la somme des coefficients de ce sous-groupe.
Exemples :
Reprenons l'exemple du 1) ci-dessus, et ajoutons deux valeurs 15 et 9, coefficientées respectivement
par 1 et 2.
On aura pour la nouvelle moyenne m :
m = (11* 6 + 15 * 1 + 9 * 2) / (6 + 1 + 2) = 11.
Si les coefficients sont 2 et 1, on aura :
m = (11* 6 + 15 * 2 + 9 * 1) / (6 + 2 + 1) ≈ 11,67.
B) Médiane, Quartiles, Déciles
1) Définitions
a) Médiane (ou valeur médiane)
On commence par trier toutes les valeurs de la série, on se situe au milieu, qui peut tomber sur une
valeur ou entre deux valeurs. S'il n'y en a qu'une, c'est elle la médiane, sinon on fait la moyenne des
deux.
Exemples :
. 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 5 ; 8 ; 19 ; 20 Médiane = 3 (Moyenne = 7).
. 12 ; 13 ; 13 ; 15 ; 20 ; 20 Médiane = 14 (Moyenne = 15,5)
. Exemple de B2d) : Médiane = 160 (Moyenne = 174,8)
b) Quartiles
On fait deux groupes à partir de la série, l'un contenant les valeurs précédant la médiane, l'uatre les
valeurs qui suivent la médiane.
Le premier quartile Q1 est la médiane du premier groupe, et le troisième quartile Q3 est la médiane
du second groupe.
25% des valeurs sont donc en-dessous de Q1, et 25% sont au-dessus de Q3.
On appelle écart interquartile la différence Q1 – Q3, et l'intervalle ]Q1 ; Q3[ s'appelle l'intervalle
interquartile.
Exemples :
B2d) : Effectif = 50, 1er quartile en 50/4 = 12,5, soit Q1 = 120
3ème quartile en 50*3/4 = 37,5 soit Q3 = 200
Écart interquartile = 200 – 120 = 80
Intervalle interquartile = ]120 ; 200[
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c) Déciles, Centiles etc...
Ce qu'on a fait avec les quartiles peut aussi se faire en divisant non pas en quatre quarts, mais en dix
dixièmes (déciles) ou en cent centièmes (centiles).
Par exemple, le premier décile est la valeur telle que 10% des valeurs lui sont inférieures; etc...
2) Exemple, utilité
La médiane dépend de l'ordre, mais pas des valeurs extrêmes.
C'est une valeur telle que la moitié des effectifs ont une valeur moindre, et l'autre moitié une valeur
plus élevée.
De même, examiner l'intervalle interquartile au lieu de regarder l'ensemble des valeurs permet
d'éviter les 25% les plus petits et les plus grands, c'est à dire les cas extrêmes.
Exemple :
(1, 3, 3, 4, 15, 18, 19) → Moyenne = 9, Médiane = 4 et ne change pas si on met 190 au lieu de 19.
C) Mode, classe modale, Étendue, Écart et Variance
1) Mode
C'est la valeur atteinte le plus souvent, celle qui a la plus grosse fréquence ou le plus gros effectif
(il peut y avoir plusieurs modes !).
Exemples
Trouver le ou les modes dans les exemples du B).
2) Classe modale
Ce terme est utilisé quand on a fait des regroupements par classe, c'est la classe ayant le plus gros
effectif (il peut y en avoir plusieurs ici aussi !).
3) Étendue d'une série statistique
C'est tout simplement l'écart entre la valeur maximale et la valeur minimale.
Trouver les étendues des exemples du B)
4) Écart et Variance
Pour mesurer la dispersion des valeurs autour de la moyenne, il est important d'avoir un indicateur.
On peut penser d'abord à l'écart en valeur absolue, somme de toutes les valeurs absolues des
différences ai – a, mais les valeurs absolues ne sont pas faciles à manier en général.
On a donc choisi de calculer d'abord la variance, notée V, qui est la somme de tous les carrés de ces
différences, c'est à dire de tous les (ai – a)².
Puis, pour revenir à la même unité que les valeurs, on en prend la racine carrée, et le résultat
s'appelle l'écart-type, généralement noté σ.
Exemple :
Calculer la variance et l'écart-type dans l'exemple du B2d).
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