Le cours - Playmaths

Statistiques
QCM p.186
I. Diagrammes en boîtes
1) Médiane
La médiane M d’une série ordonnée par ordre croissant partage cette série en deux parties
telles que la moitié au moins prend des valeurs inférieures ou égales à la médiane.
2) Quartiles et déciles
Les quartiles Q1, Q2 et Q3 partagent la série en quatre parties.
Le quartile Q1 est la plus petite valeur telle que au moins le quart de la série prend une
valeur inférieure ou égale à Q1.
Le quartile Q3 est la plus petite valeur telle que au moins les trois quarts de la série prend
une valeur inférieure ou égale à Q3.
L’intervalle [Q1 ; Q3] est l’intervalle interquartile.
De la même manière, les déciles partagent la série en 10 parties.
Remarque : la médiane est parfois appelée second quartile.
Exemple :
Valeur du caractère
50
45
30
60
61
2
3
2
2
2
effectif


Commençons par ranger les valeurs du caractère par ordre croissant, chacune figurant
un nombre de fois égal à son effectif :
30 ; 30 ; 45 ; 45 ; 45 ; 50 ; 50 ; 60 ; 60 ; 61 ; 61.
Ici, n est impair ( n = 11 ), donc la médiane M est la 6ème valeur, c'est-à-dire 50. Donc M =
50.
30 ;30 ; 45 ; 45 ; 45 ; 50
; 50 ; 60 ; 60 ; 61 ; 61 .
On a donc
  

série inf érieure
M
série sup érieure
Q1 est la médiane de la série inférieure ( 30 ; 30 ; 45 ; 45 ; 45 ) donc Q1 = 45.
Q3 est la médiane de la série supérieure ( 50 ; 60 ; 60 ; 61 ; 61 ) donc Q3 = 60.
Exemple :
Trouver la médiane, le premier quartile et le troisième quartile de la série statistique
suivante :
Valeur du caractère
2
9
7
8
6
effectif
3
2
1
3
3
1
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3) Diagramme en boîtes : un exemple
Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé M = 50 ; Q1 = 45 ; Q3 = 60.
D’autre part, la plus petite valeur de cette série est 30 et la plus grande est 61.
On peut représenter graphiquement ces résultats de la manière suivante :
Les valeurs Q1 et Q3 correspondent aux côtés verticaux délimitant la boîte, M au côté
vertical intérieur à la boîte.
Définition :
Un tel diagramme est appelé diagramme en boîtes.
Remarques :
On peut représenter ce graphique verticalement.
On dit aussi diagramme en boîtes et moustaches ou encore boîtes à pattes.
Exemple
On considère la série suivante :
Valeur
effectif
15
10
25
30
20
40
1
3
4
2
2
3
Trouver la médiane M et les deux quartiles Q1 et Q3 de cette série, puis construire le
diagramme en boîtes.
Ex 3-4-5-7 p.201
Ex 35 p.207
Ex 37
4) Ecart interquartile
Définition :
Soit une série statistique de premier quartile Q1 et de troisième quartile Q3.
L’intervalle interquartile est l’intervalle [Q1 ; Q3].
L’écart interquartile est égal à Q3.- Q1.
Exemple :
Remarque :
L’intervalle interquartile contient au moins 50% des valeurs de la série.
Ex
2
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II. Variance – Ecart type
1) La variance
Valeur
x1
x2
xp
Total
effectif
n1
n2
np
N
La variance, notée V, de la série statistique donnée par le tableau ci-dessus est définie par :
p
V = Error! [ n1 (x1 - x )²+ n2 (x2 - x )²+… +np (xp - x )²] =
 n (x  x )
i 1
i
i
2
N
où x est la moyenne de cette série.
V est donc la moyenne des carrés des écarts entre les valeurs xi du caractère et la moyenne
x . La variance peut donc permettre de mesurer la dispersion des valeurs autour de la
moyenne.
Une autre formule de la variance est :
p
V = Error! [ n1 x1²+ n2x2²+… +npxp²] - x
2
=
n x
i1
i
2
i
x2
N
Variance = moyenne des carrés – carré de la moyenne
2) L’écart type
L’écart type, noté  , est la racine carrée de la variance σ =
V
L’écart type est exprimé dans la même unité que la variable.
Exemple :
On considère les deux séries de notes suivantes :
Première série
Deuxième série
Note xi
1
2
3
17
20
Effectif nil
3
1
1
1
4
Note xi
8
10
11
12
Effectif nil
1
2
4
1
Chacune de ces séries a pour moyenne 10,5.
Notons V1 et V2 les variances respectives de chacune de ces séries et σ1 et σ2 leurs écartstypes.
V1 = 80,25
V2 = 1,25
Donc σ1  8,96 et σ2  1,12.
On peut constater que σ1 est nettement supérieure à σ2 ce qui traduit une dispersion plus
grande de la première série.
3
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Exercice :
Trouver la moyenne, la variance et l’écart-type de la série statistique suivante :
xi
7
13
18
ni
5
3
2
Moyenne : 11
σ = 4,36
Calculatrice :
Ex 12-13-15 p.205
QCM p.206
Ex 38
4
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