CHAPITRE 4 – Paramètres d`une série statistique

Cours de Mathématiques – Classe de seconde – Statistiques
CHAPITRE 4 – Paramètres d'une série statistique
A) Diverses sortes de séries statistiques
1) Définition
Une série statistiques est un ensemble de nombres, représentant une même quantité pour des entités
différentes.
Il y a plusieurs sortes de telles séries, nous allons donc les examiner une par une.
2) Série simple
Une série simple est une série ou chaque entité représente un seul "individu", et ou donc chaque
nombre compte autant que les autres.
Exemples :
. La note de chaque élève d’une classe à un certain devoir :
12, 15, 9, 2, 13, 18, 3, 7, 19, 11, 10, 8, 6, 16, 17, 8
. Le salaire annuel des employés d’une entreprise :
1 200 000, 3 720 000, 2 400 000, 2 520 000, 1 440 000, 1 800 000
Une série simple se représente comme une liste de nombres.
3) Série avec effectifs
Dans ce cas, chaque entité représente plusieurs "individus", que l’on a regroupés parce qu’ils ont
tous la même valeur pour la grandeur étudiée.
Exemples :
. Dans une école primaire, les âges des élèves, où à chaque âge on associe le nombre d’élèves ayant
cet âge.
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
26
32
28
25
31
9
2
1
. Dans un village, le nombre de rues avec zéro, un, deux, trois ou quatre feux rouges.
0
1
2
3
13
16
8
3
4
2
. Dans un hôpital, le nombre de personnes hospitalisées pendant 1, 2, 3... 10 jours dans le mois
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
56
42
15
23
4
18
19
21
32
17
On voit que pour représenter une série avec effectifs, il faut un tableau à deux lignes, la première
représentant la valeur prise par la grandeur étudiée, la seconde représentant le nombre d’éléments
prenant cette valeur.
4) Série avec fréquences
Ceci ressemble au précédent, sauf qu’au lieu de compter des effectifs, on compte la proportion
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d’effectifs par rapport à l’effectif global, c’est à dire des "fréquences".
Exemples :
. Nombre d’heures supplémentaires par semaine effectuées par les employés d’une entreprise :
0
1
2
3
4
5
38,00%
22,00%
15,00%
10,00%
12,00%
3,00%
Il faut ici aussi pour représenter la série un tableau à deux lignes, la première donnant les valeurs et
la seconde les proportions ou fréquences.
La somme des fréquences doit alors être égale à 1 (100%).
5) Séries avec classes
Cette fois, on regroupe les valeurs par "classes", c’est à dire par intervalles où se trouvent les
valeurs. Ces intervalles doivent être consécutifs et disjoints.
Dans ce cas, à chaque classe correspond un effectif ou une fréquence, on se retrouve dans des cas
similaires au 3) ou au 4) ci-dessus, la différence étant la présence d’intervalles dans la première
ligne à la place des valeurs.
Exemple :
Reprenons le cas de l’école primaire vue plus haut :
5 à 7 ans
8 à 10 ans
61
53
11 ans et plus
12
B) Moyenne d’une série statistique
1) Définition (rappel)
Soit une série statistique (c’est à dire un ensemble de n nombres) que l’on appellera a 1, a2, a3, etc...
an ce que l’on résumera par la notation (ai), i allant de 1 à n.
Soit aussi une série correspondante de coefficients (tous à 1 dans une série simple, mais qui peuvent
aussi être des effectifs ou des fréquences) c1, c2, c3, etc... que l'on résumera par (ci), i allant aussi de
1 à n.
La moyenne a de la série (ai) avec les coefficients (ci) est égale à la somme des produits a i ci, divisée
par la somme des ci.
n
∑ c i ×ai
On écrit : a =
i =1
n
.
∑ ci
i =1
Exemple :
Notes d'une classe sur un devoir : 18, 11, 7, 12 avec les coefficients 1, 2, 2, 1
Calculer la moyenne de la classe (on doit trouver 11 !).
Remarque :
Dans une série statistique par classe, on ne peut pas calculer la moyenne exacte, on est obligé de
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prendre le milieu de chaque intervalle pour faire une moyenne approchée.
2) Linéarité de la moyenne
a) Soit (bi) une autre série de n nombres :
Alors, la moyenne (a + b) de la série (ai + bi) est a + b, c’est à dire la somme des deux moyennes.
Démonstration
n
n
∑ ci×a ibi
i=1
(a + b) =
∑ c i×ai ci×bi 
=
n
i=1
∑ ci
∑ ci
i=1
n
n
i=1
n
i =1
i =1
i =1
∑ c i ×ai ∑ c i ×bi
(a + b) =
, d'où
n
∑ c i ×ai
=
n
n
+
n
∑ ci
∑ ci ×bi
i =1
∑ ci
i=1
= a+b
n
∑ ci
i =1
i =1
Par commutativité et associativité de l’addition, et par distributivité de la division.
b) Moyenne de (ai + k), i de 1 à n
C'est un cas particulier du a) en posant tous les bi = k.
On a donc (ai + k) = a + k.
Application :
Enlevons 1 à chaque note de l'exemple du 1) : on verra en refaisant les calculs que la nouvelle
moyenne est bien 11 – 1 = 10.
c) Moyenne de (k ai) . C'est k a, car :
n
n
∑ ci×k a i
ka=
i=1
n
∑ ci
i=1
n
∑ k× ci×ai 
=
i=1
n
∑ ci
i=1
n
k×∑ c i×ai 
=
i=1
n
∑ c i×ai
=k
i=1
∑ ci
i=1
n
= k a.
∑ ci
i=1
Exemple
Dans l'exemple du 1), si on remplace 18 par 9 ; 11 par 5,5 ; 7 par 3,5 et 12 par 6 (c'est à dire en
multipliant tout par 0,5), on trouvera comme moyenne la moitié de 11, soit 5,5.
d) Généralisation
Si on résume toutes ces règles en une seule, on peut écrire, pour deux séries (a i) et (bi) et deux
constantes k et p, que :
(k a + b + p) = k a + b + p
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Ceci permet d'éviter de refaire tous les calculs lorsque l'on fait subir à tous les termes d'une série
une même modification de type linéaire, par exemple une conversion en une autre monnaie, ou en
une autre unité de mesure.
3) Calcul de moyenne à partir de sous-groupes
Exemple :
Supposons que j'arrive à la moyenne 12 avec 6 notes, mais que la note suivante soit un 5 : quelle
moyenne aurai-je avec ces sept notes ?
Réponse :
(12 * 6 + 5 * 1) / (6 + 1) = 11
Règle :
On peut calculer la nouvelle moyenne à partir de celle des sous groupes à condition de "pondérer"
la moyenne de chaque sous-groupe par la somme des coefficients de ce sous-groupe.
Exemples :
Reprenons l'exemple du 1) ci-dessus, et ajoutons deux valeurs 15 et 9, coefficientées respectivement
par 1 et 2.
On aura pour la nouvelle moyenne m :
m = (11* 6 + 15 * 1 + 9 * 2) / (6 + 1 + 2) = 11.
Si les coefficients sont 2 et 1, on aura :
m = (11* 6 + 15 * 2 + 9 * 1) / (6 + 2 + 1) ≈ 11,67.
B) Médiane, Quartiles, Déciles
1) Définitions
a) Médiane (ou valeur médiane)
On commence par trier toutes les valeurs de la série, on se situe au milieu, qui peut tomber sur une
valeur ou entre deux valeurs. S'il n'y en a qu'une, c'est elle la médiane, sinon on fait la moyenne des
deux.
Exemples :
1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 5 ; 8 ; 19 ; 20
12 ; 13 ; 13 ; 15 ; 20 ; 20
Médiane = 3 (Moyenne = 7).
Médiane = 14 (Moyenne = 15,5)
b) Quartiles
On fait deux groupes à partir de la série, l'un contenant les valeurs précédant la médiane, l'uatre les
valeurs qui suivent la médiane.
Le premier quartile Q1 est la médiane du premier groupe, et le troisième quartile Q 3 est la médiane
du second groupe.
25% des valeurs sont donc en-dessous de Q1, et 25% sont au-dessus de Q3.
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On appelle écart interquartile la différence Q1 – Q3, et l'intervalle ]Q1 ; Q3[ s'appelle l'intervalle
interquartile.
c) Déciles, Centiles etc...
Ce qu'on a fait avec les quartiles peut aussi se faire en divisant non pas en quatre quarts, mais en dix
dixièmes (déciles) ou en cent centièmes (centiles).
Par exemple, le premier décile est la valeur telle que 10% des valeurs lui sont inférieures; etc...
2) Exemple, utilité
La médiane dépend de l'ordre, mais pas des valeurs extrêmes.
C'est une valeur telle que la moitié des effectifs ont une valeur moindre, et l'autre moitié une valeur
plus élevée.
De même, examiner l'intervalle interquartile au lieu de regarder l'ensemble des valeurs permet
d'éviter les 25% les plus petits et les plus grands, c'est à dire les cas extrêmes.
Exemple :
(1, 3, 3, 4, 15, 18, 19) → Moyenne = 9, Médiane = 4 et ne change pas si on met 190 au lieu de 19.
C) Mode, classe modale, Étendue
1) Mode
C'est la valeur atteinte le plus souvent (il peut y avoir plusieurs modes !).
Exemples
Trouver le ou les modes dans les exemples du B1).
2) Classe modale
Ce terme est utilisé quand on a fait des regroupements par classe, c'est la classe ayant le plus gros
effectif (il peut y en avoir plusieurs ici aussi !).
3) Étendue d'une série statistique
C'est tout simplement l'écart entre la valeur maximale et la valeur minimale.
Trouver les étendues des exemples du B1)
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