Chapitre 9 : Relations trigonométriques dans un triangle rectangle 3

Chapitre 9 : Relations trigonométriques dans un triangle rectangle
I.
Calculer un angle avec les formules trigonométriques
B
5,6 cm
C
A
8,3 cm
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 8,3 cm et AC = 5,6 cm.
Calculer ABˆ C et donner une valeur arrondie a 1° près.
 
5, 6
Le triangle ABC est rectangle en A : tan Bˆ  AC 
AB
8, 3
Bˆ  34
On tape 5,6  8,3 = 0,674698795180722891566265060240964
INV TAN ANS
Ou bien
INV TAN ( 5,6  8,3
II.
)
=
Propriétés
1. Relation entre sinus et cosinus
Quelle que soit la mesure  d’un angle aigu on a :
cos 2   sin 2   1
Démonstration en utilisant Pythagore
Exemple :
0 <  < 90 et sin  
2
. Quelle est la valeur de cos  ?
3
2
cos   sin   1
2
cos      1
3
5
9
5
5
5


9
3
9
2
cos 2  
2
cos  
2
-1-
cos 2   1 
4
9
3ème
2. Tangente
Quelle que soit la mesure  d’un angle aigu on a : tan  
sin 
cos 
Démonstration direct
2
et cos  
3
Quelle est la valeur de tan  ?
2
sin 
2 3
tan  
 3  

cos 
5 3
5
3
Valeurs remarquables
Exemple : 0 <  < 90 ; sin  
III.
IV.
 en degré
0
Cos 
1
Sin 
0
Tan 
0
5
3
2
5

2 5
5
30
45
3
2
1
2
2
2
2
2
3
3
1
60
1
2
3
2
90
0
1
3
Autre exemple
x est la mesure d’un angle aigu et sin x = 0,8.
Calculer la valeur exacte de cos x et de tan x.
On sait que :
cos 2 x  sin 2 x  1
cos 2 x  1  sin 2 x
cos ² x  1  0 , 8²
cos ² x  1  0 , 64
cos ² x  0 , 36 comme cos x est positif cos x = 0 , 36  0 , 6
0,8 8 4
tan x  sin x 
 
cos x 0 , 6 6 3
-2-