Exercice 46

Exercice 46
1) Il y a beaucoup de solutions possibles. Par exemple
p1(x)=5
6(x−1)(x+1)(x−2)( x+3)
La forme générale :
p1(x)=a(x−r1)(x−r2)(x−r3)(x−r4)
avec
p(0)=a⋅r1 ⋅r2 ⋅r3 ⋅r4=5
,
ri∈ℝ ; ri≠rj∀i , j=1,2,3,4 et i≠j
2) Il y a beaucoup de solutions possibles. Par exemple
p2a (x)=(x−1)2(x+3)2
ou
p2b (x)=( x−2)(x+5)(x2+1)
Les formes générales avec
r1, r2∈ℝ ; r1≠r2
:
p2a (x)=(x−r1)2(x−r2)2
et
p2b (x)=(x−r1)(x−r2)(ax2+bx+c)
avec
Δ=b2−4ac<0
3) Impossible. Trois racines distinctes et une racine double corresponds à un polynôme degré 5.
p3(x)=(x−r1)(x−r2)(x−r3)(x−r4)2=x5+.........+r1 ⋅r2 ⋅r3 ⋅r4
4) Impossible. Le théorème fondamental de l'algèbre : « Tout polynôme peut se factoriser comme
produit de polynômes de degré 1 ou 2 » Donc soit le polynôme de degré 3
p(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0
avec
a3≠0
si on applique le théorème fondamental de
l'algèbre il pourra être factorisé soit comme le cas A) soit comme le cas B) :
A)
p(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0=c(x−r1)(x−r2)(x−r3)
avec
c∈ℝ et c≠0
dans ce cas le
polynôme aura trois racines si
r1≠r2≠r3≠r1
; deux racines si
r1≠r2=r3
; une racine si
r1=r2=r3
B)
p(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0=d(x−r1)(ax2+bx+c)
avec
d∈ℝ et d≠0
et
Δ=b2−4ac<0
dans ce cas le polynôme a une racine
r1
On peut conclure que « Les polynômes qui n'ont aucune racine sont de degré pair » parce qu'ils
sont factorisés en facteurs de la forme
(ax2+bx+c)
avec
Δ=b2−4ac<0
5) Si le polynôme a par racine
−2
le polynôme est divisible par
x+2
donc
p(x)=(x+2)(...)(...)...
Si le polynôme a par racine 2 le polynôme est divisible par
x−2
donc
p(x)=(x−2)(...)(...)...
Si le polynôme est de degré trois il doit avoir trois facteurs du type
x−r
La réponse :
p(x)=a3(x+2)(x−2)(x−r)
avec
r ; a3∈ℝ et a3≠0

Exercice 47
Tout polynôme doit présenter une intersection avec l'axe des y parce que le domaine de définition
d'un polynôme est
ℝ
, donc f(x), l'image de x existe pour tous les nombres réels et parce que les
fonctions polynomiales sont des fonctions continues (« des fonctions dont leur graphe ne contient pas
de trou ou de saut), donc le graphe de toute fonction polynomiale doit forcement présenter une
intersection avec l'axe des y.
Il peut y avoir des polynômes de degré pair qui n'ont pas d'intersection avec l'axe des x. Selon le
théorème fondamental de l'algèbre : « Tout polynôme peut se factoriser comme produit de polynômes
de degré 1 ou 2 », les polynômes dont tous les facteurs sont de la forme
(ax2+bx+c)
avec
Δ=b2−4ac<0
n'ont pas de racines et donc ne présentent pas d'intersection avec l'axe des x. Ces
polynômes sont de degré pair, un produit de n facteurs du type
(ax2+bx+c)
donne un polynôme de
degré 2n.
Exemples de polynômes de degré 2, 4 et 6 qui n'ont pas de racines :
p1(x)=x2+1x+1
p2(x)=(x2+1x+1)(x2+1)
p3(x)=(x2+1)(x2+2)(x2+3)
Les polynômes de degré impair doivent présenter au moins une intersection avec l'axe des x (voir
raisonnement précèdent et raisonnement de q4 exercice 46). Selon le théorème fondamental de
l'algèbre : « Tout polynôme peut se factoriser comme produit de polynômes de degré 1 ou 2 ». Les
facteurs qui n'ont pas de racines sont du type
(ax2+bx+c)
avec
Δ=b2−4ac<0
, mais on ne peut
pas factoriser un polynôme de degré impair seulement avec de facteurs de ce type, il faut avoir au
moins un facteur de degré un (facteur du type
x−r
), donc le polynôme aura une racine r et il aura
une intersection avec l'axe des x au point (r ; 0)