algèbre appliquée - Licence de mathématiques Lyon 1

Licence Sciences, Technologies, Santé
Parcours de mathématiques
Université Claude Bernard Lyon 1
ALGÈBRE APPLIQUÉE
PARTIE II
LE THÉORÈME DE PERRON-FROBENIUS
ET LES MOTEURS D’INDEXATION DU WEB
- Notes de cours et de travaux dirigés -
– Printemps 2012 1–
PHILIPPE MALBOS
[email protected]lyon1.fr
1. Le chapitre II a été en partie modifié au printemps 2013 par T. Blossier

Table des matières
I. Préliminaires : rappels d’algèbre linéaire 3
1. Lesmatrices................................ 3
2. Spectred’unematrice........................... 9
3. Décomposition spectrale des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4. Calcul des puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II. Le théorème de Perron 35
1. Matrices positives et strictements positives . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2. Rayon spectral des matrices strictement positives . . . . . . . . . . . . 36
III. Le théorème de Perron-Frobenius 45
1. Le cas des matrices positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2. Les matrices irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3. Les matrices primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4. Irréductibilité et graphe d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5. Marches aléatoires sur un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6. Recherche documentaire, l’exemple du PageRank . . . . . . . . . . . . 65
1

CHAPITRE
I
Préliminaires : rappels d’algèbre linéaire
Sommaire
1. Lesmatrices .............................. 3
2. Spectred’unematrice......................... 9
3. Décomposition spectrale des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4. Calcul des puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Dans ce cours, Kdésigne un corps un commutatif. On se placera en général sur le
corps des réels Rou celui des nombres complexes C.
§ 1 Les matrices
I.1.1. Notations.— Soient met ndeux entiers naturels non nuls. Une famille (ai
j)16i6n
16j6m,
où, pour tous entiers iet j,ai
jest un scalaire dans K, est appelée une matrice de type
(m,n)à coefficients dans K. S’il n’y a pas de confusion, une telle matrice sera notée [ai
j]
et représentée par un tableau de scalaires à ncolonnes et mlignes :
a1
1a2 1··· an
1
a1
2a2 2··· an
2
.
.
..
.
..
.
.
a1
ma2 m··· an m
On note Mm,n(K)l’ensemble des matrices carrées de type (m,n)à coefficients dans
K. Si A∈Mm,n(K), on notera Ai
j, le coefficient de Ade la j-ième ligne de la i-ième
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