Logique arithmétique

Yvon Gauthier
PUL
Logique arithmétique
L’arithmétisation de la logique
Logique arithmétique
L’arithmétisation de la logique
La logique arithmétique est la logique interne de l’arithmétique,
c’est la traduction ou l’interprétation de la logique formelle
dans le langage de l’arithmétique. Cette arithmétique n’est pas
l’arithmétique formelle de Frege et Peano, mais l’arithmétique
classique de Fermat à Kronecker jusqu’à la théorie contemporaine
des nombres. L’hypothèse proposée ici suppose qu’après
l’arithmétisation de l’analyse, chez Cauchy et Weierstrass,
et l’arithmétisation de l’algèbre, chez Kronecker, la logique
formelle a amorcé son arithmétisation avec Hilbert pour atteindre
son aboutissement avec l’informatique théorique actuelle. Dans
cette perspective, la méthode de la descente innie de Fermat et
l’arithmétique générale de Kronecker fournissent une critique
constructiviste de l’induction transnie en même temps qu’une
preuve de consistance interne de l’arithmétique polynomiale.
La position fondationnelle défendue dans l’ouvrage se réclame
du constructivisme logicomathématique et constitue les assises
d’un programme qu’on peut bien appeler « logique de la science »
après Peirce et Carnap. Le motif recteur des travaux formels est
d’ordre philosophique et c’est dans un esprit œcuménique que
l’auteur a voulu mener ces recherches.
Yvon Gauthier est professeur de philosophie à l’Université de Montréal.
Il a publié de nombreux travaux en logique formelle et en philosophie des
sciences, en particulier dans le domaine des fondements des mathématiques et
de la physique. Il fait ici la synthèse des travaux qu’il a menés sur les questions
fondationnelles de la logique et des mathématiques.
Yvon Gauthier
Logique
arithmétique
L’arithmétisation
de la logique
www.pulaval.com
ISBN 978-2-7637-8997-2
Yvon Gauthier
Logique arithmétique L’arithmétisation de la logique
PUL
Illustration de la couverture :
Wassily Kandinsky, Dans le bleu, 1925.

DU MÊME AUTEUR
L’arc et le cercle. L’essence du langage chez Hegel et Hölderlin,
Desclée de Brouwer et Bellarmin, Paris et Montréal, 1969.
Fondements des mathématiques. Introduction à une philosophie
constructiviste, Presses de l’Université de Montréal,
Montréal, 1976.
Méthodes et concepts de la logique formelle, Presses de
l’Université de Montréal, Montréal, 1978, 2e éd., revue,
corrigée et augmentée, 1981.
Théorétiques. Pour une philosophie constructiviste des sciences, Le
Préambule, Longueuil, 1982.
De la logique interne, Vrin, Paris, 1991.
La logique interne des théories physiques, Vrin et Bellarmin, Paris
et Montréal, 1992.
La philosophie des sciences. Une introduction critique, Presses de
l’Université de Montréal, Montréal, 1995.
Logique et fondements des mathématiques, Diderot, Paris, 1997, 2e
édition, 2000.
Logique interne. Modèles et applications, Diderot et Modulo, Paris
et Montréal, 1997.
Internal Logic. Foundations of Mathematics from Kronecker to
Hilbert, Kluwer, “Synthese Library”, Dordrecht, Boston et
London, 2002.
La logique du contenu. Sur la logique interne, L’Harmattan,
Paris, 2004.
Entre science et culture. Introduction à la philosophie des sciences,
Presses de l’Université de Montréal, Montréal, 2005.

Logique arithmétique

Cette collection accueillera des ouvrages consacrés à la logique et à la
philosophie des sciences entendues dans leur sens formel. La logique de
la science, un titre emprunté au philosophe américain C.S. Peirce, rend
compte de la logique interne du savoir qui peut se décliner en plusieurs
versions et il est légitime de parler de logiques au pluriel comme on par-
le de sciences au pluriel. L’éventail des recherches pourra s’ouvrir pour
inviter des analyses portant sur l’intersection et l’héritage commun des
traditions philosophiques et scientiques. Enn, les travaux d’épistémo-
logie générale ou historique dans les sciences sociales et humaines ne
sauraient être exclus dans cet esprit d’ouverture qui doit caractériser
l’idée d’une logique interne du discours scientique. Si le principe de
tolérance invoqué par le logicien et philosophe des sciences R. Carnap
doit présider à une telle entreprise, c’est pour mieux assurer le rôle de
la philosophie comme vigile du savoir.
Le symbole utilisé pour représenter la collection signie la quantica-
tion « efnie » ou illimitée de la logique arithmétique et il est tiré de
l’idéogramme pour « wang », roi en langue chinoise.
Yvon Gauthier

YVON GAUTHIER
Logique arithmétique
L’arithmétisation de la logique