fiche 5 suites arithmetiques

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FICHE 5 : SUITES ARITHMETIQUES
I ) DEFINITION
a)Exemple
voici une suite de nombres à compléter
1 4 7 10 13 ... ... ...
On ajoute à chaque terme le même nombre 3 qui est la raison de la suite et on écrit :
U
0
= 1 U
1
= U
0
+ 3 = 1 + 3 = 4 U
2
= U
1
+ 3 = 4 + 3 = 7 etc…
b) Définition
Une suite est arithmétique s’il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n :
Un+1 = Un + r
r est la raison de la suite.
Exemples :
1) La suite des entiers naturels est un exemple de suite arithmétique :
U
0
= 0 et r=1.
U
0
= 0 U
1
= 1 U
2
= 2 …
2) Soit la suite (U
n
) définie par U
0
= 10 et U
n+1
= U
n
– 4 .
Calculer les 6 premiers termes de (U
n
).
On peut utiliser la calculatrice :
II) Montrer qu’une suite est arithmétique :
Pour démontrer qu’une suite est arithmétique on démontre que pour tout entier
naturel n U
n+1
- U
n
= r
où r est la raison c’est – à – dire une constante indépendante de n

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Exemple : U
n
= 4 - 3n , montrons que la suite est arithmétique
U
n+1
= 4 – 3( n + 1 ) = 4 – 3n – 3 donc U
n+1
- U
n
= – 3
(Un) est donc une suite arithmétique de raison -3 et de premier terme U
0
= 4.
Remarques :
1) ATTENTION A NE PAS CONFONDRE U
n+1
et U
n
+ 1
Soit U
n
= 5n + 2. Calculer U
n+1
, U
n
+ 1
2) U n placement à intérêts simples correspond à une suite arithmétique
III) Formule explicite d’une suite arithmétique
1°) Le premier terme est U
0
Si (U
n
) est une suite arithmétique de raison r, de premier terme U
0
alors , pour
tout entier naturel n , on a
U
n
= U
0
+ nr
Exemple : Voir application 1 p 33 a)
2°) Le premier terme est U
1
Si (U
n
) est une suite arithmétique de raison r, de premier terme U
1
alors,
pour tout entier naturel n, on a
U
n
= U
1
+ (n – 1) r
Exemple : Voir application 1 p 33 b)
IV) Sommes de termes consécutifs de la suite (U
n
)
S
0
= U
0
+ …+ U
n
: somme de n + 1 termes consécutifs
Exemple : U
n
= 2n + 3 alors la somme S
0
= U
0
+ …+ U
5
= U
0
+ U
1
+ U
2
+ U
3
+ U
4
+ U
5
il y a 6 termes !
S
1
= U
1
+ …+ U
n
: somme de n termes consécutifs
Exemple : U
n
= 2n + 3 alors la somme S
1
= U
1
+ …+ U
5
= U
1
+ U
2
+ U
3
+ U
4
+ U
5
il y a 5 termes !
Pour calculer la somme de termes consécutifs on utilise une calculatrice ou un tableur.