Intervalle de fluctuation d`une loi Binomiale

Yves Coudert
ENONCE : Intervalle de fluctuation d’une loi binomiale
(Niveau première et terminale S et ES/L)
Dans le chapitre sur les intervalles de fluctuation, Pierre a remarqué qu’un type de calculs revient
régulièrement : le calcul de la probabilité qu’une variable aléatoire fréquence F, associée à une variable
aléatoire X suivant une loi binomiale ℬ( , ), prenne ses valeurs dans un intervalle [a ; b] , où a et b sont des
nombres réels tels que 0 ≤ ≤ ≤ 1.
1) Proposer un programme simple, pour calculatrice, que pourrait utiliser Pierre.
2) Utiliser le programme pour calculer la probabilité de l’événement 0,6 ≤ ≤ 0,8 où la variable
aléatoire fréquence F est associée à la variable aléatoire X qui suit la loi binomiale ℬ(40, 0.7).
3) Reprendre la question 2) avec l’événement 0,62 ≤ ≤ 0,8 . Comparer le résultat obtenu avec celui
de la question 2). Modifier éventuellement votre programme pour que les résultats soient bien
différents.
Correction avec la Graph 35 + USB
Nous proposons ici une correction avec la calculatrice Graph 35 + USB qui est également applicable pour
les modèles Graph 75, Graph 95, fx CG-20 et Graph 100 + USB.
1) Nous allons proposer un programme simple qui fonctionne avec l’algorithme suivant :
Variables :
N nombre entier
A, B, P, R nombres réels
Entrées :
Saisir les valeurs de A, B, N et P
Traitement :
R prend la valeur
Affichage :
Afficher R
( ≤
× )− ( ≤
× )
Les variables sont en majuscules, l’intervalle considéré est [A ; B] et X est une loi binomiale
ℬ( , )
Pour justifier la ligne traitement on écrit : P( ≤ ≤ ) = P( × ≤ × ≤ × )
Soit : P( ≤ ≤ ) = P( × ≤ ≤ × ) = P( ≤ × ) − ( ≤ × )
Pour la Graph 35 + USB le calcul de ( ≤ ) , C étant un réel tel que 0 ≤ ≤
est donné
par : BinomialCD(Int(C) , N, P) car le premier paramètre doit être un entier (nombre de succès).
Int(C) désignant la partie entière de C, c'est-à-dire l’entier naturel tel que :
( )≤ <
( )+1
1