1) Probabilité conditionnelle

Expose 5 : Probabilité conditionnelle ; indépendance de deux événements
(On se limitera au cas où l’ensemble d’épreuves est fini)
Applications à des calculs de probabilité.
Pré requis :
- Notion de probabilité
- Evénements
- Ensembles incompatibles
- Espace probabilisé
Soit ( Ω,℘(Ω), P ) un espace probabilisé, Ω fini
1) Probabilité conditionnelle
Définition : Soient A et B ∈ ℘(Ω) tel que P ( B ) > 0
On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B
P( A ∩ B)
le nombre PB ( A) =
P( B)
Propriété : Si B ∈ ℘(Ω) tel que P ( B ) > 0 alors
 ℘(Ω) → + 


l’application P( B) : 
P( A ∩ B)  est une probabilité
 A P( B) 


Preuve :
P (Ω ∩ B ) P ( B )
=
=1
P( B)
P( B)
si A1 et A2 ∈℘(Ω) tel que A1 ∩ A2 = ∅
P ( B ∩ ( A1 ∪ A2 )) P (( B ∩ A1 ) ∪ ( B ∩ A2 ))
PB ( A1 ∪ A2 ) =
=
P( B)
P( B)
P ( B ∩ A1 ) + P ( B ∩ A2 )
PB ( A1 ∪ A2 ) =
P( B)
Car ( B ∩ A1 ) et ( B ∩ A2 ) sont incompatibles
PB (Ω) =
PB ( A1 ∪ A2 ) = PB ( A1 ) + PB ( A2 )
Conséquence : PB ( A) = 1 − PB ( A)
∀A1 , A2 ∈℘(Ω), PB ( A1 ∪ A2 ) = PB ( A1 ) + PB ( A2 ) − PB ( A1 ∩ A2 )
2) Indépendance de deux événements
Définition :
si A et B sont deux événements de Ω ,
on dit que A et B sont indépendants si P ( A ∩ B ) = P ( A).P ( B) .
Proposition : Si A et B sont indépendants, alors A et B , A et B , A et B le sont aussi.
Preuve : nécessite la formule des probabilités totales (qui vient par la suite)
3) Applications
a) Formule des probabilités composées
Propriété :
soient A1 ,..., An ∈℘(Ω).
Avec
∀k , j : PA1 ∩...∩ Ak ( A j ) ≠ 0
Preuve : par récurrence sur n ≥ 2
n = 2 : P ( A ∩ B ) = P ( A).PA ( B ) = P ( B ).PB ( A).
n → n + 1: P ( A1 ∩ ... ∩ An ) = P ( A1 ).PA1 ( A2 )....PA1 ∩ A2 ∩...∩ An−1 ( An )
P( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An +1 ) = P(( A1 ∩ ... ∩ An ) ∩ An +1 )
P( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An +1 ) = P( A1 ∩ ... ∩ An ).PA1 ∩ A2 ∩...∩ An ( An +1 )
....
Exercice :
Dans une urne, il y a 5 boules noires et 8 rouges.
On tire au hasard et sans remise, 2 boules
R1 = la 1er boule tirée est rouge
R2 =la 2e boule est rouge
P ( P ( R1 ∩ R2 ) ?
8 

 P ( R1 ) = 13 
8 5 10

 ⇒ P ( R1 ∩ R2 ) = P ( R1 ).PR1 ( R2 ) = . =
13 12 39
 P( R ) = 5 


2
12 

b) Formule des probabilités totales.
RAPPEL : Soit n ∈ ∗ , un ensemble { A1 ,...., An } d’événements de Ω est un système
complet si :
n
∪A =Ω
i
i =1
∀i ≠ j , Ai ∩ A j = ∅
∀i, P ( Ai ) ≠ 0
Propriété :
soit n ∈ ∗
Si { A1 ,...., An } est un système complet d’événements Ω et B ∈℘(Ω) ,
n
Alors P ( B ) = ∑ P ( Ai ).PAi ( B )
i =1
Preuve :
B = ( B ∩ A1 ) ∪ ( B ∩ A2 ) ∪ ... ∪ ( B ∩ An )
n
P ( B ) = ∑ P ( B ∩ Ai )
i =1
car ( B ∩ Ai ) ∩ ( B ∩ A j ) = ∅, ∀i ≠ j
n
d’où P ( B ) = ∑ P ( Ai ).PAi ( B)
i =1
Exemple : dans une usine, 3 machines A, B, C fabiquent le meme type de pièces
A fabrique 30% de la production dont 90% sont de bonne qualité
B fabrique 55% de la production donc 80% sont de bonne qualité
C fabrique 15% de la production dont 95% sont de bonne qualité
On prend une pièce au hasard. Quelle est la probabilité d’avoir une pièce de bonne qualité ?
Q : avoir une pièce de bonne qualité
P (Q) = PA (Q).P ( A) + PB (Q).P ( B ) + PC (Q).P(C ) = ...
c) Formules de Bayes
Elle découle de la précédente
Propriété :
On reprend les mêmes hypothèses. Si de plus P ( B ) ≠ 0 ,
Alors
∀j ∈ {1,..., n} , PB ( Aj ) =
P( Aj ).PAj ( B)
n
∑ P( A ).P
i
i =1
Ai
( B)
Preuve :
PB ( A j ) =
P( Aj ∩ B)
P( B)
=
P ( Aj ).PAj ( B )
n
∑ P( A ).P
i
i =1
Ai
( B)
Application :
Dans une population, 1 habitant sur 100 est atteint d’une maladie.
PM (T ) = 0,8 (proba que le test soit positif sachant que l’individu est atteint)
PM (T ) = 0, 01
Le test est-il fiable ?
PT ( M ) =
PM (T ).P( M )
0, 45
PM (T ).P( M ) + PM (T ).P( M )
Retour sur la démonstration délaissée plus haut.
On peut maintenant démontrer que
Si A et B sont indépendants, alors A et B , A et B , A et B le sont aussi.
P ( B ) = P ( B ∩ A) + P( B ∩ A)
P ( B ∩ A) = P( B) − P( B ∩ A) = P( B) − P( B).P( A)
P ( B ∩ A) = P( B).(1 − P( A))
P ( B ∩ A) = P( B).P( A)