1) Probabilité conditionnelle

Expose 5 : Probabilité conditionnelle ; indépendance de deux événements
(On se limitera au cas où l’ensemble d’épreuves est fini)
Applications à des calculs de probabilité.
Pré requis :
- Notion de probabilité
- Evénements
- Ensembles incompatibles
- Espace probabilisé
Soit
(
)
, ( ),
P
Ω ℘ Ω un espace probabilisé,
Ω
fini
1) Probabilité conditionnelle
Définition : Soient
( )
A et B
∈ ℘ Ω
tel que
( ) 0
P B
>
On appelle probabilité conditionnelle de
A
sachant
B
le nombre
( )
( )
( )
B
P A B
P A P B
∩
=
Propriété : Si
( )
B
∈ ℘ Ω
tel que
( ) 0
P B
>
alors
l’application
( )
( ) :
( )
( )
P B
P A B
AP B
+
℘ Ω →
∩
est une probabilité
Preuve :
( ) ( )
( ) 1
( ) ( )
B
P B P B
PP B P B
Ω ∩
Ω = = =
 si
1 2
( )
A et A
∈℘ Ω
tel que
1 2
A A
∩ = ∅
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
( ( )) (( ) ( ))
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
B
B
P B A A P B A B A
P A A P B P B
P B A P B A
P A A P B
∩ ∪ ∩ ∪ ∩
∪ = =
∩ + ∩
∪ =
Car
1
( )
B A
∩et
2
( )
B A
∩sont incompatibles
1 2 1 2
( ) ( ) ( )
B B B
P A A P A P A
∪ = +
Conséquence :
( ) 1 ( )
B B
P A P A
= −
1 2 1 2 1 2 1 2
, ( ), ( ) ( ) ( ) ( )
B B B B
A A P A A P A P A P A A
∀ ∈℘ Ω ∪ = + − ∩

2) Indépendance de deux événements
Définition : si
A
et
B
sont deux événements de
Ω
,
on dit que
A
et
B
sont indépendants si
( ) ( ). ( )
P A B P A P B
∩ =
.
Proposition : Si
A
et
B
sont indépendants, alors
A
et
B
,
A
et
B
,
A
et
B
le sont aussi.
Preuve : nécessite la formule des probabilités totales (qui vient par la suite)
3) Applications
a) Formule des probabilités composées
Propriété : soient
1
,..., ( ).
n
A A
∈℘ Ω
Avec
1
...
, : ( ) 0
k
A A j
k j P A
∩ ∩
∀ ≠
Preuve : par récurrence sur
2
n
≥
2 : ( ) ( ). ( ) ( ). ( ).
A B
n P A B P A P B P B P A
= ∩ = =
1 1 2 1
1 1 2 ...
1: ( ... ) ( ). ( ).... ( )
n
n A A A A n
n n P A A P A P A P A
−
∩ ∩ ∩
→ + ∩ ∩ =
1 2
1 2 1 1 1
1 2 1 1 ... 1
( ... ) (( ... ) )
( ... ) ( ... ). ( )
....
n
n n n
n n A A A n
P A A A P A A A
P A A A P A A P A
+ +
+ ∩ ∩ ∩ +
∩ ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩
∩ ∩ ∩ = ∩ ∩
Exercice : Dans une urne, il y a 5 boules noires et 8 rouges.
On tire au hasard et sans remise, 2 boules
1
R
= la 1
er
boule tirée est rouge
2
R
=la 2
e
boule est rouge
(
P
1 2
( )?
P R R
∩
1
1
1 2 1 2
2
8
( )
8 5 10
13 ( ) ( ). ( ) .
5
13 12 39
( ) 12
R
P R
P R R P R P R
P R
=
  ⇒ ∩ = = =
=

b) Formule des probabilités totales.
RAPPEL : Soit n
∗
∈ , un ensemble
{
}
1
,....,
n
A A
d’événements de
Ω
est un système
complet si :
1
n
i
i
A
=
= Ω
∪
,
i j
i j A A
∀ ≠ ∩ = ∅
, ( ) 0
i
i P A
∀ ≠
Propriété : soit n
∗
∈
Si
{
}
1
,....,
n
A A
est un système complet d’événements
Ω
et
( )
B
∈℘ Ω
,
Alors
1
( ) ( ). ( )
i
n
i A
i
P B P A P B
=
=
∑
Preuve :
1 2
1
( ) ( ) ... ( )
( ) ( )
n
n
i
i
B B A B A B A
P B P B A
=
= ∩ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩
= ∩
∑
car ( ) ( ) ,
i j
B A B A i j
∩ ∩ ∩ = ∅ ∀ ≠
d’où
1
( ) ( ). ( )
i
n
i A
i
P B P A P B
=
=
∑
Exemple : dans une usine, 3 machines A, B, C fabiquent le meme type de pièces
A fabrique 30% de la production dont 90% sont de bonne qualité
B fabrique 55% de la production donc 80% sont de bonne qualité
C fabrique 15% de la production dont 95% sont de bonne qualité
On prend une pièce au hasard. Quelle est la probabilité d’avoir une pièce de bonne qualité ?
:
( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ...
A B C
Q avoir une pièce de bonne qualité
P Q P Q P A P Q P B P Q P C
= + + =
c) Formules de Bayes
Elle découle de la précédente
Propriété : On reprend les mêmes hypothèses. Si de plus
( ) 0
P B
≠
,
Alors
{ }
1
( ). ( )
1,..., , ( )
( ). ( )
j
i
j A
B j n
i A
i
P A P B
j n P A
P A P B
=
∀ ∈ =
∑

Preuve :
1
( ). ( )
( )
( ) ( )
( ). ( )
j
i
j A
j
B j n
i A
i
P A P B
P A B
P A P B
P A P B
=
∩
= =
∑
Application :
Dans une population, 1 habitant sur 100 est atteint d’une maladie.
( ) 0,8
M
P T = (proba que le test soit positif sachant que l’individu est atteint)
( ) 0,01
M
P T =
Le test est-il fiable ?
 ( ). ( )
( ) 0, 45
( ). ( ) ( ). ( )
M
T
MM
P T P M
P M P T P M P T P M =+
Retour sur la démonstration délaissée plus haut.
On peut maintenant démontrer que
Si
A
et
B
sont indépendants, alors
A
et
B
,
A
et
B
,
A
et
B
le sont aussi.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( )
( ) ( ).(1 ( ))
( ) ( ). ( )
P B P B A P B A
P B A P B P B A P B P B P A
P B A P B P A
P B A P B P A
= ∩ + ∩
∩ = − ∩ = −
∩ = −
∩ =