Semaine de colle no 11 1 Expériences aléatoires 2 Probabilités

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ECS 3
Semaine de colle no 11
2013 – 2014
du 25 au 29 novembre
Toutes les définitions /énoncés du cours sont à connaître précisément.
Les démonstrations/exemples précédés de L peuvent être considérés comme des questions de cours
1
Expériences aléatoires
Propriétés
Description ensembliste d’une expérience aléatoire :
Définition
Etant donné une expérience aléatoire, l’univers est l’ensemble, traditionnellement
noté Ω, des issues (résultats, réalisations) possibles.
Dans tout ce chapitre, on se limite au cas Ω fini .
L Soit (Ω, P (Ω), P ) un espace probabilisé et soient A, B ∈ P (Ω) :
1. P (A) = 1 − P (A) ;
2. P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ A) ;
3. Si A ⊂ B, alors P (A) ≤ P (B) ;
4. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
• Conséquence de 1. P (∅) = 0
• Généralisation de iii) à n événements deux à deux incompatibles (n ≥ 2) :
Définition
Soit Ω un univers fini. Un événement est une partie de Ω i.e. un élément de P (Ω).
• Dictionnaire événements ↔ ensembles : événement certain, impossible, contraire ...
Définition
Deux événements A et B sont dits incompatibles si A ∩ B = ∅
Proposition
Soit (Ω, P (Ω), P ) un espace probabilisé et soient A1 , A2 , . . . , An ∈ P (Ω), deux à
deux incompatibles.
n
n
[
X
P
Ai =
P (Ai ).
i=1
i=1
• Généralisation de 4. à trois événements :
Définition
Soit (Ai )i∈I une famille d’événements. On dit que cette famille forme un système
complet d’événements de Ω si :
i) Les Ai sont deux à deux incompatibles : ∀(i, j) ∈ I 2 , i , j =⇒ Ai ∩ Aj = ∅.
S
ii)
Ai = Ω
Proposition : Formule de Poincaré
Soit (Ω, P (Ω), P ) un espace probabilisé et soient A, B, C ∈ P (Ω).
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C).
i∈I
2.2
2
Probabilités
Dans toute cette partie, Ω désigne un univers fini.
2.1
Proposition
Définitions et premières propriétés
Définition
Construire une probabilité
• Probabilités et événements élémentaires Une probabilité P sur (Ω, P (Ω)) est
déterminée par sa valeurs sur les événements élémentaires :
Soit P une probabilité sur
P une univers fini Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn }. Alors :
∀A ∈ P (Ω), P (A) =
P ({ωi })
i / ωi ∈A
Une probabilité sur (Ω, P (Ω)) est une application P : P (Ω) :→ [0 , 1] vérifiant :
i) P (Ω) = 1 ;
n
P
ii) Pour tous événements A, B ∈ P (Ω) incompatibles, on a P (A∪B) = P (A)+P (B).
• Remarque. En particulier, avec A = Ω, on obtient
P ({ωi }) = 1
Le triplet (Ω, P (Ω), P ) est alors appelé espace probabilisé (fini).
i=1
On a vu que la réciproque de la proposition précédente est vraie.
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3.3
• Equiprobabilité
Formule des probabilités totales
Théorème
Définition
Soit (Ω, P (Ω), P ) un espace probabilisé fini :
• Deux événements A et B sont dits équiprobables si P (A) = P (B)
• On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires
sont équiprobables.
L Soit (Ak )1≤k≤n un système complet d’événement et soit B ∈ P (Ω).
n
P
1. P (B) =
P (Ak ∩ B).
k=1
2. Si de plus les Ak sont tous de probabilités non-nulles, alors on a
n
P
P (B) =
P (Ak )PAk (B).
Théorème
k=1
Soit (Ω, P (Ω), P ) un espace probabilisé fini en situation d’équiprobabilité. Alors
∀A ∈ P (Ω), P (A) =
• Un fait à retenir. Si (Ak )1≤k≤n est un système complet d’événement, alors tout événement B se décompose en une réunion d’événements deux à deux incompatibles :
CardA « nombres de cas favorables »
=
CardΩ
« nombres de cas possibles »
3 Probabilités conditionnelles
B=
(Ak ∩ B)
k=1
Dans toute cette partie (Ω, P (Ω), P ) est un espace probabilisé.
3.1
n
[
• Philosophie. La formule est utile lorsque l’on « ressent un manque d’informa-
Probabilité « sachant »
tion ». Le choix d’un s.c.e. correspond intuitivement à une disjonction de cas dans
l’expérience et apporte de l’information.
Théorème – définition : Rappel
Soit A un événement de probabilité non nulle. L’application PA définie sur P (Ω)
P (A ∩ B)
par : ∀B ∈ P (Ω), PA (B) =
P (A)
est une probabilité sur (Ω, P (Ω)), appelée probabilité conditionnelle relativement
à A ou encore probabilité sachant A.
3.4
Formule de Bayes ou « des probabilités des causes »
Théorème
L Soit B un événement de probabilité non nulle.
P (A)
.
P (B)
un s.c.e. tel que : ∀k ∈ ~1 , n, P (Ak ) , 0. Alors :
1 Si A ∈ P (Ω) est de probabilité non nulle, on a PB (A) = PA (B)
• Conséquence. Si P (A) , 0, alors (Ω, P (Ω), PA ) est un espace probabilisé. Toutes les
formules vues sur les probabilités sont valables pour PA .
• Remarque. Bien souvent, on connaît PA (B) et on cherche P (A ∩ B). On utilise donc
plutôt la formule « à l’envers » : P (A ∩ B) = P (A)PA (B)
3.2
2 Soit (Ak )1≤k≤n
∀k ∈ ~1 , n,
PB (Ak ) =
Formule des probabilités composées
PAk (B)P (Ak )
.
n
P
P (Ai )PAi (B)
i=1
Proposition
Soient A1 , A2 , . . . , An ∈ P (Ω) tels que P (A1 ∩ · · · ∩ An−1 ) , 0. Alors
P (A1 ∩ · · · ∩ An ) = P (A1 )PA1 (A2 )PA1 ∩A2 (A3 ) . . . PA1 ∩···∩An−1 (An )
• Philosophie. La formule est utile lorsque l’on cherche à « remonter le temps ».
Elle permet d’échanger le conditionnement : on passe de PB (Ak ) à PAk (B). Elle permet donc de calculer la probabilité d’une cause connaissant la probabilité de sa
conséquence.
L’adresse de la page des maths est : http://mcathala.perso.math.cnrs.fr/ecs1_ozenne.html
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