TD 2 REVISIONS SUR LES POLYNÔMES et compilation des sujets

TD 2
REVISIONS SUR LES POLYNÔMES
et compilation des sujets classiques sur les polynômes de Tchebichev
Dans tout ce TD on considère la suite (Tn )n∈N de polynômes de R[X] définie par
T0 = 1; T1 = X et ∀n ∈ N, Tn+2 = 2XTn+1 − Tn
I Le degré, les coefficients , le coefficient dominant
Rappeler ce que l’on appelle degré d’un polynôme.
a) Quel est le degré de Tn ., le coefficient dominant de Tn ?
b) Quel est le coefficient constant de Tn ?
c) Démontrer que le polynôme Tn est à coefficients entiers relatifs.
d) Déterminer la parité de la fonction réelle x → Tn (x).. Que peut on en déduire quant aux coefficients de Tn ?
II Les racines
Rappeler la définition d’une racine pour un polynôme P. Donner les théorèmes généraux à votre disposition concernant les racines complexes d’un polynôme de C[X] : existence , nombre de racines
, lien avec le degré , factorisation , ordre de multiplicité, lien avec la dérivation. Même question
pour les polynômes de R[X], en distinguant le cas des racines reélles et complexes.
a) Démontrer que pour tout réel θ, et pour tout entier naturel n, Tn (cos θ) = cos(nθ)
b) En déduire la valeur exacte des coefficients de Tn en fonction de n à l’aide de la formule de
Moivre
c) Déterminer toutes les racines du polynôme Tn , et montrer qu’elles sont réelles et appartiennent
toutes à l’intervalle [−1, 1].
d) Montrer la formule suivante :
∀x ∈ R, ∀n ∈ N, Tn (x) = 2n−1 nk=1 (x − cos( (2k−1)π
))
2n
III Relations coefficients racines
Soit P = nk=0 ak X k un polynôme de degré n de
admettant n racines α1 , ..., αn
C[X]
n
Rappeler la valeur des nombres suivants : σ 1 = k=1 αk , σ n = Πnk=1 αk ; comment démontre t’on
ce résultat?
(2k−1)π
En déduire la valeur des réels suivants : nk=1 cos( (2k−1)π
), Πn−1
)
k=0 cos(
2n
2n
IV Arithmétique dans K[X]
Rappeler la définition du Pgcd D de deux polynômes A, B. Même question pour le Ppcm M. Par
quelle Méthode obtient-on ce Pgcd dans le cas général (Méthode 1)
Comment obtient-on ce Pgcd lorsque A et B sont dans C[X] et que l’on connait leurs racines
respectives (Méthode 2)
a) Déterminer le Pgcd des polynômes Tn et Tn+1 en remarquant que tout polynôme divisant à la
fois Tn+1 et Tn+2 divise nécéssairement Tn
lycée Dessaignes 2007-2008
b) Déterminer le Pgcd de T6 et de T10 par la méthode 2
c) Montrer qu’il existe une suite de polynômes (An ) et une suite de polynômes (Bn ) de R[X] telles
que
∀n ∈ N, 1 = An Tn + Bn Tn+1 ,
d) On admet que l’on peut obtenir An et Bn tels que deg(An ) ≤ n et deg(Bn ) ≤ n − 1. Montrer
qu’alors An et Bn sont uniques
e) Montrer que pour tout entier naturel n, on peut trouver un polynôme Qn , dont on précisera le
degré et le coefficient de plus haut degré , tel que
∀θ ∈ R, sin(nθ) = sin(θ)Qn (cos(θ))
pour celà on pourra exprimer sin((n + 1)θ) en fonction de sin(nθ ) ,sin θ, cos(nθ) et cos θ
préciser Q0 , Q1 , Q2 , Q3
f) Montrer que ∀n ∈ N, An = Qn+1 et Bn = −Qn
V Un résultat classique concernant les polynômes unitaires
Un polynôme est dit unitaire ssi son coefficient dominant est égal à 1. Soit P un polynôme unitaire
de Rn [X] ( donc de de degré n ≥ 1). On veut prouver que
sup(|P (x)| , −1 ≤ x ≤ 1) ≥
1
2n−1
a)On veut vérifier ce résultat pour n = 1. On pose ainsi P (x) = x + a .
Tracer le graphe de la fonction : a → sup(|−1 + a| , |1 + a| . pour −1 ≤ a ≤ 1
Conclure
b) n est de nouveau quelconque. Démontrer que ∀x ∈ [−1, 1], |Tn (x)| ≤ 1
c) Démontrer que |Tn (x)| = 1 ssi il existe k, 0 ≤ k ≤ n tel que x = xk avec xk = cos( kπ
)
n
1
1
d) En déduire que sup( 2n−1
|Tn (x)| , −1 ≤ x ≤ 1) = 2n−1
, et que ce sup est atteint aux n + 1
points xk ,0 ≤ k ≤ n
e) On considère alors le polynôme P unitaire de degré n introduit plus haut , et l’on suppose que
1
sup(|P (x)| , −1 ≤ x ≤ 1) < 2n−1
1
Montrer en évaluant le polynôme 2n−1
Tn − P aux n + 1 points xk+ 0 ≤ k ≤ n, que le polynôme
1
T − P admet au moins n racines distinctes dans [−1, 1].
2n−1 n
f) En déduire une contradiction, puis énoncer ce qui vient d’être démontré.
g) Vérifier votre résultat pour P (x) = x3 − x
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