TD 2 REVISIONS SUR LES POLYNÔMES et compilation des sujets

TD 2
REVISIONS SUR LES POLYNÔMES
et compilation des sujets classiques sur les polynômes de Tchebichev
Dans tout ce TD on considère la suite (T
n
)
n∈N
de polynômes de R[X]définie par
T
0
= 1; T
1
=Xet ∀n∈N, T
n+2
= 2XT
n+1
−T
n
I Le degré, les coefficients , le coefficient dominant
Rappeler ce que l’on appelle degré d’un polynôme.
a) Quel est le degré de T
n
., le coefficient dominant de T
n
?
b) Quel est le coefficient constant de T
n
?
c) Démontrer que le polynôme T
n
est à coefficients entiers relatifs.
d) Déterminer la parité de la fonction réelle x→T
n
(x).. Que peut on en déduire quant aux coeffi-
cients de T
n
?
II Les racines
Rappeler la définition d’une racine pour un polynôme P. Donner les théorèmes généraux à votre dis-
position concernant les racines complexes d’un polynôme de C[X] : existence , nombre de racines
, lien avec le degré , factorisation , ordre de multiplicité, lien avec la dérivation. Même question
pour les polynômes de R[X],en distinguant le cas des racines reélles et complexes.
a) Démontrer que pour tout réel θ, et pour tout entier naturel n, T
n
(cos θ) = cos(nθ)
b) En déduire la valeur exacte des coefficients de T
n
en fonction de nà l’aide de la formule de
Moivre
c) Déterminer toutes les racines du polynôme T
n
, et montrer qu’elles sont réelles et appartiennent
toutes à l’intervalle [−1,1].
d) Montrer la formule suivante :
∀x∈R,∀n∈N, T
n
(x) = 2
n−1
n
k=1
(x−cos(
(2k−1)π
2n
))
III Relations coefficients racines
Soit P=
n
k=0
a
k
X
k
un polynôme de degré nde C[X]admettant nracines α
1
, ..., α
n
Rappeler la valeur des nombres suivants : σ
1
=
n
k=1
α
k
, σ
n
= Π
n
k=1
α
k
; comment démontre t’on
ce résultat?
En déduire la valeur des réels suivants : 
n
k=1
cos(
(2k−1)π
2n
),Π
n−1
k=0
cos(
(2k−1)π
2n
)
IV Arithmétique dans K[X]
Rappeler la définition du Pgcd Dde deux polynômes A, B. Même question pour le Ppcm M. Par
quelle Méthode obtient-on ce Pgcd dans le cas général (Méthode 1)
Comment obtient-on ce Pgcd lorsque Aet Bsont dans C[X]et que l’on connait leurs racines
respectives (Méthode 2)
a) Déterminer le Pgcd des polynômes T
n
et T
n+1
en remarquant que tout polynôme divisant à la
fois T
n+1
et T
n+2
divise nécéssairement T
n
lycée Dessaignes 2007-2008

b) Déterminer le Pgcd de T
6
et de T
10
par la méthode 2
c) Montrer qu’il existe une suite de polynômes (A
n
)et une suite de polynômes (B
n
)de R[X]telles
que
∀n∈N,1 = A
n
T
n
+B
n
T
n+1
,
d) On admet que l’on peut obtenir A
n
et B
n
tels que deg(A
n
)≤net deg(B
n
)≤n−1.Montrer
qu’alors A
n
et B
n
sont uniques
e) Montrer que pour tout entier naturel n, on peut trouver un polynôme Q
n
,dont on précisera le
degré et le coefficient de plus haut degré , tel que
∀θ∈R,sin(nθ) = sin(θ)Q
n
(cos(θ))
pour celà on pourra exprimer sin((n+ 1)θ)en fonction de sin(nθ ) ,sin θ, cos(nθ)et cos θ
préciser Q
0
, Q
1
, Q
2
, Q
3
f) Montrer que ∀n∈N, A
n
=Q
n+1
et B
n
=−Q
n
V Un résultat classique concernant les polynômes unitaires
Un polynôme est dit unitaire ssi son coefficient dominant est égal à 1.Soit Pun polynôme unitaire
de R
n
[X]( donc de de degré n≥1).On veut prouver que
sup(|P(x)|,−1≤x≤1) ≥
1
2
n−1
a)On veut vérifier ce résultat pour n= 1.On pose ainsi P(x) = x+a.
Tracer le graphe de la fonction : a→sup(|−1 + a|,|1 + a|.pour −1≤a≤1
Conclure
b) nest de nouveau quelconque. Démontrer que ∀x∈[−1,1],|T
n
(x)| ≤ 1
c) Démontrer que |T
n
(x)|= 1 ssi il existe k, 0≤k≤ntel que x=x
k
avec x
k
= cos(
kπ
n
)
d) En déduire que sup(
1
2
n−1
|T
n
(x)|,−1≤x≤1) =
1
2
n−1
, et que ce sup est atteint aux n+ 1
points x
k
,0≤k≤n
e) On considère alors le polynôme Punitaire de degré nintroduit plus haut , et l’on suppose que
sup(|P(x)|,−1≤x≤1) <
1
2
n−1
Montrer en évaluant le polynôme
1
2
n−1
T
n
−Paux n+ 1 points x
k+
0≤k≤n, que le polynôme
1
2
n−1
T
n
−Padmet au moins nracines distinctes dans [−1,1].
f) En déduire une contradiction, puis énoncer ce qui vient d’être démontré.
g) Vérifier votre résultat pour P(x) = x
3
−x
lycée Dessaignes 2007-2008