N.B : Le Seul Document Autorisé est la Table de la loi normale

Enseignant du cours : S .Abdelmounim
18/06/2014
Examen final en <<probabilité et statistique>>
Durée : 2 heures
N.B : Le Seul Document Autorisé est la Table de la loi normale
Exercice I(5pts) : on donne dans le tableau ci-joint les primes de fin d’année dans une entreprise :
Primes (centaines)
Effectifs
0; 6
41
6 ; 10
79
10 ; 14
78
14 ; 16
2
1-Quelle est la population étudiée.
2-Quel est le caractère étudié.
3-Quelle est la nature du caractère.
4- Pourquoi a-t-on regroupé les primes en classe.
5-Déterminer la moyenne.
6-Déterminer l’écart-type.
7-Tracer la courbe de fréquences cumulées ainsi que la fonction de répartition du caractère étudié.
Exercice II (4pts) :
Un service étudie la mise en boite de petite poids .le poids annoncé est de 500 g ,on décide qu’une boite est male remplie
si elle pèse moins de 485 g . On admet que la variable aléatoire X qui a chaque boite, associe son poids en gramme, suit
une loi normale d’espérance 500 g et d’écart-type est égale à 12 g.
(On utilisera la table de la loi normale fournie en annexe)
a-
Calculer la probabilité qu’une boit soit mal remplie.
b- Calculer la probabilité 𝑃 491 < 𝑋 < 518 .
c-
Déterminer h tel que 𝑃 500 − ℎ < 𝑋 < 500 + ℎ .
Exercice III (4pts):l’échantillonnage
Une usine produit n type de composantes électronique. La durée de vie des composantes d’un échantillon de 100
composants pris au hasard est donnée dans le tableau suivant :
Durée de vie (en h)
Effectifs
1800
10
1900
40
2000
30
2100
20
1-calculer la moyenne et l’écart-type des durées de vie des composantes.
2-en déduire un intervalle de confiance à 95 % de la durée moyenne des composants.
3-donner une interprétation du résultat.
4 -Sans changer la taille de l’échantillon, sur quel paramètre peut-on agir pour réduire l’amplitude de l’intervalle de
confiance ???
Enseignant du cours : S .Abdelmounim
18/06/2014
Problème (7pts): Productique textile
Dans un atelier une machine découpe des pièces circulaires de fibres textiles destiné a la mécanique de précision.
La probabilité qu’une pièce soit défectueuse est 0 ,06
Dans un lot contenant un très grand nombre de pièces, on effectue un contrôle sur n article choisie au hasard avec
remise. On appelle X la variable aléatoire qui associe à un tél échantillon de n articles le nombre de pièces défectueuse
Travail a faire :
1-pour
n=5
a-quelle est la loi de probabilité de X
b-quelle est la probabilité que l’on ait exactement une pièce défectueuse dans un tél échantillon ?
c-quelle est la probabilité que l’on ait au plus deux pièces défectueuses dans un tél échantillon ?
2-
dans ce cas là n=50
On suppose que la loi X peut être approchée par une loi de poisson dont on déterminera le paramètre
a) Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucune pièce défectueuse dans un tel échantillon ?
b) Quelle est la probabilité qu'il y ait strictement moins de 5 pièces défectueuses dans un
échantillon ?
c) Quelle est la probabilité qu'il y ait strictement plus de 5 pièces défectueuses dans un échantillon ?
On donnera tous les résultats approchés à 𝟏𝟎−𝟑 près.
Rappel : la densité de probabilité de la loi normale est définie comme suit :
𝟏 𝒙−𝒎 𝟐
𝝈
𝟏
∗ 𝒆−𝟐
𝝈√𝟐𝝅
𝒇 𝒙 =
𝟏
∗𝒆
√𝟐𝝅
−𝒙𝟐
𝟐
𝒊𝒇: 𝒎 ≠ 𝟎 𝒆𝒕 𝒎 ≠ 1.
𝒆𝒍𝒔𝒆 .
 Bonne chance