Le cosinus - Mathovore

Vers le COSINUS d'un ANGLE aigu
n
x
Oy étant un angle aigu, mène par les points A,B,C,D les perpendiculaires à la demi-droite [Ox).
Elles coupent la demi-droite [Ox) respectivement en E,F,G,H.
Mène par les points I,J,K,L les perpendiculaires à la demi-droite [Oy); elles coupent [Oy) en M,N,P,Q.
Après avoir effectué les mesures nécessaires, complète le tableau suivant et calcule les quotients (à 0,01 près):
OA OB OC OD AB AC BD OI OJ OK OL IJ IK JL
OE OF OG OH EF EG FH OM ON OP OQ MN MP NQ
OE
OA OF
OB OG
OC OH OD EF AB EG AC FH BD OM OI ON OJ OP
OK OQ
OL MN IJ MP IK NQ
JL
Que peux-tu remarquer?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LE COSINUS D’UN ANGLE AIGU
n - Définition
Étant donné un angle aigu , de mesure α.
n
xOy
Par un point A de [Ox), on mène la perpendiculaire au côté [Oy) de l’angle.
Cette perpendiculaire coupe [Oy) en H.
On appelle cosinus de l’angle
α
O
x
y
A
H
n
xOy
, noté
n
cosxOy
ou cos
α
, le quotient
OH
OA
n
OH
cosxOy OA =
Ce quotient ne dépend pas de la position du point A (même si A est sur le côté [Oy) et H sur [Ox).
Remarque :
cos 1α<
car OH OA
<
(OH est la plus courte distance de O à (AH))
- Utilisation de la calculatrice o
Lecture d’un cosinus :
La valeur d’un cosinus est indiquée par la fonction cos
Exemple :
a calculatrice étant en mode « degré », L
50 cos ou cos 50 indique : 0,64278761 qui est une valeur approchée de ce cosinus.
n général, la valeur utilisée est donnée avec trois chiffres après la virgule, soit, pour cet exemple :
Recherche d’un angle dont on connaît le cosinus :
La valeur de l’angle est indiquée par la fonction
Ecos50 0,643°≈
1
cos
−
ou INV cos ou 2nd cos

Exemple :
La calculatrice étant en mode « degré »,
50°
EF
G
7 cm
On donne
3
cosα=
les manipulations indiquées ci-dessus (d
7
ifférentes selon le modèle de calculatrice)
ication : 64,
Remarques :
C’est le cas où : OH = OA (A et H étant confondus)
C’est le cas où : OH = 0 (H et O étant confondus)
- Cosinus d’un angle du triangle rectangle
donnent l’ind 62306647
On obtient donc : 64,6α≈ °
cos0 1°=
cos90 0°=
p
En considérant le triangle rectangle OAH vu plus haut, on remarque que OH est un côté de l’angle droit (celui qui
Le cosinus d’un angle d’un triangle rectangle est le quotient du côté adjacent à cet angle et de l’hypoténuse.
est un côté de l’angle α) et que OA est l’hypoténuse.
l
C
osCcAC
B
=
l
C
osBcAB
B
=
- Utilité du cosinus p
Il complète la propriété de Pythagore en permettant le calcul d’un côté ou d’un angle d’un triangle rectangle.
Recherche d’un côté de l’angle droit
EFG est un triangle rectangle en E ; on sait que :
F50
=
° et FG 7 cm
=
.
EF
cosF =
FG
EF
cos50 7
°=
EF 7 cos50=× °
EF 4,5 cm≈
A
B
C

25°
MN
P
Recherche de l’hypoténuse
MNP est un triangle rectangle en M ; on sait que :
l
N25
=
° et MN 4,5 cm
=
.
l
MN
cos N NP
=
4,5
cos25 NP
°=
4,5
NP cos25
=°
NP 5 cm≈
Recherche d’un angle
ABC est un triangle rectangle en A ; on sait que : AC = 3 cm et
7 cm
C
4 cm
AB
BC = 7 cm.
l
AC
cosC =BC
l
4
cosC 7
=
l
C55š
l
l
B 90 C 90 55 35=°−≈°−°=°
Par conséquent :
Cos 60°
On considère un triangle ABC équilatéral dont le côté mesure a.
x à 60°
n trouve le cosinus de 60° en calculant, par exemple, le cosinus
B
[AH] est une hauteur de ce triangle.
A
C
H
60°
60°60°
Les angles du triangle ABC sont égau
O
de l’angle
l
B du triangle rectangle ABH.
l
BH
cosB AB
=
1
22
aa
a
cos 0 a 6°= = ×
on simplifie par a
1
cos60 2 °=
appel : égalités équivalentes (utiles pour les calculs de ce chapitre) R
b
aa
a
b
xx x b=⇔= ⇔=
comme :
3322 626
3
6
×= ⇔ = ⇔ =

COSINUS d’un ANGLE AIGU
n - Mesures de cosinus
Le quart de cercle
représenté ci-contre
est de rayon 1.(1dm).
Il s’agit de mesurer
les cosinus des angles
représentés.
Exemple : fOF = 50°
cos 50° =
Of
1
Of
OF
Of ==
Il suffit donc de mesurer [Of] pour
connaître une valeur approchée
du cosinus de 50°.
Tu peux vérifier ces valeurs en utilisant
ta calculatrice (cosinus « machine »)
Mesure de l’angle 50°
Mesure du cosinus 0,65
Cosinus « machine » 0,643
o - ABC étant un triangle rectangle en A, complète le formulaire puis le tableau numérique :
B + C = . . . . . . . . cos B . . . . . . . . . donc :
=
AB . . . . . . . . et : . . . . . . . .
=BC
. . . . . . cos
=+ 22 ACAB
C . . . . . . . . . donc :
=
AC
. . . . . . . . et : . . . . . . . .
=BC
B60° 50°
cos B
C 45° 38°
cos C
AB 4 2 8
BC 6 8
AC 15