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CHAPITRE XII
Trigonométrie
Objectifs du Chapitre
1 Calculer une longueur à l'aide du cosinus d'un angle
2 Calculer la mesure d’un angle à partir de son cosinus
3 Savoir organiser un calcul à la machine (cos)
1) Vocabulaire
Dans un triangle rectangle, lorsqu’on se place du point de vue
d’un des deux angles aigus, on appelle :
Hypoténuse le côté le plus long,
Côté adjacent (à l’angle) le côté qui porte l’angle,
Côté opposé (à l’angle) le troisième côté.
Remarque :
Le côté adjacent d’un angle aigu est le côté opposé de son complémentaire !
2) Cosinus d’un angle aigu
Dans un triangle rectangle, on appelle cosinus d’un angle aigu le quotient de la longueur du côté adjacent à
l’angle par la longueur de l’hypoténuse.
Dans la figure du 1, on a donc :
()
AB
cos Aˆ =
AC
et
()
CB
cos Cˆ =
CA
Remarques :
Le cosinus d’un angle droit ou obtus n’est pas défini en 4ème.
Le cosinus d’un angle est un rapport, il n’a donc pas d’unité.
Les longueurs des côtés d’un triangle étant des distances, le cosinus d’un angle est strictement positif.
L’hypoténuse étant toujours le côté le plus long, le cosinus d’un angle est strictement inférieur à 1.
3) Applications du cosinus
a) Calcul de la longueur d’un côté
On peut calculer la longueur d’un côté d’un angle si on connaît la mesure de l’angle et du 2nde côté de l’angle.
Soit le triangle WXY, rectangle en W. Calculez XW à l’aide des données suivantes : XY = 5 cm et
( )
( )
X̂ = 53° .
XW
On sait que cos Xˆ =
. Donc par produit en croix, il vient que XW = XY × cos Xˆ .
XY
Or la calculatrice nous donne que cos(53°) ≈ 0,60 . Donc XW = 5 × 0,60 ≈ 3 cm .
b) Calcul de la mesure d’un angle
On peut calculer la mesure d’un angle si on connaît les longueurs des deux côtés de l’angle.
Soit le triangle WXY, rectangle en W. Calculez
On sait que
()
Yˆ à l’aide des données suivantes : YX = 5 cm et YW = 4 cm.
YW 4
cos Yˆ =
= = 0,8 . Par la touche inverse de c, la calculatrice nous donne que Yˆ ≈ 37° .
YX 5
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Chapitre 12 : Trigonométrie
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4èmes Ozar Hatorah 2011-2012