Séries Numériques

Chapitre 1
Séries Numériques
1.1 Suites Numériques
1.1.1 Définitions
Une suite numérique est une application de N(ou d’une partie de N) à valeurs
dans Rou dans C.
On la note n→u(n),ou n→un,et on désigne la suite (c’est-à-dire l’applica-
tion) par (un)n∈N.
Suite convergente La suite numérique (un)n∈Nest convergente s’il existe L,
appartenant à Rou Ctel que :
∀ǫ > 0,∃N∈N/ n >N=⇒ |un−L|< ǫ.
Une suite non convergente est dite divergente.
Dans le cas où (un)n∈Nest une suite complexe, et Lun nombre complexe,
|un−L|désigne le module de un−Let non plus sa valeur absolue.
On appelle Lla limite de la suite et on note : lim
n→+∞un=L.
Limites infinies (un)n∈Nétant une suite réelle :
lim
n→+∞un= +∞ ⇐⇒ ∀A > 0,∃N∈N/ n > N =⇒un> A.
La définition est analogue pour une limite égale à −∞.
Remarque 1.1.Une suite qui tend vers l’infini est divergente. Convergent sous-
entend dans Rou dans C.
Interprétation graphique : Dans le cas d’une suite réelle qui admet une
limite finie, la condition signifie que pour tout réel ǫstrictement positif, l’inter-
valle ]L−ǫ, L +ǫ[contient tous les termes de la suite, sauf (éventuellement) un
nombre fini.
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Dans le cas d’une suite complexe, c’est le disque de centre Let de rayon ǫqui
contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini.
Dans le cas d’une suite réelle qui tend vers +∞,on remplace l’intervalle ]L−ǫ, L +ǫ[
par l’intervalle ]A, +∞[et dans le cas d’une suite réelle de limite −∞ par l’in-
tervalle ]−∞, A[.
Exemple 1.1. Une suite peut être définie explicitement, par exemple par :
un=n−1
n+1 ,pour tout nappartenant à N.
Exemple 1.2. On peut aussi définir une suite par récurrence :
On donne alors un ou plusieurs termes initiaux et une relation de récurrence
définissant unà partir du ou des termes précédents.
Par exemple :
–u0= 1 et pour tout nappartenant à N, un+1 = sin (un).
Plus généralement, si fest une fonction de Rdans R,on peut définir une suite
par la donnée de u0et de la relation de récurrence un+1 =f(un).
Dans ce cas la valeur de unest donnée par le terme précédent uniquement, on
dit qu’on a une récurrence d’ordre 1.
– Autre exemple :
u0= 0, u1= 1 et un=un−1+un−2,pour tout nsupérieur ou égal à 2.
De manière plus générale, si fest une fonction de R2dans R,on peut définir
une suite en donnant u0, u1et la relation de récurrence un+2 =f(un+1, un),
pour tout nappartenant à N.
Dans l’exemple précédent la fonction fest linéaire de R2dans R,on dira donc
que la suite est définie par une relation de récurrence linéaire d’ordre 2.
On peut aussi définir une suite par une relation de récurrence linéaire d’ordre
p:α0, α1,...,αp−1étant préels fixés, la suite est définie par la donnée de p
réels u0,...,up−1et la relation de récurrence :
un+p=αp−1un+p−1+αp−2un+p−2+···+α0un,pour tout nappartenant à N.
Exemple 1.3. Une suite peut aussi être définie implicitement, par exemple :
On définit la fonction fn,de Rdans R,par :
fn(x) = xn−nx + 1.
Montrer que, pour tout entier naturel nsupérieur ou égal à 3, l’équation fn(x) =
0admet une unique solution xndans l’intervalle ]0,1[.
On définit ainsi une suite (xn)n≥3.
On peut aussi rencontrer des suites définies de manière plus exotique, par
exemple : unest l’exposant de 2 dans la décomposition de nen produit de
facteurs premiers....

CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES 11
1.1.2 Propriétés
1.1.2.1 Rappel des principales propriétés vues en Sup
On se contente de rappeler ici les principales propriétés des limites des suites
numériques, sans démonstration, il s’agit simplement de vous inviter à relire
votre cours de sup.
– La limite d’une suite, si elle existe, est unique.
– Toute suite convergente est bornée.
– L’ensemble des suites numériques peut être muni d’une structure d’espace
vectoriel et d’un produit interne.
La somme ou le produit de deux suites convergentes est une suite conver-
gente, qui a pour limite la somme, ou le produit, des limites.
– Si une suite admet une limite finie non nulle, il existe un indice au-delà
duquel elle n’est jamais nulle. On peut alors définir une suite inverse, qui
est convergente et a pour limite l’inverse de la limite.
On peut énoncer le même résultat pour un quotient de suites, et l’étendre
dans certains cas aux limites nulles ou infinies, les cas dans lesquels on ne
peut rien dire étant les célèbres formes indéterminées.
– Toute suite de réels croissante et majorée (ou décroissante et minorée) est
convergente.
1.1.2.2 Suites extraites
Définition 1.1. Soit (un)n∈Nune suite numérique et φune application stric-
tement croissante de Ndans N.On appelle suite extraite de la suite (un)n∈Nla
suite uφ(n)n∈N.
Remarques :
Remarque 1.2.Dans une suite extraite il n’y a pas de répétition de termes, ainsi
la suite u3, u3, u5, u5, u7, u7, . . . , u2n+1, u2n+1,... n’est pas une suite extraite
de la suite (un)n∈N.
Remarque 1.3.Dans une suite extraite, l’ordre des termes est respecté, ainsi la
suite : u1, u0, u3, u2,..., u2n+1, u2n,... n’est pas une suite extraite de la suite
(un)n∈N.
Exemple 1.4. (u2n)n∈N,(u2n+1)n∈N,(un!)n∈N,(u2n)n∈Nsont des suites ex-
traites de la suite (un)n∈N.
Proposition 1.1. Toute suite extraite d’une suite convergente est convergente,
vers la même limite.
Remarque 1.4.Ce résultat est souvent efficace pour montrer qu’une suite ne
converge pas.
Exemple 1.5.un= (−1)n.La suite extraite des termes de rang pair est constante
égale à 1, donc converge vers 1, la suite extraite des termes de rang impair est

CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES 12
constante égale à -1, donc converge vers -1, donc la suite ne peut être conver-
gente.
Suites extraites complémentaires :
Définition 1.2. psuites extraites uφ1(n)n∈N,uφ2(n)n∈N,...,uφp(n)n∈N
de la suite (un)n∈Nsont dites complémentaires si :
{φ1(n), n ∈N} ∪ {φ2(n), n ∈N}∪ ··· ∪ {φp(n), n ∈N}=N.
Théorème 1.1. Si psuites extraites complémentaires d’une suite (un)n∈Nconvergent
vers la même limite L(réelle, complexe ou infinie), alors la suite (un)n∈N
converge vers L.
Démonstration. Nous allons la faire pour une limite finie, réelle ou complexe, le
cas des limites infinies est laissé aux bons soins du lecteur.
Soit ǫun réel strictement positif, il existe des entiers N1,...,Nptels que :
n > Ni⇒uφi(n)−L< ǫ.
On pose alors N= max (φ1(N1), φ2(N2),...,φp(Np)) .
Soit nun entier supérieur à N.
Les suites extraites étant complémentaires, il existe deux entiers iet n′tels que
n=φi(n′). φi(n′) = n > N >φi(Ni),donc, φiétant strictement croissante,
n′> Ni,ce qui entraîne uφi(n′)−L< ǫ, donc n > N entraîne |un−L|< ǫ, ce
qui donne la convergence de la suite (un)n∈Nvers L.
Exercice 1.1. Ecrire le théorème dans la cas particulier des suites extraites
des termes de rang pair et de rang impair et faire la démonstration dans ce cas
particulier.
Théorème 1.2 (de Bolzano-Wierstrass).De toute suite bornée on peut extraire
une suite convergente.
Démonstration. Soit (xn)n∈Nune suite bornée de réels.
On pose An={xk, k >n}. Anest un sous-ensemble non vide et majoré de R,
donc admet une borne supérieure.
On pose an= sup An.
Si n>p, Anest contenu dans Ap,donc sup An6sup Ap,c’est-à-dire an6ap,
la suite (an)n∈Nest donc décroissante. Elle est d’autre part minorée (puisque
la suite (xn)n∈Nest bornée) donc elle est convergente, vers un réel L. On va
construire une suite extraite de la suite (xn)n∈N,convergente vers L.
On pose ǫ= 1.∃N∈Ntel que n>N⇒L6an6L+ 1.On fixe une telle
valeur de n. anétant la borne supérieure de An,il existe un élément xkde An
tel que : an−16xk6an(on exprime que anest le plus petit des majorants).
On en déduit : L−16xk6L+ 1,donc |xk−L|61.
On désigne par n1une telle valeur de k, xn1sera le premier terme de la suite
extraite.
On recommence avec ǫ=1
2:∃N∈N/ n >N⇒L6an6L+1 2.

CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES 13
On choisit une telle valeur de n, en imposant en plus la contrainte n > n1(ce
qui est possible parce que la condition est vérifiée pour tout n>N).
anétant la borne supérieure de An,il existe xkappartenant à Antel que :
an−1
26xk6an+1 2.On en déduit : L−1 26xk6L+1 2,ce qui est équivalent
à : |xk−L|61
2.On pose n2égal à l’un de ces entiers k, xn2sera le deuxième
terme de la suite extraite.
On suppose construits les termes xn1, xn2,...,xnptels que :
xnp−L61
p.
On pose alors ǫ=1
p+1 .
∃N∈N/ n >N⇒L6an6L+1
p+1 .On choisit une telle valeur de n, en
imposant la contrainte supplémentaire n > np.Il existe un élément xkde An,
(ce qui entraîne k > np) tel que : an−1
p+1 6xk6an+1 p+1 ,ce qui entraîne :
L−1
p+1 6xk6L+1 p+1 ,qui est équivalent à : |xk−L|61 p+1 .On pose np+1
égal à l’un des entiers k. On a ainsi montré par récurrence l’existence d’une suite
extraite xnpp∈Ntelle que xnp−L61
p.
Dans ces conditions, la suite xnpp∈Nconverge vers L. On a donc prouvé l’exis-
tence d’une suite extraite convergente de la suite (xn)n∈N.
EXERCICES
Exercice 1.2. Déterminer, si elles existent, les limites des suites de termes
généraux :
1. 3n
√2−2n
√3n.
2. 5n−2n
4n−3n.
3. ein
n.
4. 1
n!
n
P
p=1
p!.
5. √n+ 1 −√n.
Exercice 1.3. Etudier la suite définie par : u0réel fixé supérieur ou égal à −3
2
et la relation de récurrence : un+1 =√2un+ 3.
Exercice 1.4. Etudier la suite définie par : u0réel strictement positif fixé et la
relation de récurrence : un+1 = 1 + 1
un.