Séries Numériques

Chapitre 1
Séries Numériques
1.1
1.1.1
Suites Numériques
Définitions
Une suite numérique est une application de N (ou d’une partie de N) à valeurs
dans R ou dans C.
On la note n → u(n), ou n → un , et on désigne la suite (c’est-à-dire l’application) par (un )n∈N .
Suite convergente La suite numérique (un )n∈N est convergente s’il existe L,
appartenant à R ou C tel que :
∀ǫ > 0, ∃N ∈ N / n > N =⇒ |un − L| < ǫ.
Une suite non convergente est dite divergente.
Dans le cas où (un )n∈N est une suite complexe, et L un nombre complexe,
|un − L| désigne le module de un − L et non plus sa valeur absolue.
On appelle L la limite de la suite et on note : lim un = L.
n→+∞
Limites infinies (un )n∈N étant une suite réelle :
lim un = +∞ ⇐⇒ ∀A > 0, ∃N ∈ N / n > N =⇒ un > A.
n→+∞
La définition est analogue pour une limite égale à −∞.
Remarque 1.1. Une suite qui tend vers l’infini est divergente. Convergent sousentend dans R ou dans C.
Interprétation graphique : Dans le cas d’une suite réelle qui admet une
limite finie, la condition signifie que pour tout réel ǫ strictement positif, l’intervalle ]L − ǫ, L + ǫ[ contient tous les termes de la suite, sauf (éventuellement) un
nombre fini.
9
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
10
Dans le cas d’une suite complexe, c’est le disque de centre L et de rayon ǫ qui
contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini.
Dans le cas d’une suite réelle qui tend vers +∞, on remplace l’intervalle ]L − ǫ, L + ǫ[
par l’intervalle ]A, +∞[ et dans le cas d’une suite réelle de limite −∞ par l’intervalle ]−∞, A[ .
Exemple 1.1. Une suite peut être définie explicitement, par exemple par :
un = n−1
n+1 , pour tout n appartenant à N.
Exemple 1.2. On peut aussi définir une suite par récurrence :
On donne alors un ou plusieurs termes initiaux et une relation de récurrence
définissant un à partir du ou des termes précédents.
Par exemple :
– u0 = 1 et pour tout n appartenant à N, un+1 = sin (un ) .
Plus généralement, si f est une fonction de R dans R, on peut définir une suite
par la donnée de u0 et de la relation de récurrence un+1 = f (un ) .
Dans ce cas la valeur de un est donnée par le terme précédent uniquement, on
dit qu’on a une récurrence d’ordre 1.
– Autre exemple :
u0 = 0, u1 = 1 et un = un−1 + un−2 , pour tout n supérieur ou égal à 2.
De manière plus générale, si f est une fonction de R2 dans R, on peut définir
une suite en donnant u0 , u1 et la relation de récurrence un+2 = f (un+1 , un ) ,
pour tout n appartenant à N.
Dans l’exemple précédent la fonction f est linéaire de R2 dans R, on dira donc
que la suite est définie par une relation de récurrence linéaire d’ordre 2.
On peut aussi définir une suite par une relation de récurrence linéaire d’ordre
p : α0 , α1 , . . . , αp−1 étant p réels fixés, la suite est définie par la donnée de p
réels u0 , . . . , up−1 et la relation de récurrence :
un+p = αp−1 un+p−1 + αp−2 un+p−2 + · · · + α0 un , pour tout n appartenant à N.
Exemple 1.3. Une suite peut aussi être définie implicitement, par exemple :
On définit la fonction fn , de R dans R, par :
fn (x) = xn − nx + 1.
Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, l’équation fn (x) =
0 admet une unique solution xn dans l’intervalle ]0, 1[.
On définit ainsi une suite (xn )n≥3 .
On peut aussi rencontrer des suites définies de manière plus exotique, par
exemple : un est l’exposant de 2 dans la décomposition de n en produit de
facteurs premiers....
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
1.1.2
Propriétés
1.1.2.1
Rappel des principales propriétés vues en Sup
11
On se contente de rappeler ici les principales propriétés des limites des suites
numériques, sans démonstration, il s’agit simplement de vous inviter à relire
votre cours de sup.
– La limite d’une suite, si elle existe, est unique.
– Toute suite convergente est bornée.
– L’ensemble des suites numériques peut être muni d’une structure d’espace
vectoriel et d’un produit interne.
La somme ou le produit de deux suites convergentes est une suite convergente, qui a pour limite la somme, ou le produit, des limites.
– Si une suite admet une limite finie non nulle, il existe un indice au-delà
duquel elle n’est jamais nulle. On peut alors définir une suite inverse, qui
est convergente et a pour limite l’inverse de la limite.
On peut énoncer le même résultat pour un quotient de suites, et l’étendre
dans certains cas aux limites nulles ou infinies, les cas dans lesquels on ne
peut rien dire étant les célèbres formes indéterminées.
– Toute suite de réels croissante et majorée (ou décroissante et minorée) est
convergente.
1.1.2.2
Suites extraites
Définition 1.1. Soit (un )n∈N une suite numérique et φ une application strictement croissante
de N dans N. On appelle suite extraite de la suite (un )n∈N la
suite uφ(n) n∈N .
Remarques :
Remarque 1.2. Dans une suite extraite il n’y a pas de répétition de termes, ainsi
la suite u3 , u3 , u5 , u5 , u7 , u7 , . . . , u2n+1 , u2n+1 , . . . n’est pas une suite extraite
de la suite (un )n∈N .
Remarque 1.3. Dans une suite extraite, l’ordre des termes est respecté, ainsi la
suite : u1 , u0 , u3 , u2 , . . . , u2n+1 , u2n , . . . n’est pas une suite extraite de la suite
(un )n∈N .
Exemple 1.4. (u2n )n∈N , (u2n+1 )n∈N , (un! )n∈N , (u2n )n∈N sont des suites extraites de la suite (un )n∈N .
Proposition 1.1. Toute suite extraite d’une suite convergente est convergente,
vers la même limite.
Remarque 1.4. Ce résultat est souvent efficace pour montrer qu’une suite ne
converge pas.
Exemple 1.5. un = (−1)n . La suite extraite des termes de rang pair est constante
égale à 1, donc converge vers 1, la suite extraite des termes de rang impair est
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
12
constante égale à -1, donc converge vers -1, donc la suite ne peut être convergente.
Suites extraites complémentaires :
Définition 1.2. p suites extraites uφ1 (n) n∈N , uφ2 (n) n∈N , . . . , uφp (n) n∈N
de la suite (un )n∈N sont dites complémentaires si :
{φ1 (n), n ∈ N} ∪ {φ2 (n), n ∈ N} ∪ · · · ∪ {φp (n), n ∈ N} = N.
Théorème 1.1. Si p suites extraites complémentaires d’une suite (un )n∈N convergent
vers la même limite L (réelle, complexe ou infinie), alors la suite (un )n∈N
converge vers L.
Démonstration. Nous allons la faire pour une limite finie, réelle ou complexe, le
cas des limites infinies est laissé aux bons soins du lecteur.
Soit ǫ un réel strictement
positif, il existe des entiers N1 , . . . , Np tels que :
n > Ni ⇒ uφi (n) − L < ǫ.
On pose alors N = max (φ1 (N1 ) , φ2 (N2 ) , . . . , φp (Np )) .
Soit n un entier supérieur à N.
Les suites extraites étant complémentaires, il existe deux entiers i et n′ tels que
n = φi (n′ ). φi (n′ ) = n >
N > φi (N
i ) , donc, φi étant strictement croissante,
n′ > Ni , ce qui entraîne uφi (n′ ) − L < ǫ, donc n > N entraîne |un − L| < ǫ, ce
qui donne la convergence de la suite (un )n∈N vers L.
Exercice 1.1. Ecrire le théorème dans la cas particulier des suites extraites
des termes de rang pair et de rang impair et faire la démonstration dans ce cas
particulier.
Théorème 1.2 (de Bolzano-Wierstrass). De toute suite bornée on peut extraire
une suite convergente.
Démonstration. Soit (xn )n∈N une suite bornée de réels.
On pose An = {xk , k > n} . An est un sous-ensemble non vide et majoré de R,
donc admet une borne supérieure.
On pose an = sup An .
Si n > p, An est contenu dans Ap , donc sup An 6 sup Ap , c’est-à-dire an 6 ap ,
la suite (an )n∈N est donc décroissante. Elle est d’autre part minorée (puisque
la suite (xn )n∈N est bornée) donc elle est convergente, vers un réel L. On va
construire une suite extraite de la suite (xn )n∈N , convergente vers L.
On pose ǫ = 1. ∃N ∈ N tel que n > N ⇒ L 6 an 6 L + 1. On fixe une telle
valeur de n. an étant la borne supérieure de An , il existe un élément xk de An
tel que : an − 1 6 xk 6 an (on exprime que an est le plus petit des majorants).
On en déduit : L − 1 6 xk 6 L + 1, donc |xk − L| 6 1.
On désigne par n1 une telle valeur de k, xn1 sera le premier terme de la suite
extraite.
On recommence avec ǫ = 21 : ∃N ∈ N / n > N ⇒ L 6 an 6 L + 12 .
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
13
On choisit une telle valeur de n, en imposant en plus la contrainte n > n1 (ce
qui est possible parce que la condition est vérifiée pour tout n > N ).
an étant la borne supérieure de An , il existe xk appartenant à An tel que :
an − 12 6 xk 6 an + 21 . On en déduit : L − 12 6 xk 6 L + 21 , ce qui est équivalent
à : |xk − L| 6 21 . On pose n2 égal à l’un de ces entiers k, xn2 sera le deuxième
terme de la suite extraite.
On suppose construits les termes xn1 , xn2 , . . . , xnp tels que :
xnp − L 6 1 .
p
1
On pose alors ǫ = p+1
.
1
. On choisit une telle valeur de n, en
∃N ∈ N / n > N ⇒ L 6 an 6 L + p+1
imposant la contrainte supplémentaire n > np . Il existe un élément xk de An ,
1
1
6 xk 6 an + p+1
, ce qui entraîne :
(ce qui entraîne k > np ) tel que : an − p+1
1
1
1
L − p+1 6 xk 6 L + p+1 , qui est équivalent à : |xk − L| 6 p+1
. On pose np+1
égal à l’un des entiers k. On a ainsi montré
par
récurrence
l’existence
d’une suite
extraite xnp p∈N telle que xnp − L 6 p1 .
Dans ces conditions, la suite xnp p∈N converge vers L. On a donc prouvé l’existence d’une suite extraite convergente de la suite (xn )n∈N .
EXERCICES
Exercice 1.2. Déterminer, si elles existent, les limites des suites de termes
généraux :
√ n
√
1. 3 n 2 − 2 n 3 .
2.
3.
4.
5.
5n −2n
4n −3n .
ein
n .
n
P
1
p!.
n!
p=1
√
√
n + 1 − n.
3
Exercice 1.3. Etudier la suite définie
√ par : u0 réel fixé supérieur ou égal à − 2
et la relation de récurrence : un+1 = 2un + 3.
Exercice 1.4. Etudier la suite définie par : u0 réel strictement positif fixé et la
relation de récurrence : un+1 = 1 + u1n .
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
14
Exercice 1.5. Démontrer que la suite définie à l’exemple 3 est convergente et
déterminer sa limite.
Exercice 1.6. La suite (un )n∈N est définie par : un est l’exposant de 2 dans la
décomposition de n en produit de facteurs premiers.
La suite est-elle convergente ?
Déterminer l’ensemble des limites des suites extraites convergentes de la suite
(un )n∈N .
Exercice 1.7. Théorèmes de Césaro.
(un )n∈N est une suite réelle, convergente de limite L.
1) Première forme
1 +···+un
converge et a pour limite L.
a) Montrer que la suite : u0 +un+1
b) Application : On considère la suite (un )n∈N définie par u0 ∈ 0, π2 et la
relation de récurrence : un+1 = sin (un ) .
i) Montrer que la suite (un )n∈N converge et déterminer sa limite.
1
1
ii) Déterminer α réel pour que la suite vn = (un+1
)α − (un )α converge vers une limite finie non nulle, et en déduire un équivalent de un quand n tend vers l’infini.
2) Deuxième forme : Soit (vn )n∈N une suite de réels positifs, telle que :
∞
P
v0 est non nul et la série
vn diverge.
n=0
1 v1 +···+un vn
converge vers L.
a) Montrer que la suite wn = u0 v0v+u
0 +v1 +···+vn
b) Quelles sont les relations entre les deux formes du théorème de Césaro ?
3) Théorème de Césaro-Toeplitz :
Soit un tableau triangulaire de la forme :
a00
a10 a11
a20 a21 a22
..................................
.....................................
ap0 ap1 ......................app
................................................
On suppose que P
toutes les lignes sont de somme 1, c’est-à-dire que pour tout
p
entier naturel p, k=0 apk = 1 et que pour tout entier naturel k, apk tend vers
0 quand p tend vers l’infini.
Pn
a) Montrer que la suite (tn
)n∈N 
définie par : tn = k=0 ank uk converge vers L .
n 

k
b) Cas particulier : ank = 2n
. Vérifer que la suite satisfait aux hypothèses
précédentes.
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
15
4) Conséquences du théorème de Césaro :
On suppose que la suite (un ) est à termes strictement positifs.
√
a) Montrer que : lim n+1 u0 u1 . . . un = L.
n→+∞
b) On désigne par(vn ) est une suite de nombres réels strictement positifs , telle
= L.
que : lim vn+1
n→+∞ vn
√
Montrer que lim n vn = L.
n→+∞
q
n
c) Calculer lim n nn! .
n→+∞
1.2
1.2.1
Séries Numériques
Définitions :
On désigne par K un ensemble égal à R ou C (ou à une partie de R ou C).
Soit (an )n∈N une suite d’éléments de
K. On appelle série de terme général an le
couple de suites (an )n∈N , (sn )n∈N ,
n
P
ai .
où sn =
i=0
La suite (sn )n∈N est appelée la suite des sommes partielles de la série.
Série convergente : On dit que la série converge si la suite (sn )n∈N converge,
dans le cas contraire, on dit que la série diverge.
Dans le cas de convergence, lim sn , qui est un élément de K est appelée la
n→+∞
somme de la série, noté :
+∞
P
an .
n=0
Remarque 1.5. On parle souvent de la série
+∞
P
ai , sans savoir si la série converge
i=0
ou diverge.
Cet abus de notation est très dangereux : si vous n’avez pas démontré que la
+∞
P
ai n’est pas, à priori, un nombre réel, donc écrire qu’il est
série converge,
i=0
égal, inférieur ou égal ou supérieur ou égal à un nombre réel aura des conséquences graves. Il est préférable, sauf quand on ne peut pas faire autrement,
d’écrire des inégalités uniquement entre termes généraux de séries (en se restreignant aux séries réelles, les inégalités entre nombres complexes ayant aussi des
conséquences fâcheuses).
Exemple 1.6. an = n1 , n ∈ N∗ . On va montrer que la série est divergente, en
montrant que la suite des sommes partielles tend vers +∞.
Soit n un entier naturel non nul.
La fonction x → x1 est décroissante sur R∗+ , donc pour tout x appartenant à
l’intervalle [n, n + 1] , n1 > x1 . En intégrant cette inégalité sur [n, n + 1], on en
déduit :
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
1
n
>
n+1
´
n
dx
x
16
et en faisant la somme de ces inégalités pour n variant de 1 à N, on
en déduit :
ˆ
N n+1
N
X
dx
1 X
>
n
x
n=1
n=1
n
=
N
ˆ+1
dx
(en appliquant la relation de Chasles)
x
1
= ln(N + 1).
Cette dernière inégalité entraîne que la suite des sommes partielles tend vers
l’infini et la série est divergente.
Exemple 1.7. an = (−1)n . s2n = 1, s2n+1 = 0.
La suite des sommes partielles ne converge pas : il y a deux suites extraites
convergentes vers des limites différentes, donc la série est divergente. Remarquer
au passage que la suite des sommes partielles ne tend pas vers l’infini (elle est
même bornée) bien que la série soit divergente.
1
Exemple 1.8. an = n²
, n ∈ N∗ .
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1.
La fonction x → 1 est décroissante sur R∗+ , donc pour tout x appartenant à
l’intervalle [n − 1, n], n12 6 x12 . En intégrant l’inégalité sur [n − 1, n] et en faisant
la somme des inégalités obtenues pour n variant de 2 à N, on a :
ˆ N
N
X
1
1
dx
=1−
6
6 1.
2
n²
x
N
1
n=2
La série étant à termes positifs, la suite des sommes partielles est croissante,
+∞
P 1
étant en plus majorée, elle est convergente, donc la série
n² est convergente.
n=1
1.2.2
Somme de deux séries, produit d’une série par un
réel
Définition 1.3.
+∞
P
n=0
an et
+∞
P
bn étant deux séries numériques, la somme de ces
n=0
deux séries est par définition la série de terme général an + bn .
+∞
P
λ étant un nombre réel ou complexe, le produit de la série
an par le réel λ
est par définition la série de terme général λan .
n=0
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
17
Propriétés immédiates Il résulte directement de la définition que la suite
des sommes partielles de la somme de deux séries est la somme des suites des
sommes partielles de ces séries et que la suite des sommes partielles du produit
d’une série par un nombre réel ou complexe λ est le produit par λ de la suite
des sommes partielles de la série.
On déduit alors des résultats sur les suites numériques, appliqués aux suites
des sommes partielles, que la somme de deux séries convergentes est une série
convergente (et a pour somme la somme des sommes) et que le produit d’une
série convergente par un nombre réel ou complexe λ est convergente (et a pour
somme le produit par λ de la somme de la série). L’ensemble des séries réelles,
muni de cette somme interne et ce produit externe, est un espace vectoriel réel
et le sous-ensemble des séries convergentes en est un sous-espace vectoriel. On
a les mêmes résultats pour les séries complexes.
1.2.3
Conditions nécessaires de convergence : Comportement du terme général
Théorème 1.3. Si une série est convergente, alors son terme général tend vers
0.
Démonstration. La série est convergente, donc la suite (Sn )n∈N des sommes
partielles de la série converge vers S, somme de la série. La suite (Sn−1 )n∈N∗
converge vers la même limite, donc la différence des deux suites, qui est égale
au terme général de la série, tend vers 0.
Remarque 1.6. La réciproque est fausse : n1 tend vers 0 quand n tend vers l’infini,
alors que la série de terme général n1 est divergente.
1.2.4
Condition suffisante de convergence : Convergence
absolue
Définition 1.4. La série de terme général an est dite absolument convergente
si la série de terme général |an | est convergente. On lit valeur absolue ou module
selon que la série est à termes réels ou complexes.
Théorème 1.4. Toute série absolument convergente est convergente.
Démonstration. Cas d’une série réelle.
+∞
P
Soit
an une série absolument convergente.
n=0
+
On désigne par (a+
n )n∈N la suite définie par an = an si an est positif ou nul,
+
an = 0 si an est négatif ou nul.
−
On désigne par (a−
n )n∈N la suite définie par an = −an si an est négatif ou nul,
−
an = 0 si an est positif ou nul.
−
+
−
On a alors : an = a+
n − an , et |an | = an + an .
+
−
La série de terme général an + an est convergente, et pour tout n entier naturel
−
|an | > a+
n et |an | > an .
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
18
Si on désigne par Sn , Sn+ et Sn− les suites des sommes partielles des séries de
−
+
−
termes généraux |an | , a+
n et an , on a : Sn > Sn et Sn > Sn .
+
−
(|an |)n∈N , (an )n∈N et (an )n∈N étant des suites à termes positifs, les suites des
sommes partielles (Sn )n∈N , (Sn+ )n∈N et (Sn− )n∈N sont croissantes, ce qui entraîne, en désignant par S la somme de la série de terme général |an | :
S > Sn > Sn+ et S > Sn > Sn− .
Les suites (Sn+ )n∈N et (Sn− )n∈N sont croissantes et majorées, donc elles sont
convergentes.
Il en est alors de même de leur différence, qui est la suite des sommes partielles
−
de la série de terme général an = a+
n − an , qui est donc convergente d’après le
résultat sur les sommes et produits de séries.
Remarque 1.7. La réciproque du théorème précédent est fausse.
n
converge, cela se justifie par le théorème
La série de terme général un = (−1)
n
spécial des séries alternées que nous verrons plus tard. Nous allons faire ici une
démonstration basée sur le même principe que celle du théorème : on démontre
que les suites extraites de rang pair et de rang impair de la suite des sommes
partielles sont adjacentes.
1
1
1
S2n+2 = S2n+1 +
= S2n +
−
.
2n + 2
2n + 2 2n + 1
On en déduit que la suite (S2n )n∈N est décroissante, supérieure à la suite
(S2n+1 )n∈N et que la différence des deux suites tend vers 0.
On montre de même que la suite (S2n+1 )n∈N est croissante.
Les deux suites sont adjacentes, donc elles convergent, et vers la même limite.
La suite des sommes partielles de la série admet donc deux suites extraites
complémentaires convergentes et vers la même limite, donc elle converge.
1.2.5
Reste d’une série convergente
Définition 1.5. On appelle reste de la série convergente
+∞
P
an le nombre réel
n=0
ou complexe Rn =
+∞
P
ak .
k=n+1
Proposition 1.2. Le reste d’une série convergente tend vers 0.
Démonstration. Soit
+∞
P
un une série convergente dont on désigne la somme par
n=0
S. Par définition, le reste de la série est égal à S − Sn et la suite (Sn )n∈N est
convergente de somme S, donc la différence Sn − S tend vers 0 quand n tend
vers l’infini.
Remarque 1.8. Le reste d’une série divergente n’existe pas.
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
1.3
1.3.1
19
Etude des séries à termes positifs
Techniques de comparaison de deux séries
On désigne par (an )n∈N une suite de réels positifs.
La propriété essentielle, qui permet une étude plus facile de la série de terme
général an est :
La suite des sommes partielles (sn )n∈N est une suite croissante.
Théorème 1.5. Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite
(sn )n∈N de ses sommes partielles est bornée.
Démonstration. Si la série est convergente, la suite des sommes partielles est
convergente et toute suite convergente est bornée. Cette implication est donc
vraie, même si la série n’est pas à termes positifs.
La série étant à termes positifs la suite des sommes partielles est croissante, si
elle est en plus bornée elle est convergente, c’est la définition de la convergence
de la série.
Remarque 1.9. On a déjà observé, avec l’exemple de la série de terme général
(−1)n , que le résultat est faux pour les séries de signe quelconque : cette série
diverge, alors que ses sommes partielles sont bornées.
1.3.1.1
Principe de comparaison des séries à termes positifs
Proposition 1.3. Soient (an )n∈N et (bn )n∈N , deux suites de réels positifs, telles
que, pour tout entier naturel n, an 6 bn . Alors :
– Si la série de terme général an diverge, la série de terme général bn diverge.
– Si la série de terme général bn converge, la série de terme général an
converge.
Le même résultat est vrai si l’inégalité n’est vraie qu’à partir d’un certain rang.
Démonstration. C’est une simple application du théorème précédent et de l’inégalité évidente : S1 (n) 6 S2 (n), si S1 (n) et S2 (n) désignent les sommes partielles des séries de termes généraux an et bn .
+∞
P
Si la série
an diverge, la suite (S1 (n))n∈N n’est pas bornée, donc la suite
n=0
(S2 (n))n∈N n’est pas bornée non plus, et la série
Si la série
+∞
P
n=0
+∞
P
bn diverge.
n=0
bn converge, la suite de ses sommes partielles (S2 (n))n∈N est
bornée, donc la suite des sommes partielles (S1 (n))n∈N de la série
également bornée, donc la série
+∞
P
n=0
an est convergente.
+∞
P
n=0
an est
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
20
Si l’inégalité n’est vraie qu’à partir du rang N, il suffit d’observer que les séries
+∞
+∞
P
P
an sont de même nature : on ne change pas la nature d’une suite
an et
n=0
n=N
(et donc d’une série) en modifiant un nombre fini de termes.
Application : Démonstration de : convergence absolue entraîne convergence
pour une série complexe.
+∞
P
Soit
zn une série complexe absolument convergente.
n=0
|zn | > |Re (zn )| , |zn | > |Im (zn )| , donc d’après le principe de comparaison les
séries de termes généraux |Re (zn )| et |Im (zn )| , qui sont majorés par |zn | sont
convergentes. En appliquant le résultat vu pour les séries réelles, on en déduit
+∞
+∞
P
P
que les séries
Re (zn ) et
Im (zn ) sont convergentes, ce qui est équivalent
n=0
à la convergence de la série
n=0
+∞
P
zn .
n=0
1.3.1.2
Séries de termes généraux équivalents
Définition 1.6. Soient (an )n∈N et (bn )n∈N deux suites à termes positifs. On
dit que les suites sont équivalentes quand n tend vers +∞, s’il existe une suite
réelle (ǫn )n∈N telle que :
an = ǫn bn , et
lim ǫn = 1.
n→+∞
Si bn n’est jamais nul, au moins à partir d’un certain rang, la propriété est
équivalente à :
an
= 1.
lim
n→+∞ bn
Théorème 1.6. Si les suites de réels positifs (an )n∈N et (bn )n∈N sont équiva+∞
+∞
P
P
lentes, les séries
an et
bn sont de même nature.
n=0
Démonstration.
1
2,
n=0
lim ǫn = 1, donc il existe N ∈ N tel que n > N entraîne
n→+∞
|ǫn − 1| <
c’est-à-dire : 21 < ǫn < 32 . On en déduit (parce que les séries sont
à termes positifs) que :
1
3
2 bn 6 an 6 2 bn , pour tout n > N. Il suffit alors d’appliquer le théorème
précédent :
+∞
+∞
+∞
P
P
P
bn diverge donc
an diverge.
–
bn diverge entraîne que 21
–
n=0
+∞
P
n=0
bn converge entraîne que
n=0
+∞
P
3
2
n=0
n=0
+∞
P
bn converge donc
an converge.
n=0
Remarque 1.10. Le fait que le terme général soit positif n’est pas important, ce
qui compte, c’est qu’il soit de signe constant. On a donc des résultats identiques
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
21
pour des séries de termes généraux négatifs, il suffit pour les démontrer de
considérer les séries de termes généraux opposés.
Le résultat est faux pour des séries dont le terme général n’est pas de signe
constant.
(−1)n
√
Exemple 1.9. un = e n − 1.
Les termes de la série sont alternativement positifs ou négatifs, on ne peut donc
pas appliquer le théorème précédent.
n
√
un est équivalent à (−1)
, qui est le terme général d’une série convergente. On
n
le démontre facilement avec un théorème que nous verrons plus loin, on peut
aussi le démontrer avec la technique que nous avons utilisée pour démontrer la
+∞
P (−1)n
convergence de
n .
n=1
Si on fait un développement limité un peu plus poussé de l’exponentielle, on
obtient :
1
(−1)n
(−1)n
1
+
+
un = √
+◦
.
3
3
n
2n
6n 2
n2
La première série converge, la deuxième diverge, il reste à voir que les deux
dernières convergent, ce que nous ferons bientôt.
La série est donc divergente, bien que son terme général soit équivalent à celui
d’une série convergente.
Remarque 1.11. Si les termes généraux de deux séries à termes positifs sont
équivalents, les séries sont de même natures mais les sommes ne sont pas égales.
+∞
+∞
P 1
P 1
1
Il suffit par exemple de considérer les deux séries
n2 et
n2 + n3 . Les
n=1
n=1
termes généraux sont équivalents, mais la différence des sommes est
est manifestement un nombre réel strictement positif...
+∞
P
n=1
1
n3
qui
1.3.1.3
Utilisation des ◦ et O
+∞
+∞
P
P
Théorème 1.7. Soient
un et
vn deux séries à termes positifs.
On suppose que la série
O (un ) . Alors la série
n=0
+∞
P
n=0
+∞
P
n=0
un est convergente, et que vn = ◦ (un ) ou vn =
vn est convergente.
n=0
Démonstration. vn = ◦ (un ) est équivalent à vn = ǫn un où (ǫn )n∈N est une suite
qui tend vers 0 quand n tend vers l’infini.
vn = O (un ) est équivalent à vn = ǫn un où (ǫn )n∈N est une suite bornée.
Toute suite convergente étant bornée, il suffit de faire la démonstration avec
vn = O (un ) . (ǫn )n∈N est bornée, donc il existe un réel M tel que : |ǫn | 6
M, ∀n ∈ N.
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
22
On en déduit que : vn 6 M un , ∀n ∈ N.
La série de terme général M un converge, donc, par majoration, la série de terme
général vn converge.
1.3.2
Comparaison d’une série et d’une intégrale
Définition 1.7. Soit f une fonction continue sur [a, +∞[, à valeurs dans R.
+∞
´
f (x)dx convergente si et seulement si la fonction x 7→
On dit que l’intégrale
´x
a
f (t)dt admet une limite quand x tend vers l’infini. Dans le cas contraire, on
a
dit que l’intégrale est divergente.
Théorème 1.8. Soit f une fonction positive et décroissante sur [0, +∞[ .
+∞
+∞
´
P
Alors
f (x)dx et
f (n) sont de même nature.
n=0
0
Démonstration. Supposons que
+∞
´
f (x)dx soit convergente.
0
n+1
´
f (n + 1) 6
f (x)dx 6 f (n). En faisant la somme de ces inégalités et en
n
appliquant la relation de Chasles aux intégrales, on obtient :
f (0)+f (1)+· · ·+f (n) 6 f (0)+
ˆn
f (x)dx 6 f (0)+
+∞
ˆ
f (x)dx.
f (x)dx 6 f (0)+
n+1
ˆ
0
0
0
Les sommes partielles de la série de terme général f (n) sont bornées, donc la
série est convergente.
´x
f (t)dt existe, ce qui revient à monRéciproquement, il faut montrer que lim
x→+∞ 0
trer que
x 7→
´x
+∞
´
f (t)dt est bornée par un réel indépendant de x, puisque la fonction
0
f (t)dt est croissante (une fonction croissante et majorée admet une li-
0
mite).
´x
f (t)dt 6
0
0
0
n=0 n
Ń
f (t)dt, pour tout N entier naturel tel que N > x, par exemple
N = ⌊x⌋ + 1, ⌊x⌋ désignant la partie entière de x.
Ń
NP
−1 n+1
N
´
P
f (t)dt =
f (t)dt 6
f (n) qui est majoré par la somme de la série,
n=0
puisque celle-ci a été supposée convergente. Donc l’intégrale converge.
Remarque 1.12. On peut utiliser la technique précédente pour obtenir une majo+∞
P
an , la série étant supposée convergente
ration du reste d’une série : RN =
bien sûr.
n=N +1
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
23
an = f (n), f vérifiant les hypothèses du théorème.
+∞
´n
´
f (x)dx.
an = f (n) 6
f (x)dx, d’où RN 6
n−1
N
Application : Les séries de Riemann Une série de Riemann est une série
réelle dont le terme général est de la forme : un = n1α .
+∞
+∞
´ dx
P 1
nα est de même nature que
xα . Supposons α différent de 1.
n=1
1
y
´ dx
1
1
xα = 1−α y α−1 − 1 qui admet une limite finie quand y tend vers +∞ si et
1
seulement si α − 1 est strictement positif, c’est-à-dire α > 1.
Pour α = 1, une primitive est ln x, donc l’intégrale est divergente, puisque
´x dt
t = ln x, qui tend vers +∞ quand x tend vers +∞.
1
En conclusion, la série de Riemann de terme général un =
si et seulement si α > 1.
1
nα
est convergente
Comparaison d’une série avec une série de Riemann : le critère nα un
+∞
P
Soit
un une série à termes positifs. On suppose qu’il existe α tel que
n=0
lim nα un = L, réel non nul. Si α est strictement supérieur à 1, la série
n→+∞
converge, si α est inférieur ou égal à 1, la série diverge.
Démonstration.
à
L
nα ,
lim nα un = L avec L non nul entraîne que un est équivalent
n→+∞
qui est de même nature que
1
nα ,
d’où le résultat.
Remarque 1.13. En pratique, on ne trouve en général pas α tel que la limite soit
finie non nulle, mais plutôt des valeurs de α pour lesquelles elle est soit nulle,
soit infinie. Il est encore possible de conclure, au moins dans certains cas.
Supposons que lim nα un = 0. Il existe N tel que pour n > N, nα un < 1, donc
n→+∞
à partir du rang N, un est majorée par le terme général de la série de Riemann
1
nα . Si α est strictement supérieur à 1, la série est convergente, si α est inférieur
ou égal à 1, on ne peut pas conclure, on change de valeur de α, ou de méthode.
Supposons que lim nα un = +∞. Il existe N tel que pour n > N, nα un soit
n→+∞
supérieur à 1, donc à partir du rang N, un est minorée par le terme général de
la série de Riemann n1α . Si α est inférieur ou égal à 1, la série est divergente, si
α est strictement supérieur à 1, on ne peut pas conclure, on change de valeur
de α, ou de méthode.
Exemples de séries à termes positifs : les séries de Bertrand
de Bertrand est une série dont le terme général est de la forme :
un =
1
nα
β
(ln n)
, n > 2, (α, β) ∈ R2 .
Une série
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
24
Supposons α < 0, le terme général tend vers l’infini (croissances comparées des
logarithmes et des polynômes, dans le cas où β est positif), donc la série diverge.
Supposons α > 1. On pose α = 1 + 2h, h étant un réel strictement positif.
1
.
un =
β
1+2h
n
(ln n)
n1+h un = nh (ln1 n)β , donc tend vers 0 quand n tend vers l’infini, en utilisant à
nouveau les croissances comparées dans le cas où β est négatif.
Pour α > 1, la série est donc convergente, quel que soit β.
Supposons α = 0. Si β 6 0, la divergence est immédiate.
1
1
2
Si β est positif, n 2 un = (lnnn)
β , qui tend vers l’infini quand n tend vers l’infini,
avec les inévitables croissances comparées. Il existe donc un entier N tel que :
1
n > N ⇒ n 2 un > 1, donc un > 11 à partir du rang N, ce qui entraîne la
n2
divergence de la série.
Supposons 0 < α < 1. α = 1 − 2h, avec h strictement positif.
1
n1−h un = n−h (ln
qui tend vers l’infini quand n tend vers l’infini.
n)β
Il existe donc un entier N tel que n > N ⇒ n1−h un > 1, donc à partir du rang
1
, qui est le terme général d’une série divergente.
N, on a : un > n1−h
La série est donc divergente, quel que soit β.
Supposons enfin que α = 1. un = n(ln1n)β .
Considérons la fonction f : x 7→ x(ln1x)β .
−β
f ′ (x) = − (ln xx)2
1 + lnβx , qui est manifestement négatif, donc la fonction est
décroissante, et à valeurs positives, puisqu’on se restreint à l’intervalle [2, +∞[ .
+∞
´
dx
. Supposons d’abord β différent
La série est donc de même nature que
x(ln x)β
de 1.
´y dx
2
x(ln x)
2
β
=
´y
2
d(ln x)
(ln x)β
=
1
1−β
1−β
(ln y)
1−β
− (ln 2)
qui admet une limite finie
quand y tend vers l’infini si et seulement si β est supérieur à 1.
1
Dans le cas α = 1, une primitive de x ln
x est ln (ln x) , et l’intégrale est à nouveau
divergente.
En résumé, si α = 1, la série de Bertrand converge si et seulement si β > 1.
L’étude de ces séries se trouve dans un article intitulé “Règles sur la convergence des séries” publié par Joseph Bertrand, élève ingénieur des mines, dans le
journal de mathématiques pures et appliquées en 1842.
1.3.3
Règle de D’Alembert
1.3.3.1
Série géométrique
Définition 1.8. On désigne par r un nombre réel. On appelle série géométrique
une série dont le terme général est une suite géométrique, c’est-à-dire de la forme
un = u0 rn , le nombre réel r étant appelé la raison de la suite géométrique.
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
25
+∞
P
u0 rn converge si et seulement si |r| <
Théorème 1.9. La série géométrique
n=0
1
.
1 et dans ce cas sa somme est égale à u0 1−r
Démonstration. La somme des N + 1 premiers termes de la suite géométrique
N +1
(u0 rn )n∈N est égale à : u0 1−r
1−r , et c’est la somme partielle d’ordre N de la
série.
Si |r| < 1, rN +1 tend vers 0 quand N tend vers l’infini, donc dans ce cas la série
1
est convergente de somme u0 1−r
.
Si |r| > 1, le terme général de la série ne tend pas vers 0, donc la série est
divergente.
Remarque 1.14. On peut remarquer également que le reste d’ordre N de la série
+∞
+∞
P n
P
r N +1
u0 rn qui est égal à u0 rN +1
r = u01−r
géométrique est
.
n=0
n=N +1
1.3.3.2
Comparaison d’une série à termes positifs et d’une série géométrique
Théorème 1.10. Soient (an )n∈N et (bn )n∈N deux suites de réels strictement
positifs. On suppose que : aan+1
6 bn+1
bn , pour tout n dans N (ou à partir d’un
n
+∞
P
certain rang) et que
bn converge.
n=0
Alors
Si
+∞
P
n=0
+∞
P
an converge.
an diverge, alors
n=0
+∞
P
bn diverge.
n=0
6 bn+1
Démonstration. aa10 6 bb01 , aa12 6 bb21 , . . . , aan+1
bn .
n
En faisant le produit de ces inégalités, on obtient : an+1 6
de comparaison permet de conclure immédiatement.
a0
b0 bn+1 ,
et le principe
Corollaire 1.1. Soit (an )n∈N une série à termes positifs et k un élément de
[0, 1[ .
On suppose que pour tout n ∈ N, aan+1
6 k. Alors la série de terme général an
n
est convergente.
Démonstration. Il suffit d’appliquer le théorème précédent avec bn = k n , qui est
une série géométrique de raison strictement inférieure à 1, donc convergente.
1.3.3.3
Règle de D’Alembert
Théorème 1.11. Soit (un )n∈N une suite de nombres réels strictement positifs.
On suppose que :
lim uun+1
= L.
n
n→+∞
– Si L < 1, la série est convergente.
– Si L > 1, la série est divergente.
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
Démonstration.
n > N entraîne
lim
n→+∞
un+1
un
26
= L, donc pour tout ǫ > 0, il existe N tel que :
L−ǫ<
un+1
< L + ǫ.
un
Si L est strictement inférieur à 1, on choisit ǫ tel que L + ǫ soit strictement
inférieur à 1, et on conclue par comparaison avec la série géométrique de raison
L + ǫ.
Si L est supérieur à 1, on choisit ǫ tel que L − ǫ soit strictement supérieur à 1.
La suite (un )n∈N est alors strictement croissante, donc elle ne peut pas tendre
vers 0, et la série diverge.
Application un =
gente.
1 un+1
n! . un
=
1
n+1
qui tend vers 0, donc la série est conver-
Remarque 1.15. Le théorème ne parle pas du cas L = 1. C’est un cas douteux,
c’est-à-dire qu’il n’y a pas de règle générale : considérons les séries de termes
généraux n1 et n12 . La première est convergente et la deuxième divergente, alors
n2
n
que les quotients uun+1
et (n+1)
, égaux à n+1
2 ont tous deux pour limite 1 quand
n
n tend vers l’infini.
1.4
Séries alternées
Définition 1.9. On appelle série alternée une série réelle dont le terme général
n
an est de la forme (−1) αn , αn étant positif pour toute valeur de n.
Théorème 1.12 (spécial des séries alternées). Soit (an )n∈N une suite réelle
n
telle que an = (−1) αn , αn étant positif pour tout n entier naturel.
+∞
P
Si la suite (αn )n∈N tend vers 0 en décroissant, la série
an converge.
n=0
De plus le reste Rn est du signe de son premier terme an+1 , et |Rn | 6 |an+1 | .
Démonstration. On étudie les suites extraites de la suite des sommes partielles
(S2n )n∈N et (S2n+1 )n∈N . S2n+2 = S2n − α2n+1 + α2n+2 , et l’hypothèse faite sur
la décroissance de la suite (αn )n∈N entraîne S2n+2 6 S2n . La suite (S2n )n∈N est
donc décroissante.
De même, S2n+1 −S2n−1 = α2n −α2n+1 , donc la suite (S2n+1 )n∈N est croissante.
Enfin S2n − S2n−1 = α2n , qui tend vers 0 quand n tend vers l’infini, et qui est
positif, donc :
S2n > S2n−1 . Les suites (S2n )n∈N et (S2n+1 )n∈N sont donc adjacentes, donc
convergentes vers une limite commune S qui est la somme de la série.
+∞
P
R2p =
ak = S − S2p qui est négatif, puisque la suite (S2n )n∈N est décroisk=2p+1
sante. R2p est donc du signe de a2p+1 , qui est bien le premier terme négligé en
approchant S par S2p .
|R2p | = |S − S2p | = S2p − S 6 S2p − S2p+1 = −a2p+1 = |a2p+1 | .
La démonstration est la même pour R2p+1 .
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
27
Remarque 1.16. La majoration du reste n’est pas vraie pour toute série alternée,
même convergente, mais pour les séries alternées qui vérifient les hypothèses
du théorème spécial, qui est une condition suffisante mais non nécessaire de
convergence.
+∞
P
(−1)n
n
est une série convergente d’après le théorème des sé
+∞
P (−1)n 1
ries alternées. La majoration du reste donne : n 6 N.
Exemples 1)
n=1
n=N
2) Un exemple de série alternée convergente qui ne vérifie pas les hypothèses du
théorème spécial :
+∞
n
X
(−1)
n
n + (−1)
n=2
Il est visible que la série est alternée, le dénominateur étant manifestement
positif.
1
Par contre la suite n+(−1)
n n’est pas décroissante, il faudrait pour cela que la
n
suite n + (−1) soit croissante, alors que pour n = 2p, on obtient 2p + 1 et pour
n = 2p + 1 on obtient 2p.
Pour voir que la série converge on peut ruser, en multipliant numérateur et
n
dénominateur par "l’expression conjuguée" du dénominateur, n − (−1) .
(−1)n n
n−(−1)n
un = n2 −1 = n2 −1 − n21−1 , la première série est convergente par le théorème
des séries alternées, il suffit de vérifier, en calculant la dérivée, que la fonction
x 7→ f (x)) telle que f (x) = x2x−1 est décroissante, la deuxième converge par la
règle de Riemann.
Autre méthode : on fait un développement limité (on ne peut pas utiliser d’équivalent puisque la série n’est pas de signe constant).
n
1
1
(−1)
n
n =
n 1 + (−1)
n + (−1)
n
n
(−1)
=
n
n
=
n+1
(−1)
1+
n
n
ǫn
+
n
(−1)
(−1) ǫn
1
,
− 2−
n
n
n2
et les trois séries sont convergentes.
!
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
1.5
28
Produit de deux séries numériques
1.5.1
Définition
(an )n∈N et (bn )n∈N étant deux suites réelles ou complexes, on appelle produit
de convolution de ces suites la suite (cn )n∈N , telle que :
cn =
n
X
ak bn−k .
k=0
La série de terme général cn est appelée série produit des séries de termes généraux an et bn .
1.5.2
Séries à termes positifs
Théorème 1.13. Si les suites (an )n∈N et (bn )n∈N sont réelles positives et les
+∞
+∞
P
P
séries
an et
bn sont convergentes, la série produit est convergente et a
n=0
n=0
pour somme le produit des sommes.
Démonstration. Posons A =
+∞
P
an et B =
n=0
AN =
N
P
n=0
a n , BN =
N
P
bn , pour tout N entier naturel,
n=0
bn et cn =
n=0
+∞
P
n
P
ak bn−k .
k=0
Montrons d’abord la convergence de la série de terme général cn .
c0 + c1 + · · · +cN = (a0 b0 ) + (a0 b1 + a1 b0 ) + · · · + (a0 bN + a1 bN −1 + · · · + aN b0 )
= a0 (b0 + b1 + · · · + bN ) + a1 (b0 + b1 + · · · + bN −1 ) + · · · + aN b0
On va majorer chaque somme de bi par la somme de la série :
c0 + c1 + · · · + cN 6a0 B + a1 B + . . . aN B
= (a0 + a1 + · · · + aN ) B 6 AB.
Les sommes partielles de la série de terme général cn (positif) sont majorées,
donc la série est convergente.
On pose à présent CN = c0 + c1 + · · · + cN .
AN BN − CN = (a0 + a1 + · · · + aN ) (b0 + b1 + · · · + bN ) − (a0 b0 ) − (a0 b1 + a1 b0 )
− · · · − (a0 bN + a1 bN −1 + · · · + aN b0 )
=a1 bN + a2 (bN + bN −1 ) + · · · + aN (bN + bN −1 + · · · + b1 ) .
Soit ǫ un réel strictement positif, il existe un réel strictement positif N0 tel que
n supérieur à N0 entraîne :
+∞
X
n=N0
an < ǫ et
+∞
X
n=N0
bn < ǫ.
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
29
Choisissons N supérieur ou égal à 2N0 + 1.
0 6 AN BN − CN 6 a1 ǫ + a2 ǫ + · · · + aN0 ǫ + B (aN0 +1 + · · · + aN )
6 (A + B) ǫ.
Donc AN BN − CN tend vers 0 quand N tend vers l’infini, ce qui montre le
résultat cherché.
1.5.3
Séries de signe quelconque (et séries complexes)
Théorème 1.14. Si
+∞
P
an et
n=0
+∞
P
bn sont deux séries absolument convergentes,
n=0
la série de terme général cn , avec cn =
n=0
n=0
Démonstration. |cn | 6
précédent, puisque
ak bn−k est absolument convergente,
k=0
et on a : +∞
+∞
+∞
P
P
P
cn .
bn =
an
n=0
n
P
+∞
P
n=0
n
P
k=0
|ak | |bn−k | qui est convergente d’après le théorème
|an | et
+∞
P
n=0
|bn | convergent.
La convergence absolue entraîne la convergence, donc la série
+∞
P
cn converge.
n=0
Il reste à montrer que le produit des sommes est égal à la somme de la série
produit.
On pose :
N
N
N
X
X
X
AN =
a p , BN =
bp , CN =
cp ,
p=0
p=0
|an | = αn , |bn | = βn , A′N =
p=0
N
X
′
αp , BN
=
p=0
N
X
βp .
p=0
AN BN − CN = a1 bN + a2 (bN + bN −1 ) + · · · + aN (bN + · · · + b1 ) .
Donc |AN BN − CN | 6 α1 βN + α2 (βN + βN −1 ) + · · · + αN (βN + · · · + β1 ) qui
+∞
+∞
P
P
tend vers 0 quand n tend vers l’infini, puisque les séries
αp et
βp convergent,
p=0
p=0
donc leur série produit converge vers le produit des sommes, toujours d’après le
théorème précédent.
Remarque 1.17. Le produit de deux séries de signes quelconques peut être divergent, bien que les deux séries soient convergentes.
Exemple 1.10. un =
(−1)n
1
(n+1) 4
est une série convergente d’après le théorème spécial
des séries alternées ; on en fait le produit avec elle-même.
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
30
Le terme général de la série produit est
cn =
n
k
X
(−1)
n−k
(−1)
1
1
(k + 1) 4 (n − k + 1) 4
n
X
1
1
= (−1)n
1
1 .
4
4
k=0 (k + 1) (n − k + 1)
k=0
Pour k variant de 0 à n,
1
1
(k+1) 4
et
1
1
(n−k+1) 4
sont supérieur ou égaux à
On a donc une somme de n + 1 termes minorés par
|cn | >
n+1
1
(n+1) 2
1
1
(n+1) 2
1
1
(n+1) 4
.
, donc :
1
2
= (n + 1) , qui ne tend pas vers 0 quand n tend vers l’infini,
donc la série est divergente.
Application : Exponentielle complexe Soit z un nombre complexe, on
+∞
P zn
pose ez =
n! . La série est absolument convergente (par application de la
n=0
règle de D’Alembert par exemple), donc convergente.
+∞
+∞
P zn
P
′
ez ez est le produit des sommes des séries
n! et
n=0
n=0
z ′n
n! .
′
Toutes les séries sont absolument convergentes, donc ez ez est égal à la somme
de la série produit, qui est donc :
′
+∞ X
n
+∞
n
X
X
(z + z ′ )
z k z n−k
=
.
k! (n − k)! n=0
n!
n=0
k=0
On a démontré, pour la fonction exponentielle complexe, la formule :
′
′
ez ez = ez+z .
On peut définir cos x = Re eix , sin x = Im eix , de même que ch(z) =
z
−z
.
et sh(x) = e −e
2
EXERCICES
Exercice 1.8. Nature des séries de termes généraux :
1. un =
3n +5
4n +n2 .
1
√
2. un = α e n − 1 + n2 − 1 − n.
1
1
3. un = e 2n − e 2n+1 .
4. un = arcsin 4n2n
2 +1 .
α
1
5. un = n sin n
.
6. un = n2 e−n .
ez +e−z
2
CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES
31
7. un = a−n ln n, a étant un réel strictement positif.
ln n n
.
8. un = 1 − 3 2n
1
9. un = 1+ 1 .
n
10. un =
n
1
1
n(n+2) 2
.
11. un = 1 + n − 21 ln 1 − n1 .
2n
n+1
12. un = n+2
− e−2 .
√
√
13. un = n+1−
nα
14. un = ln cos
15. un =
16. un =
17. un =
n−1
1
2n
n+1
(n+1) n
.
.
n−1
n
−(n−1)
nα
nα
, vn
n sin n1
√
(−1)n n sin √1n
n+(−1)n
18. un = ln n ln 1 +
19. un = 2cos nπ .
n 3 +cos nπ
1
n
.
= n sin n1
.
ln 1 +
1
n2
n2
1
− e− 6 .
.
1
où vn est l’exposant de 2 dans la décomposition de n en
20. un = n(1+v
n)
produit de facteurs premiers.
Exercice 1.9. (un )n∈N est une suite réelle et f une fonction de classe C 2 de R
dans R, telle que f (0) = 0.
On suppose que les séries de termes généraux un et (un )2 sont convergentes.
Montrer que la série de terme général f (un ) est convergente .
Exercice 1.10. On suppose que (un )n∈N est une suite réelle et (vn )n∈N une
suite réelle jamais nulle.
2
sont convergentes.
On suppose que les séries de termes généraux uvnn et uvnn
un
Montrer que la série de terme général un +vn est convergente.
Exercice 1.11. (un )n∈N est une suite de réels strictement positifs telle qu’il
existe une suite vn et un réel λ vérifiant :
λ
un+1
= 1 − + vn .
∀n ∈ N∗ ,
un
n
On suppose que la série de terme général vn est absolument convergente.
Montrer que la suite un est équivalente à nAλ , A ∈ R+ .
Exercice 1.12. La série de terme général positif un est convergente .
1
Montrer que la série de terme général (un )1− n est convergente .