6 Applications à l`électromagnétisme

Electromagnétisme
ÉLECTRICITÉ ET ÉLECTROMAGNÉTISME
Sous leur forme locale, les lois de l’électromagnétisme découlent de l’application
des théorèmes relatifs au calcul vectoriel, appliquées à la forme intégrale déjà
connue. On aboutit ainsi aux 4 équations de Maxwell, à partir desquelles on déduit
l’équation de propagation des ondes électromagnétiques.
THEOREME DE GAUSS
(Cf. électricité 1ère année)
Le champ électrique E produit par un ensemble de charges dérive du potentiel V :
r
r
E = − gra dV
(Vm-1)
Son rotationnel est donc nul
r r
rot E = 0
( Vm −2 )
1
Le théorème de Gauss permet de calculer le champ électrique produit par des
charges :
Le flux électrique est :
r r
Φ = ε o ∫∫ E ds = Q = ∫∫∫ ρ dv
s
v
Le théorème de la divergence donne :
r r
r
ε o ∫∫ E ds = ε o ∫∫∫ div E dv
s
v
r ρ
div E =
εo
r
divD = ρ
40
Cm −3
2
Electromagnétisme
DENSITÉ DE COURANT
Densité de courant J.
L'intensité du courant qui traverse une surface S est égale au flux de J à
travers S:
I=
∫∫
r r
J ds
3
s
J est la densité de courant exprimée en Am −2
CONSERVATION DE L’ELECTRICITE
Selon le principe de conservation de l'énergie, on ne peut détruire ni créer des charges
électriques, la croissance ou la décroissance de charges dans un volume ne s'explique que
par la fuite ou l'arrivée de charges.
J
S
Dans un volume fermé, limité par une surface S contenant des
charges q, si on a une variation de charges, on a un courant J à
travers la surface.
dq

> 0 ⇒ i entre, donc de signe négatif 
dq

dt
i = −
dq
dt
< 0 ⇒ i sort, donc de signe positif 
dt

r r
r
dq d
= ∫∫∫ ρ .dv = − ∫∫ J ds = − ∫∫∫ div J dv
s
v
dt dt v
Par identification on obtient
r ∂ρ
div J +
=0
∂t
Am −3
4
L'équation de continuité exprime que la matière (ou les charges électriques) ne
peut pas entrer ou sortir d'un volume sans traverser la surface qui limite ce volume.
La substance ne peut pas apparaître ou disparaître en un point.
41
Electromagnétisme
RELATION DE MAXWELL-AMPÈRE
THÉORÈME D’AMPÈRE
(Cf. électricité 1ère année)
La circulation de la composante tangentielle de H le long d'un contour fermé est
égale au courant encerclé par le contour :
r r
rr
∫ H dl = I = ∫∫ J n.ds
s
D'après le théorèmes de Stoke :
Jc=Rot H
r r
r r r
H
∫ dl = ∫∫ rot H ds
s
et
r r
r r r
∫∫ J ds = ∫∫ rot H ds
s
s
r r r
rot H = J c
H
5
On retrouve le caractère tourbillonnaire décrit
dans l’étude du rotationnel d’un vecteur.
Les lignes de flux magnétique sont des courbes fermées sans point de départ ni point
d'arrivée à la différence du flux électrique qui part des charges positives et va vers les
charges négatives, toute ligne de flux entrant dans une surface fermée, doit en ressortir.
Par conséquent, les champs H n'ont ni source ni point de convergence, ce qui se traduit
par :
r
div B = 0
En résumé :
r r
ro t E = 0
r
div D = ρ
r r r
ro t H = J c
r
div B = 0
Régime variable.
Si l’expression « rotationnel de H=Jc » restait valable pour les champs dépendant du
temps, on aurait div Jc=div(rot H)=0. Ceci est incompatible avec la relation de continuité:
div Jc=-∂ρ/∂t établie plus haut. Pour cette raison, Maxwell a postulé que
r r r r
ro t H = J c + J D
42
6
Electromagnétisme
où JD est la densité de courant de déplacement définie par :
r
r
∂D
JD =
∂t
( Am −2 )
7
En tenant compte de ce courant de déplacement, l'équation de continuité est
respectée, en effet :
r
r
r
div(rot H ) = 0 = div J c + div J D
r
r
∂D
= div J c + div
∂t
r ∂ρ
r
et puisque div D = ρ , on a toujours: div J c +
=0
∂t
Le courant de déplacement à travers une surface ouverte S s'obtient de la même façon
que le courant de conduction.
Exemple : Si on prend un condensateur constitué de 2 plaques métalliques parallèles,
une tension appliquée à ses bornes provoque un courant de conduction ic dans les fils
de connection, choisissons deux surfaces S1 et S2 s'appuyant toutes les deux sur le
même contour fermé C, on trouve que le courant de conduction dans les fils et égal au
courant de déplacement dans l'espace qui sépare les plaques. En effet :
ic = C
et
i
D
dV ε S dV
=
dt
d dt
∂D
ε dV
= ∫∫
dS =
S
s ∂t
d dt
Jc
Le courant de conduction ic = le courant de déplacement i D
r
r
∂D
En régime harmonique
= ε o jωE , donc à capacité égale ic et i D augmentent
∂t
avec ω.
43
Electromagnétisme
LOI DES F.E.M. D'INDUCTION
dB/dt
Un circuit placé en un point de l'espace où
règne une induction magnétique B variable
dans le temps voit apparaître une f.e.m. à ses
bornes, c'est la loi de Lenz :
r
∂B
dφ
≠0⇒e=−
dt
∂t
f.e.m.
8
où φ est le flux du vecteur induction B à travers la surface S limitée par le circuit fermé et
qui a pour valeur:
rr
φ = ∫∫ Bn ds
s
Nous verrons qu'une variation de B entraîne l'existence du champ E, ce dernier permet
aussi de calculer la f.e.m aux bornes du circuit précédent, elle est donnée par la circulation
de E sur le contour C :
r r
e = ∫ Et dl
Des relations précédentes on déduit que
r r
d rr r
=
−
B n ds
E
d
l
∫ t
dt ∫∫
Le théorème de Stokes permet de transformer le premier membre, on a:
r r
r r
d r
=
=
−
B ds
E
d
l
r
o
t
E
ds
∫
∫∫
dt ∫∫
on obtient directement :
r
r r
∂B
ro t E = −
∂t
r
r r
∂B
ro t E = −
(Vm −2 )
div D = ρ (Cm −3 )
∂t
r
r
r r ∂D r
ro t H =
+ J c ( Am - 2 ) div B = 0 (Vm −3 )
∂t
44
9
Electromagnétisme
CONSÉQUENCES DES ÉQUATIONS DE MAXWELL .
r
r r
∂B
ro t E = −
.
∂t
Le second membre exprime la vitesse de variation temporelle de B
tandis que le premier
ne se rapporte qu'aux dérivées des composantes spatiales. On
r
∂B
voit que si
= 0, le champ B est constant et il ne peut pas exister de champ
∂t
électrique E.
r
r r r ∂D
ro t H = J c +
∂t
Dans cette expression, Jc est le courant dans un conducteur et
∂D r
= JD
∂t
est le courant de conduction imaginé par Maxwell pour satisfaire à
l'équation de continuité en régime variable. Cette hypothèse sera confirmée
quelques années plus tard par les expériences de Hertz. Cette relation montre que
le champ H prend son existence si on a soit un courant de conduction Jc (dans un
fil par exemple) soit uniquement un courant de déplacement JD. Ce courant de
déplacement se déplace dans le vide et nous verrons par la suite qu'il est mis en jeu
pour créer l'onde électromagnétique.
La variation temporelle du champ E crée une variation spatiale du
champ H et la variation temporelle du champ H crée une variation
spatiale du champ. Les deux champ sont couplés, l'un ne peut pas
exister sans l'autre.
45
Electromagnétisme
r
div D = ρ
Cette expression signifie que les lignes de D ne peuvent avoir leur origine
qu'en des points de l'espace où il existe des charges ρ.
div D=0
div D>0
div D<0
Les lignes de D traversent
le domaine
r
div B = 0 La remarque est la même que précédemment. Un exemple simple est
donné par le cas d'un fil conducteur parcouru par un courant de densité Jc
Jc
Jc = rot H
On applique le théorème d'Ampère pour calculer H :
r r
I
Hd l = I c ⇒ H = c
2 πr
∫
c
H
rot H ≠0 indique le caractère tourbillonnaire de H
autour du courant de densité Jc. Ceci est bien visible sur
le schéma.
46
Electromagnétisme
PROPAGATION DANS UN MILIEU
DIELECTRIQUE
(ESPACE LIBRE PAR EXEMPLE)
Dans un diélectrique parfait où il n'existe pas de charges libres, les équations de
Maxwell sont réduites à :
r
∂H
rot E = − µ o
∂t
(Vm
∂E
rot H = ε o
∂t
(Am
-2
)
r
div E = 0
)
r
div H = 0
r
-2
10
En se reportant à ce qui a été précédemment dit sur le rotationnel, les deux
équations de gauche sous forme développées s'écrivent :
∂ E z ∂ E y
∂ Hx
−
= −µ o

∂z
∂t
∂y
 ∂ E x ∂ E
∂ Hy
z
−
= −µ o

∂x
∂t
 ∂z
∂ E y ∂ E
∂ Hz
x

−
= −µ o
 ∂ x
∂y
∂t
∂ H z ∂ H y
∂ Ex
−
= εo

∂z
∂t
∂y
 ∂ H x ∂ H
∂ Ey
z
−
= εo

∂x
∂t
 ∂z
∂ H y ∂ H
∂ Ez
x

−
= εo
 ∂ x
∂y
∂t
Il est beaucoup plus commode de garder ces relations sous la forme condensée
et d'utiliser les propriétés de l'analyse vectorielle. En effet, Maxwell a montré que
l’on peut à partir de ses équations, obtenir une équation de propagation de la forme
classique :
∂ 2A
dx 2
+
∂ 2A
dy 2
+
∂ 2A
dz 2
−
1 ∂ 2A
v2 d t 2
Pour cela, on utilise la relation vectorielle :
r
r
r
rot rotE = gra d div E − ∆E .
47
=0
Electromagnétisme
Ainsi,
r
r
r
∂
∂ 2E
rot rot E = − µ o
rot H = − µ o ε o
= ∆E
2
∂t
dt
car on a div E=0
On obtient l'équation de propagation :
r
r
∂ 2E
∆ E − µ oε o
=0
∂t2
11
C'est l'équation d'onde.
Sous la forme développée cette équation s'écrit :
∂ 2 Ex ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
µ
ε
+
+
−
=0
o o

2
2
2
2
∂
∂
∂
x
y
z
t
∂

 ∂ 2 E y ∂ 2 E y ∂ 2 E y
∂ 2Ey
+
+
− µo εo
=0

2
∂ y2
∂ z2
∂ t2
 ∂x
∂ 2 E ∂ 2 E ∂ 2 E
∂ 2 Ez
z
z
z
+
+
− µoε o
=0

2
∂ t2
∂ y2
∂ z2
 ∂ x
Pour simplifier l'écriture on utilise couramment l'opérateur Dalembertien ?
=∆ − εoµ o
∂2
∂t2
et les équations de propagation de E et H sont :
r
 H =0
r
E = 0
48
Electromagnétisme
Étudions le cas d'une onde plane transverse, où E est identique à chaque instant
dans tous les points du plan xOy, et se propageant selon Oz, en régime harmonique.
Le groupe d'équations se réduit à :
et, puisque E n'est pas fonction de x
et y, il reste :
∂ 2Ex
∂z 2
− µo εo
∂ 2E x
∂t 2
=0
En régime harmonique, on aura :
∂ 2 Ex
+ µ o ε oω 2 E x = 0
∂ z2
12
La vitesse de propagation de l'onde est :
1
v=
µoεo
L'onde se propageant selon la direction Oz, le champ Ex doit être de la forme :
E o e − γ z = E o e ( α − jβ ) z
On considérera que l'onde se propage sans perte, et on aura :
E x = Eo e − j β z
13
On peut vérifier que cette solution satisfait à l'équation de propagation. A titre
d'exercice, effectuons le calcul en écrivant la solution sous ses deux formes.
49
Electromagnétisme
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
− µ oε o
=0
dt 2
∂ z2
∂ 2 Ex
+ µ o ε oω 2 E x = 0
2
∂z
E x = Eo e
E x = Eo e − jβ z e jω t
− jβ z
E x = E o e j (ω t − β z )
On calcule la dérivée seconde de E par
rapport à z :
On calcule la dérivée seconde de E par
rapport à z :
∂ Ex
= − jβ E o e j ( ω t − β z )
∂z
∂ Ex
= − j β E o e − jβ z
∂z
∂ 2 Ex
= + j 2 β 2 E o e j (ω t − β z )
2
∂z
∂ 2 Ex
= + j 2 β 2 E o e − jβ z
2
∂z
et on reporte sa valeur dans l'équation
de propagation.
−β 2 Eo e − j β z + µ o ε oω 2 Eo = 0
Ceci est vérifié si on prend β = ω µ o ε o
On calcule la dérivée seconde de E par
rapport à t :
∂ Ex
= jω E o e j ( ω t − β z )
∂t
∂ 2 Ex
= j 2ω 2 E o e j (ω t − β z )
2
∂t
on obtient :
−β 2 Eo e j ( ω t −β z ) + µ o ε oω 2 Eo e j ( ω t − β z ) = 0
si β = ω µ o ε o
On peut donc prendre la solution particulière :
Partant
de
la
solution
particulière E = E o e − jβ z ,
E x = E o e − jβ z
il nous faut satisfaire à la
r
condition div E = 0 . E n'est pas fonction de x et y, il est uniquement fonction de z donc
dans l'expression :
r ∂ Ex ∂ Ey ∂ Ez
div E =
+
+
∂x
∂y
∂z
r ∂ Ez
les termes en x et y sont nuls, il reste div E =
= − jβ Eoz e − j β z = 0 . Il n'existe donc
∂z
pas de composante sur l'axe des z, Eo est entièrement contenu dans le plan ⊥ à Oz.
50
Electromagnétisme
Si on choisit Ox comme direction de Eo on a :
 E x = Eo e − j β z

E y = 0

E z = 0
x
Eo
z
y
r
r
En appliquant la relation rot E = − µ o jω H à la relation 17, on obtient :

r
 ∂ E z ∂ E y r
i = 0
−
− µ o jω H x = 

∂
∂

z 
 y

r
r
 ∂ Ex ∂ Ez  r ∂ Ex


 j =
µ
ω
−
j
H
−
= − j β Eo e − j β z j
 o
y =
∂x 
∂z
 ∂z


r

r
− µ jω H =  ∂ E y − ∂ E x k = 0
x
 ∂
 o
∂ y 
 x

De la deuxième relation on déduit :
Hy =
En posant
εo
Eo e − j β z
µo
εo
E o = H o , on a
µo
H y = H o e − j β z et on trouve
µ o H o2 = ε o E o2
Dimensions de
Dimensions de
1
µoεo
µo
εo
1
⇒
MLQ
⇒
−2
2 −3 2
Q L T M
MLQ − 2
2 −3 2
Q L T M
51
−1
−1
=
L2
T
2
=
L
= ms −1 = vitesse
T
= ML2 T −1Q − 2 = Ohm = impédance
Electromagnétisme
En résumé, l'onde qui se propage est une onde plane à polarisation transverse, les
champs Ex et Hy sont en phase dans le temps et en quadrature dans l'espace, c'est
une onde appelée transverse électrique et magnétique, (onde T.E.M.). Le plan d'onde
est contenu dans le plan xOy. L'association des ces deux champs constitue l'onde
électromagnétique, elle se déplace dans le vide d'impédance caractéristique
Z c = µ o ε o =377Ω, à la vitesse c = 1 µ o ε o = 3.108 ms −1. Le tableau ci-dessous
résume la forme de cette onde.
E x = Eo e − j β z
Ey = 0
Hx = 0
Ez = 0
Hz = 0
H y = Ho e − j β z
x
E
z
y
H
La présence d'un champ E ou H variable dans une zone de l'espace entraîne la
propagation d'un champ électrique et magnétique associés. Par exemple, si un courant
haute fréquence circule dans un fil métallique, il se crée un champ magnétique HF
autour de ce fil et ce champ H variable donne naissance à un champ E HF qui induit
lui même un autre champ H et ainsi de suite. Simultanément ces champs se déplacent
dans le vide à la vitesse de la lumière. Dans sa théorie, Maxwell a introduit les courants
de déplacement JD qui sont responsables de la naissance de H, c'est grâce à ces
courants que l'onde se propage et s'auto génère. En effet, une fois que cette onde
électromagnétique est créée, ne serait-ce que sur une seule période temporelle, elle se
suffit à elle-même pour s'entretenir et se déplacer dans l'espace tant qu'elle ne sera pas
absorbée par un milieu quelconque et ceci se perpétue malgré la suppression
éventuelle de la source.
52
Electromagnétisme
PROPAGATION DE L'ÉNERGIE
Contrairement aux ondes mécaniques ou acoustiques qui se propagent par le biais
des structures périodiques qu'elles traversent, les ondes électromagnétiques
semblent se propager sans aucun support matériel apparent. Dans l'état actuel de
nos connaissances, nous ne sommes pas en mesure d'expliquer concrètement ce qui
peut vibrer pour que ce type d'onde se déplace. Les physiciens du XIXe siècle
imaginaient un milieu hypothétique servant de support matériel aux ondes
électromagnétiques : l'éther mais cette idée a été abandonnée.
front d'onde à t
front d'onde à t+dt
ds Ex
c
Hy
dz
z
Considérons la section S du
front d'onde plane, dans
l'intervalle
dt
ce
front
progresse de dz.
L'énergie dU qui traverse la
surface S entre l'instant t et
l'instant t+dt, d'un plan
d'onde d'abscisse z est celle
qui remplit le volume
S dz=S.c.dt
En régime stationnaire:
dUs 1
= εo E 2
Jm-3)
dv
2
dUm 1
La densité volumique d'énergie électromagnétique est :
= µo H 2
dv
2
-3
Jm )
dU 1
2
2
La densité totale est :
= εo E + µo H
dv 2
La densité volumique d'énergie électrostatique est :
Dans un volume dv la valeur instantanée de l'énergie totale emmagasinée est donc
(voir relation 12 du formulaire) :
r
r
r ∂H
dU  r ∂ E
dv
= ε o E
+ µo H
∂t
dt 
∂ t 
En 1884, Maxwell a montré que ses équations pouvaient être utilisées pour
retrouver l'expression de la densité totale d'énergie.
53
Electromagnétisme
Pour cela, il faut remarquer que les équations ci-dessous représentent des Am-2 et des
Vm-2, pour ramener ces expressions à des Wm-3, il suffit de les multiplier
respectivement par E et H comme il est indiqué ci-dessous. On obtient :
r

∂D
rot H = J c +
∂t

r

rot E = − ∂ B

∂t
r
rr
r∂D
r
 E rot H = EJ c + E
∂t

r

− Hr rot E = Hr ∂ B

∂t
-2
(Am )
⇒
(Vm -2 )
(Wm -3 )
(Wm -3 )
La puissance totale transportée par l'onde électromagnétique est égale à la
puissance portée par le champ électrique ajoutée à la puissance du champ magnétique.
En tenant compte du fait que D=εoE et B=µoH, la somme de ces deux relations donne
:
r
r
r
r
r r
r∂ E
r∂H
+ µo H
E rot H − H rot E = E.J c + ε o E
∂t
∂t
En utilisant les relations 8 et 12 du formulaire on obtient :
r
r
r r
r r
r∂ E
r∂H
− div( E ∧ H ) = E.J c + ε o E
+ µo H
∂t
∂t
On reconnaît dans le membre de droite l'expression 19, soit :
On peut donc écrire :
r r
r r
1 dU
= − div( E ∧ H ) − E.J c
dv dt
1 dU
dv dt
La variation instantanée de l'énergie dans un volume v est donc:
r r
r r
dU
= − ∫∫∫ div( E ∧ H )dv − ∫∫∫ E.J c dv
v
v
dt
pertes par rayonnement
pertes dans le conducteur
Dans le cas de la propagation en espace libre, Jc n'existe pas. Le produit vectoriel :
r r r
P=E∧H
(Wm -2 )
14
est appelé vecteur de Poynting. En chaque point du champ, il donne la
direction de propagation de l'énergie et sa valeur donne l'énergie qui traverse l'unité
de surface par unité de temps. Pour l'onde TEM, P=Ex Hy. On peut aussi écrire :
r
r r
div
P
.
dv
=
P
∫∫∫
∫∫ dS , où S est la surface qui limite le volume v.
v
s
54
Electromagnétisme
Conséquences.
Pour une O.E.M. plane, de type T.E.M., en régime harmonique, on a :
E x = E o e − jβz e jωt dont la partie réelle est : E x = E o cos(β z − ωt )
> H y = H o e − jβz e jωt dont la partie réelle est : H y = H o cos(β z − ωt )
La valeur instantanée de P est :
E x H y = E o H o cos 2 (β z − ωt )
E x H y = EoEo
ExHy = E2
εo
cos 2 (β z − ωt )
µo
ε o 1 + cos 2(β z − ωt ) 

µ o 
2
La valeur moyenne de P est donc :
Pm =
1 εo 2
E
2 µo
Considérons une antenne ponctuelle qui
rayonne
selon
un
diagramme
de
rayonnement sphérique, une puissance Po,
située dans l’espace.
A une distance r de l’antenne, la densité
surfacique de puissance sera :
Po
Po
P=
( Wm − 2 )
=
2
S 4πr
antenne
r
Si on positionne maintenant la même
antenne au niveau du sol, en considérant le
sol comme totalement réflecteur, toute la
puissance se retrouvera répartie sur une
demi sphère. A la même distance r on aura
une densité surfacique de puissance :
Po
P=
( Wm − 2 )
2
2πr
Soit deux fois plus ! Les réflecteurs
paraboliques ont pour rôle de réduire le
diagramme de rayonnement dans l’espace.
Ainsi, en augmentant la directivité, on
obtient des densités de puissances
importantes sans modifier la puissance de
l’émetteur.
r
Sol
55
Electromagnétisme
En considérant le rayonnement selon un diagramme de rayonnement semi sphérique au
dessus du sol, la valeur moyenne du vecteur de Poynting est :
P=
Po
2πr 2
( Wm − 2 ) =
1 µo 2
E
2 εo
On en tire la valeur du champ E à une distance r de la source :
E=
Po µ o 1
π εo r
Application numérique.
A une distance de 100km on obtiebt une puissance moyenne de 160 10-8 Wm-2 à laquelle
il correspond un champ E de 0,035 Vm-1 .
A ce champ, il correspond un champ B=E/c= 1,15 10-10 Tesla.
Si on capte ce champ B par induction
dans une boucle, on obtient une f.e.m.
qui sera maximum quand la boucle est
⊥ aux lignes de champ de B.
f .e.m. = S
dB
= SωB ≈ 7.10 − 4 Volt
dt
La f.e.m. est très faible, on augmente le
nombre de spires pour constituer un
cadre récepteur connecté à un circuit
résonant suivi d’un amplificateur.
Cependant, la puissance disponible sera
toujours limitée par la puissance
contenue dans la surface réceptrice S.
56
B
fem
S=100cm2
F=100MHz