6 Applications à l`électromagnétisme

Electromagnétisme
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ÉLECTRICITÉ ET ÉLECTROMAGNÉTISME
Sous leur forme locale, les lois de l’électromagnétisme découlent de l’application
des théorèmes relatifs au calcul vectoriel, appliquées à la forme intégrale déjà
connue. On aboutit ainsi aux 4 équations de Maxwell, à partir desquelles on déduit
l’équation de propagation des ondes électromagnétiques.
THEOREME DE GAUSS
(Cf. électricité 1
ère
année)
Le champ électrique E produit par un ensemble de charges dérive du potentiel V :
VdagrE
r
r
−= (Vm-1)
Son rotationnel est donc nul
0Etor =
r
r
(
2−
Vm ) 1
Le théorème de Gauss permet de calculer le champ électrique produit par des
charges :
Le flux électrique est :
∫∫∫∫∫ ===Φ
vs
o
dvQsdE ρε
r
r
Le théorème de la divergence donne :
∫∫ ∫∫∫
=
s v
oo
dvEdivsdE
r
r
r
εε
o
Ediv
ε
ρ
=
r
Ddiv ρ=
r
Cm
−
3
2

Electromagnétisme
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DENSITÉ DE COURANT
Densité de courant J.
L'intensité du courant qui traverse une surface S est égale au flux de J à
travers S:
∫∫
=
s
sdJI r
r
3
J est la densité de courant exprimée en
Am
−
2
CONSERVATION DE L’ELECTRICITE
Selon le principe de conservation de l'énergie, on ne peut détruire ni créer des charges
électriques, la croissance ou la décroissance de charges dans un volume ne s'explique que
par la fuite ou l'arrivée de charges.
Dans un volume fermé, limité par une surface S contenant des
charges q, si on a une variation de charges, on a un courant J à
travers la surface.
dt
dq
i
i
dt
dq
i
dt
dq
−=
⇒<
⇒>
positif signe de donc sort, 0
négatif signe de donc entre, 0
∫∫∫∫∫∫∫∫
−=−==
vsv
dvJdivsdJdv
dt
d
dt
dq
r
r
r
. ρ
Par identification on obtient
0
t
Jdiv =
∂
ρ
∂
+
r
3−
Am 4
L'équation de continuité exprime que la matière (ou les charges électriques) ne
peut pas entrer ou sortir d'un volume sans traverser la surface qui limite ce volume.
La substance ne peut pas apparaître ou disparaître en un point.
J
S

Electromagnétisme
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RELATION DE MAXWELL-AMPÈRE
THÉORÈME D’AMPÈRE
(Cf. électricité 1
ère
année)
La circulation de la composante tangentielle de H le long d'un contour fermé est
égale au courant encerclé par le contour :
∫∫∫ ==
s
dsnJIldH .
r
r
r
r
D'après le théorèmes de Stoke :
∫ ∫∫
=
s
sdHtorldH
r
r
r
r
r
et
∫∫ ∫∫
=
s
sdHtorsdJ
s
r
r
r
r
r
c
JHtor
r
r
r
=
5
On retrouve le caractère tourbillonnaire décrit
dans l’étude du rotationnel d’un vecteur.
Les lignes de flux magnétique sont des courbes fermées sans point de départ ni point
d'arrivée à la différence du flux électrique qui part des charges positives et va vers les
charges négatives, toute ligne de flux entrant dans une surface fermée, doit en ressortir.
Par conséquent, les champs H n'ont ni source ni point de convergence, ce qui se traduit
par :
0=Bdiv
r
En résumé :
0
0
== == BdivDdiv
JHtorEtor
c
rr
r
r
r
r
r
ρ
Régime variable.
Si l’expression « rotationnel de H=Jc » restait valable pour les champs dépendant du
temps, on aurait div Jc=div(rot H)=0. Ceci est incompatible avec la relation de continuité:
div Jc=-∂ρ/∂t établie plus haut. Pour cette raison, Maxwell a postulé que
Dc
JJHtor
r
r
r
r
+=
6
H
Jc=Rot H

Electromagnétisme
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où JD est la densité de courant de déplacement définie par :
t
D
J
D
∂
∂
r
r
= ( )Am
−
2
7
En tenant compte de ce courant de déplacement, l'équation de continuité est
respectée, en effet :
t
D
divJdiv
JdivJdivHrotdiv
c
Dc
∂
∂
r
r
r
r
r
+=
+== 0)(
et puisque ρ =Ddiv
r
, on a toujours: 0=+ t Jdiv c
∂
ρ
∂
r
Le courant de déplacement à travers une surface ouverte S s'obtient de la même façon
que le courant de conduction.
Exemple : Si on prend un condensateur constitué de 2 plaques métalliques parallèles,
une tension appliquée à ses bornes provoque un courant de conduction ic dans les fils
de connection, choisissons deux surfaces S1 et S2 s'appuyant toutes les deux sur le
même contour fermé C, on trouve que le courant de conduction dans les fils et égal au
courant de déplacement dans l'espace qui sépare les plaques. En effet :
icC
dV
dt
S
d
dV
dt
= =
ε
et S
dt
dV
sd
dS
t
D
D
i∫∫ ==
ε
∂
∂
Le courant de conduction
i
c
= le courant de déplacement
i
D
En régime harmonique Ej
t
Do
r
r
ωε
∂
∂
= , donc à capacité égale
i
c
et
i
D
augmentent
avec
ω .
Jc

Electromagnétisme
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LOI DES F.E.M. D'INDUCTION
Un circuit placé en un point de l'espace où
règne une induction magnétique B variable
dans le temps voit apparaître une f.
e.m. à ses
bornes, c'est la loi de Lenz :
dt
d
e
t
B
φ
∂
∂
−=⇒≠0
r
8
où φ est le flux du vecteur induction B à travers la surface S limitée par le circuit fermé et
qui a pour valeur:
∫∫
=
s
dsnB
r
r
φ
Nous verrons qu'une variation de B entraîne l'existence du champ E, ce dernier permet
aussi de calculer la f.e.m aux bornes du circuit précédent, elle est donnée par la circulation
de E sur le contour C :
ldEe
t
r
r
∫
=
Des relations précédentes on déduit que
∫∫∫
−= sdnB
dt
d
ld
t
Err
r
r
r
Le théorème de Stokes permet de transformer le premier membre, on a:
∫∫∫ ∫∫
−== dsB
dt
d
dsEtorldE
r
r
r
r
r
on obtient directement :
t
B
Etor
∂
∂
r
r
r−=
)(0 )(
)( )(
32
32
−
−−
=+=
=−=
VmBdivAmJ
t
D
Htor
CmDdivVm
t
B
Etor
-
c
rr
r
r
r
r
r
r
∂
∂
ρ
∂
∂
9
f.e.m.
dB/dt