NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE

CHAPITRE
2
NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE
1 Rappels de trigonométrie
tan α
b
b
π
2
b
sin α
b
π
b
M(α)
b
α
b
0
cos α
3π
2
b
Figure 2.1 – Sinus, cosinus, tangente
Définition 2.1
• La tangente d’un nombre réel x, notée tan x, est définie pour tous les réels x sauf ceux de la forme
π
2 + kπ, k ∈ Z par
sin x
tan x =
cos x
• La cotangente d’un nombre réel x, notée cotan(x), est définie pour tous les réels x sauf ceux de la forme
kπ, k ∈ Z par
cos x
cotan(x) =
sin x
On a évidemment cotan(x) =
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1
tan x
pour tous les réels x sauf ceux de la forme k π2 , k ∈ Z.
1
Chapitre 2 – Nombres complexes et trigonométrie
sin x
sin x
M
b
M
b
π+x
x
− cos x
x
−x cos x
− sin x
cos x
b
− sin x
b
M′
M′
Sinus et cosinus de π + x
Sinus et cosinus de −x
M′
b
M′
cos x
sin x
b
b
M
−x
π−x
sin x
x
x
sin x
cos x
− cos x
b
M
cos x
Sinus et cosinus de π/2 − x
Sinus et cosinus de π − x
Figure 2.2 – Angles associés
2 Forme algébrique d’un nombre complexe
Théorème 2.2
Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique z = a + ib avec a, b ∈ R.
Remarques
• On parle de la forme algébrique de z.
• Attention, il n’y a unicité que si l’on force a et b à être réels : par exemple, 3 + i(1 + i) = 1 + i(1 − i) = 2 + i.
Proposition 2.3
• Tout nombre complexe z , 0 a un unique inverse, noté 1z , tel que z ×
• Soient z, z0 ∈ C. On a zz0 = 0 ⇔ (z = 0 ou z0 = 0).
1
z
= 1.
Exercice 2.1
1. Mettre sous forme algébrique (2 − 3i)3 .
2. Mettre sous forme algébrique
1
2+i .
3. Soient z ∈ C∗ , z = a + ib avec a, b ∈ R. Exprimer
1
z
en fonction de a et b.
19
4. Calculer i .
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2
Chapitre 2 – Nombres complexes et trigonométrie
Définition 2.4
Soit z = a + ib un nombre complexe sous forme algébrique (on a donc a, b ∈ R).
On appelle :
• partie réelle de z le nombre réel <(z) = a ;
• partie imaginaire de z le nombre réel =(z) = b ;
• conjugué de z le nombre complexe z = a − ib ; √
• module de z le nombre réel positif ou nul |z| = a2 + b2 .
Remarques
• Un complexe z est réel ssi sa partie imaginaire est nulle.
• Un complexe z est réel ssi z = z : c’est très souvent cette caractérisation qui est la plus utile.
• Un nombre complexe est dit imaginaire pur si sa partie réelle est nulle.
On note parfois iR l’ensemble des imaginaires purs : iR = {z ∈ C, <(z) = 0}.
Proposition 2.5
Conjugaison
Soient z, z1 , . . . , zn dans C et p ∈ Z.
• z1 + · · · + zn = z1 + · · · + zn
• z1 × · · · × zn = z1 × · · · × zn
• En particulier, z p = (z) p .
• z=z
!
1
1
• Si z , 0,
=
z
z
Proposition 2.6
Module
Soient z, z1 , . . . , zn dans C et p ∈ Z.
• |z1 × · · · × zn | = |z1 | × · · · × |zn |
• En particulier, |z p | = |z| p .
• Si z , 0, alors 1z = |z|1 .
• |z| = 0 ⇔ z = 0
2
• z.z
= |z|
n
n
P
P
• zi 6 |zi |
i=1 i=1
• En particulier, |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |.
inégalité triangulaire
Exemple 2.2
Une autre inégalité qu’il est bon d’avoir en tête et de savoir démontrer : |z1 | − |z2 | 6 |z1 + z2 |.
Proposition 2.7
Parties réelle et imaginaire
Soient z, z1 , . . . , zn ∈ C.
• <(z) = 12 (z + z)
• =(z) = 2i1 (z − z)
• <(z1 + · · · + zn ) = <(z1 ) + · · · + <(zn )
• =(z1 + · · · + zn ) = =(z1 ) + · · · + =(zn )
• |<(z)| 6 |z|
• |=(z)| 6 |z|
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3
Chapitre 2 – Nombres complexes et trigonométrie
• Si λ est réel, <(λz) = λ<(z).
• Si λ est réel, =(λz) = λ=(z).
Remarque
Attention, la partie réelle d’un produit (ou d’un quotient) n’est pas égale au produit (ou au quotient) des parties
réelles. De même pour la partie imaginaire.
3 Exponentielle complexe
3.1 Forme trigonométrique
Définition 2.8
Soit z = a + ib, avec a et b dans R, un nombre complexe.
On définit l’exponentielle de z par
exp(z) = exp(a + ib) = ea (cos b + i sin b)
Remarques
• Cette définition étend la fonction exponentielle aux nombres complexes ; on notera souvent ez pour exp(z).
• Pour tout z ∈ C, on a exp(z) , 0.
π
π
• On remarque que 1 = e0 , i = ei 2 , −1 = eiπ et −i = e−i 2 .
Proposition 2.9
Soient z, z0 ∈ C et n ∈ Z. On a
0
0
• ez+z = ez ez
• (ez )n = enz
• en particulier, e1z = e−z
• ez = ez
Exercice 2.3
Calculer (1 + i)2011 .
Remarque
Ces propriétés étendent celles de l’exponentielle réelle. Attention cependant à la deuxième : si l’on oublie que
1
π
1
1
n doit être entier, on écrit facilement des absurdités du type i = ei 2 = e2iπ× 4 = e2iπ 4 = 1 4 = 1 . . .
Proposition 2.10
Soit θ ∈ R. On a
• eiθ = cos θ + i sin θ
• (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)
iθ
−iθ
• cos θ = e +e
2
iθ
−iθ
• sin θ = e −e
2i
Moivre
Euler
Euler
Remarque
Ces formules permettent de transformer une expression du type sinn x (ou cosn x) en une somme de termes de
n
P
la forme
ak sin(kx) + bk cos(kx) : on dit qu’on linéarise, ce qui est très utile par exemple pour calculer des
k=0
primitives. L’opération inverse n’a pas de nom, mais sert également parfois.
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4
Chapitre 2 – Nombres complexes et trigonométrie
Exercice 2.4
Pour x ∈ R, exprimer :
1. cos(3x) et sin(3x) en fonction de cos x et sin x ;
2. sin3 x en fonction de sin(3x) et de sin x.
Exercice 2.5
Pour n ∈ N et x ∈ R, calculer
n
P
cos(kx) et
k=0
n
P
sin(kx).
k=0
Théorème 2.11
Forme trigonométrique d’un complexe
• Tout nombre complexe z peut s’écrire sous la forme ρeiθ avec ρ > 0 et θ ∈ R.
• Si θ, θ0 ∈ R et si ρ > 0 et ρ0 > 0, alors



ρ = ρ0




iθ
0 iθ0
ρe = ρ e ⇔ 
et




θ = θ0 + 2kπ, avec k ∈ Z
Remarques
• On note usuellement θ ≡ θ0 [2π] ou θ ≡ θ0 mod 2π pour ∃k ∈ Z, θ = θ0 + 2kπ. De même, θ = θ0 mod π
signifie ∃k ∈ Z, θ = θ0 + kπ.
• La condition ρ ∈ R+ assure l’unicité de ρ, qui est égal à |z|.
Définition 2.12
Si z = ρeiθ , avec ρ , 0, on dit que θ est un argument de z.
On note alors arg(z) ≡ θ[2π] ou arg(z) ≡ θ mod 2π.
Remarques
• 0 n’a pas d’argument.
• Parmi tous les arguments d’un complexe z , 0, un et un seul appartient à l’intervalle ] − π, π]. Cet argument
est dit argument principal de z.
Proposition 2.13
Argument
Soient z, z0 ∈ C∗ et n ∈ Z.
• arg(zz0 ) ≡ arg(z) + arg(z0 ) mod 2π
n
• arg(z
) ≡ n arg(z) mod 2π
1
• arg z ≡ − arg(z) mod 2π
• arg zz0 ≡ arg(z) − arg(z0 ) mod 2π
Remarque
Ces propriétés sont une simple traduction de celles déjà vues pour l’exponentielle complexe.
3.2 Plan complexe
−u ,→
−v ) s’identifie de manière naturelle à l’ensemble C : à un point
Le plan muni d’un repère orthonormé (O,→
M(x, y) on fait correspondre le complexe z = x + iy appelé affixe de M, et réciproquement. Cette identification
peut aussi se faire avec la forme trigonométrique de z en travaillant en coordonnées polaires : à un complexe
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5
Chapitre 2 – Nombres complexes et trigonométrie
non nul z = ρeiθ correspond le point du plan de coordonnées polaires (ρ, θ) (et donc de coordonnées cartésiennes
(ρ cos θ, ρ sin θ)).
Il est bon d’avoir en tête une représentation géométrique d’un certain nombre de définitions et propriétés sur
les complexes. Dans ce qui suit, on a, comme souvent, effacé la distinction entre complexe z et point d’affixe z.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
R correspond à l’axe des abscisses.
L’ensemble iR des imaginaires purs correspond à l’axe des ordonnées.
La partie réelle d’un complexe z est son projeté orthogonal sur l’axe des abscisses.
La partie imaginaire d’un complexe z n’est pas son projeté orthogonal sur l’axe des ordonnées.
|z − z0 | est la distance entre z et z0 .
En particulier, |z| est la distance entre z et l’origine.
Si a ∈ C et r ∈ R+ , l’ensemble {z ∈ C, |z − a| = r} est le cercle de rayon r et de centre a.
Soient z et z0 deux complexes non nuls. arg(z0 ) ≡ arg(z)[2π] ssi z0 ∈ [Oz).
Soient z et z0 deux complexes non nuls. arg(z0 ) ≡ arg(z)[π] ssi z0 ∈ (Oz).
−z est le symétrique de z par rapport à l’origine.
z est le symétrique de z par rapport à l’axe des abscisses.
Si r ∈ R∗+ , la transformation z 7→ rz est une homothétie de rapport r et de centre O.
Si θ ∈ R, la transformation z 7→ zeiθ est une rotation d’angle θ et de centre O.
Exercice 2.6
1. On considère deux complexes non nuls z1 = ρ1 eiθ1 et z2 = ρ2 eiθ2 . Donner une condition nécessaire
et suffisante sur θ1 et θ2 pour que |z1 + z2 | = |z1 | + |z2 |. Comment cette condition s’interprète-t-elle
géométriquement ?
2. Même question en passant cette fois par la forme algébrique de z1 et z2 .
−−→
Un complexe peut aussi être vu naturellement comme un vecteur du plan. z correspondra au vecteur OM, où M
−−→
est le point d’affixe z. Réciproquement, à un vecteur AB de coordonnées (x, y), on fera correspondre le complexe
−−→
−→ = x + iy dit affixe vectorielle de AB. Dans les propriétés suivantes, on a noté zA l’affixe d’un point A.
z−AB
−→ = z − z
• z−AB
−−→ B A
−→ = AB = |z B − zA |
• AB = z−AB


−−→ 
 zCD
−−→ −−→

• AB, CD = arg 
 (pour A , B et C , D)
−
−
→
zAB


−→ 
 z−AB
−−→
−−→


• AB est colinéaire à CD ssi 
 ∈ R (pour A , B et C , D).
−−→
zCD


−→ 
 z−AB
−−→
−−→


• AB est orthogonal à CD ssi 
 est imaginaire pur (pour A , B et C , D).
−−→
zCD
3.3 Complexes de module 1
Définition 2.14
On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1.
U = {z ∈ C, |z| = 1}.
Proposition 2.15
U = {eiθ , θ ∈ R} = {cos θ + i sin θ, θ ∈ R}
= {a + ib tels que a, b ∈ R et a2 + b2 = 1}
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6
Chapitre 2 – Nombres complexes et trigonométrie
Remarques
• La représentation naturelle d’un complexe de module 1 (à utiliser dans 99% des cas) est eiθ , θ ∈ R.
• Dans le plan complexe, U correspond au cercle unité (aussi appelé cercle trigonométrique).
Exercice 2.7
Soit z ∈ C. Montrer que |z| = 1 ⇔ z = 1z .
Théorème 2.16
Racines de l’unité
Pour tout n ∈ N∗ , l’équation zn = 1 a exactement n solutions dans C, appelées racines n-èmes de l’unité. On
a
o
n 2ikπ
{z ∈ C, zn = 1} = e n , k ∈ ~1, n
Remarques
• Les racines deuxièmes de l’unité sont 1 et −1, les racines quatrièmes 1, −1, i et −i.
2iπ
2iπ
2iπ
• Les racines troisièmes de l’unité sont e 3 , e− 3 et 1. On note souvent j pour e 3 et ces racines s’écrivent
2
3
alors j, j et 1(= j ).
3.4 Formules de trigonométrie
Proposition 2.17
Pour tous a, b ∈ R, on a :
• cos2 a + sin2 a = 1
• cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
• sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
• cos(2a) = cos2 a − sin2 a = 1 − 2 sin2 = 2 cos2 a − 1
• sin(2a) = 2 sin a cos a • cos a + cos b = 2 cos a+b
cos a−b
2
2
a−b
• sin a + sin b = 2 sin a+b
cos
2
2
1
2
, quand ces expressions ont un sens.
• 1 + tan a =
cos2 a
tan a + tan b
• tan(a + b) =
, quand ces expressions ont un sens.
1 − tan a tan b
Remarque
Il faut savoir que ces formules existent et, au choix, être capable de les retrouver rapidement ou les connaître
par cœur.
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7
Chapitre 2 – Nombres complexes et trigonométrie
4 Complexes et équations
4.1 Équations du second degré à coefficients réels
Soient a, b, c ∈ R avec a , 0. On considère l’équation (E) d’inconnue z ∈ C :
(E) : az2 + bz + c = 0
On pose ∆ = b2 − 4ac (∆ est donc un réel que l’on appelle discriminant de (E)).
Théorème 2.18
• Si ∆ > 0, l’équation (E) admet deux solutions réelles distinctes
√
√
−b − ∆
−b + ∆
et
2a
2a
• Si ∆ = 0, l’équation (E) admet une unique solution réelle (dite double)
−b
2a
• Si ∆ < 0, l’équation (E) admet deux racines complexes non réelles distinctes
√
√
−b − i |∆|
−b + i |∆|
et
2a
2a
Remarque
Si ∆ < 0, les deux solutions complexes de (E) sont conjuguées.
Proposition 2.19
Somme et produit des racines d’un trinôme
Soient z1 et z2 les deux solutions (éventuellement confondues) de (E). On a
z1 + z2 = −
b
a
et
z1 z2 =
c
a
4.2 Équations du type zn = a
Si a est un complexe non nul, l’équation zn = a possède exactement n racines distinctes dans C. Une méthode
possible pour les déterminer est exposée dans l’exemple suivant.
Exemple 2.8
√
Résolvons dans C l’équation (E) : z4 = −2 + 2i 3, d’inconnue z.
• On commence par mettre le membre de droite sous forme trigonométrique.
√
√
√
On a | − 2 + 2i 3| = 4 + 12 = 4, on cherche donc θ ∈ R tel que cos θ + i sin θ = − 12 + i 23 . D’après
√
2iπ
3
les valeurs remarquables de sin et cos, on peut prendre θ = 2π
3 , on a donc −2 + 2i 3 = 4e .
iα
• On cherche z sous forme trigonométrique z = ρe . Comme les solutions sont clairement non nulles,
on a
4
2iπ
(E) ⇔ ρeiα = 4e 3



(1)
ρ4 = 4
⇔ 

4α ≡ 2π [2π] (2)
3
Comme ρ est forcément un réel positif, la seule solution de (1) est ρ =
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√4
√
4 = 2.
8
Chapitre 2 – Nombres complexes et trigonométrie
π
π
L’équation (2) s’écrit ∃k ∈ Z, 4α = 2iπ
3 + 2kπ, ce qui équivaut à ∃k ∈ Z, α = 6 + k 2 . Cette
π 2π 7π
5π
équation a quatre solutions dans [0, 2π[ qui sont 6 , 3 , 6 et 3 . Les autres solutions dans R sont
toutes égales à l’une de ces solutions modulo 2π et ne donnent
pas
nouvelles
n √donc
o
√ de
√ 7iπ √solutions
iπ
2iπ
5iπ
pour (E). Finalement, l’ensemble des solutions de (E) est donc 2e 6 , 2e 3 , 2e 6 , 2e 3 .
Remarque
Si, pour une raison quelconque, on peut facilement déterminer une solution particulière z0 de l’équation
n (E) :
n
z = a, on peut facilement trouver les autres en résolvant l’équation (qui est alors équivalente à (E)) zz0 = 1.
Nous verrons un exemple en travaux dirigés (exercice 2.15).
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9
Chapitre 2 – Nombres complexes et trigonométrie
Travaux dirigés
Exercice 2.9
1. Soit θ un réel. Résoudre les équations d’inconnue réelle x suivantes :
cos(x) = cos(θ) , sin(x) = sin(θ) et tan(x) = tan(θ).
2. Soit n ∈ N∗ . Résoudre dans ]0, π[ l’équation cos(nx) = 0.
3. Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :
√
π
2 cos(2x + ) = 3;
3
1
sin(x) 6 − ;
2
2 cos2 (x) + 3 cos x + 1 = 0;
cos(2x) > 0;
π
tan(x + ) > −1;
4
√
cos(2x) − 3 sin(2x) = 1;
tan(x) 6 1;
sin2 x + 3 cos x − 1 < 0;
π
π
sin2 (2x + ) = cos2 (x + ).
6
3
Exercice 2.10
Mettre les nombres complexes suivants sous forme algébrique :
z1 = (5 − 3i)3
z2 =
4 − 3i
4 + 3i
z3 =
1
(4 − i)(3 + 2i)
z4 =
(3 + i)(2 − 3i)
5 + 2i
Exercice 2.11
Soit θ ∈ [0, 2π[. Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :
z1 = 1 + eiθ
z2 = 1 − eiθ
z3 =
1 − eiθ
1 + eiθ
z4 = (1 + i)3
z5 =
1 − 4i
1 + 5i
z6 =
Exercice 2.12
1 + 4i
1 − 5i
z7 =
(1 + i)2
.
1−i
Identité du parallélogramme
Montrer que :
∀(z, z0 ) ∈ C2 , |z + z0 |2 + |z − z0 |2 = 2(|z|2 + |z0 |2 ).
Interpréter géométriquement le résultat.
Exercice 2.13
1. Linéariser les expressions suivantes :
cos6 x; cos2 x sin4 x; sin5 x; cos3 (2x) sin3 x;
cos(2x) cos3 x.
2. Soit α un réel.
a. Calculer cos(5α) et sin(5α) en fonction de cos(α) et sin(α).
π
b. En déduire la valeur de cos 10
.
Exercice 2.14
Calculer pour tout entier naturel n et pour tous réels a et b les sommes suivantes.
!
n
X
n
1.
k sin(ka)
k
k=0
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10
Chapitre 2 – Nombres complexes et trigonométrie
!
n
X
k n
cos(ka + b)
2.
(−1)
k
k=0
Exercice 2.15
Déterminer les nombres complexes z tels que :
1.
2.
3.
4.
z2 − 3z + 4 = 0
z4 + z2 − 6 = 0
z2 = |z|
zz̄ + z + z̄ = 4
5.
6.
7.
8.
z4 − i = 0
z3 = −(2 + i)3
|z| = |z − 6 + 5i|
|z̄ + i| = 2
9. z(2z̄ + 1) = 1
z+4i
5z−3
∈R
z−1
11. < z+1
=0
10.
Exercice 2.16
Soit n ∈ N∗ . On pose u = exp
2iπ
n
. Montrer que
∀z ∈ C,
n X
z + uk
n
= n(zn + 1)
k=1
Exercice 2.17
Soient a, b et c trois nombres complexes de module 1 tels que a + b + c = 1. Le but est de montrer que l’un
au moins des trois nombres vaut 1.
1. Montrer que 1a + 1b + 1c = 1.
2. En déduire que ab + bc + ac = abc.
3. Montrer que (1 − a)(1 − b)(1 − c) = 0 et conclure.
Exercice 2.18
On note E = {z ∈ C, =(z) > 0} et F = {z ∈ C, |z| < 1}.
z−i
1. Montrer que : ∀z ∈ C, z ∈ E ⇒ z+i
∈ F.
2. On définit alors l’application :
f :
E
→
F
z−i
z 7→
z+i
a. Montrer que tout nombre complexe Z de F admet un antécédent par f dans E.
b. En déduire que f est bijective et déterminer f −1 .
3. On pose E1 = {z ∈ E; <(z) = 0} et E2 = {z ∈ E; |z| = 1} et on munit le plan d’un repère orthonormé
direct.
a. Déterminer l’ensemble f (E1 ) et le représenter graphiquement.
b. Déterminer l’ensemble f (E2 ) et le représenter graphiquement.
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11
Chapitre 2 – Nombres complexes et trigonométrie
Études
Exercice 2.19
2iπ
On note j = e 3 , et l’on considère un entier n > 1 ainsi que les sommes
!
n
X
n
A=
k
k=0
!
n
X
n k
B=
j
k
k=0
!
n
X
n 2k
C=
j
k
k=0
S =
X
063k6n
n
3k
!
1. Calculer A, B et C.
2. Calculer j3 et 1 + j + j2 .
3. Déterminer pour k ∈ N la valeur de 1 + jk + ( j2 )k . On distinguera suivant que k est de la forme 3m,
3m + 1 ou 3m + 2 avec m ∈ N.
(on pourra remarquer que
4. En déduire que A + B + C = 3S , puis que S = 13 2n + 2(−1)n cos 4nπ
3
j2 = j̄).
Exercice 2.20
Inversion dans le plan complexe
On rappelle que C∗ désigne l’ensemble des complexes non nuls et U l’ensemble des complexes de module
1. On considère l’application
ϕ : C∗ → C∗
z 7→ 1z̄
1. Montrer que ϕ est une bijection et déterminer sa bijection réciproque.
2. Déterminer f (U).
3. On considère le cercle C de rayon 21 et de centre le (point d’affixe) 12 , ainsi que la droite ∆ d’équation
z + z̄ = 2.
a. Représenter graphiquement ∆ et C.
b. Montrer que, pour tout z ∈ C, z ∈ C ⇔ 2zz̄ − z − z̄ = 0 (on dit que C a pour équation
2zz̄ − z − z̄ = 0).
c. Montrer que ϕ(∆) ⊂ C. Peut-on avoir l’égalité ?
d. On note C0 = C \ {0} (C0 est donc le cercle C privé de l’origine). Montrer que tout z ∈ C0 a un
antécédent dans ∆. On pensera à utiliser la bijection réciproque de ϕ.
e. En déduire que ϕ(∆) = C0 et ϕ(C0 ) = ∆.
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Chapitre 2 – Nombres complexes et trigonométrie
Exercices supplémentaires
Exercice 2.21
Soient a, b, c ∈ R. On suppose que
cos a + cos b + cos c = sin a + sin b + sin c = 0.
Montrer que
cos 2a + cos 2b + cos 2c = sin 2a + sin 2b + sin 2c = 0
Exercice 2.22
Soient u, v, z ∈ C tels que z = u + iv.


z=0




2
2
2
Montrer que |z| = u + v ⇔ 
ou




u, v ∈ R
Exercice 2.23
1. Montrer que ∀x ∈]0, π[ ∀n ∈ N∗ ,
n−1
P
k=0
sin((2k + 1)x) =
sin2 (nx)
sin x .
2. En déduire les solutions dans ]0, π[ de
sin x + sin 3x − sin 4x + sin 5x + sin 7x = 0
Exercice 2.24
Résoudre dans C l’équation <
z−1
z+1
= 0.
Exercice 2.25
On souhaite résoudre dans C l’équation 2z2 − (1 + 5i)z − 2(1 − i) = 0.
1. Déterminer δ ∈ C tel que δ2 = −2(4 + 3i).
2. En déduire les solutions de l’équation.
Exercice 2.26
Résoudre dans C :
1. z5 = 1 + i
2. z6 − 2z3 + 2 = 0
Exercice 2.27
Montrer que :
r
q
√
π
∀n > 2, 2 cos n = 2 + 2 + . . . 2 .
2
|
{z
}
n−1 symboles
√
Exercice 2.28
Soit z un complexe de module 1. Montrer que
|1 + z| > 1 ou 1 + z2 > 1 .
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Chapitre 2 – Nombres complexes et trigonométrie
Exercice 2.29
Soit z ∈ C. Montrer que
2
z − 1 < 8 ⇒ |z − 2| < 5
Exercice 2.30
Soit θ ∈ R et z ∈ C∗ . On suppose que z +
1
z
= 2 cos θ. Montrer que
∀n ∈ N, zn +
1
= 2 cos nθ
zn
Exercice 2.31
i
h
1. Montrer que pour a, b ∈ − π2 , π2 , on a
tan a − tan b =
sin(a − b)
cos a cos b
h
i
π π
, 2n la valeur de
2. En déduire pour n ∈ N et x ∈ − 2n
n
X
k=0
1
cos(kx) cos((k + 1)x)
Exercice 2.32
Résoudre l’équation z2 = 2 |z| + 3, d’inconnue z ∈ C.
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