NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE

CHAPITRE 2
NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE
1 Rappels de trigonométrie
M(α)
cosα
sinα
tanα
α
π
2
π
3π
2
0
Figure 2.1 – Sinus, cosinus, tangente
Définition 2.1
•La tangente d’un nombre réel x, notée tan x, est définie pour tous les réels xsauf ceux de la forme
π
2+kπ, k∈Zpar
tan x=sin x
cos x
•La cotangente d’un nombre réel x, notée cotan(x), est définie pour tous les réels xsauf ceux de la forme
kπ, k∈Zpar
cotan(x)=cos x
sin x
On a évidemment cotan(x)=1
tan xpour tous les réels xsauf ceux de la forme kπ 2,k∈Z.
Lyc´ ee du Parc – 851 1

Chapitre 2–Nombres complexes et trigonom´ etrie
M
x
cos x
sin x
M′
−x
−sin x
Sinus et cosinus de −x
M
xcos x
sin x
M′
π−x
−cos x
Sinus et cosinus de π−x
M
xcos x
sin x
M′
π+x
−cos x
−sin x
Sinus et cosinus de π+x
M
xcos x
sin x
M′
−x
sin x
cos x
Sinus et cosinus de π/2−x
Figure 2.2 – Angles associés
2 Forme algébrique d’un nombre complexe
Théorème 2.2
Tout nombre complexe zs’écrit de manière unique z=a+ib avec a,b∈R.
Remarques
•On parle de la forme algébrique de z.
•Attention, il n’y a unicité que si l’on force aet bà être réels : par exemple, 3 +i(1 +i)=1+i(1 −i)=2+i.
Proposition 2.3
•Tout nombre complexe z,0 a un unique inverse, noté 1
z, tel que z×1 z=1.
•Soient z,z0∈C. On a zz0=0⇔(z=0 ou z0=0).
Exercice 2.1
1. Mettre sous forme algébrique (2 −3i)3.
2. Mettre sous forme algébrique 1
2+i.
3. Soient z ∈C∗, z =a+ib avec a,b∈R. Exprimer 1
zen fonction de a et b.
4. Calculer i19.
Lyc´ ee du Parc – 851 2

Chapitre 2–Nombres complexes et trigonom´ etrie
Définition 2.4
Soit z=a+ib un nombre complexe sous forme algébrique (on a donc a,b∈R).
On appelle :
•partie réelle de zle nombre réel <(z)=a;
•partie imaginaire de zle nombre réel =(z)=b;
•conjugué de zle nombre complexe z=a−ib ;
•module de zle nombre réel positif ou nul |z|=√a2+b2.
Remarques
•Un complexe zest réel ssi sa partie imaginaire est nulle.
•Un complexe zest réel ssi z=z: c’est très souvent cette caractérisation qui est la plus utile.
•Un nombre complexe est dit imaginaire pur si sa partie réelle est nulle.
On note parfois iRl’ensemble des imaginaires purs : iR={z∈C,<(z)=0}.
Proposition 2.5
Conjugaison
Soient z,z1,...,zndans Cet p∈Z.
•z1+··· +zn=z1+··· +zn
•z1× ··· × zn=z1× ··· × zn
•En particulier, zp=(z)p.
•z=z
•Si z,0, 1
z!=1 z
Proposition 2.6
Module
Soient z,z1,...,zndans Cet p∈Z.
• |z1× ··· × zn|=|z1|×···×|zn|
•En particulier, |zp|=|z|p.
•Si z,0, alors 1
z=1 |z|.
• |z|=0⇔z=0
•z.z=|z|2
•
n
P
i=1zi
6
n
P
i=1|zi|inégalité triangulaire
•En particulier, |z1+z2|6|z1|+|z2|.
Exemple 2.2
Une autre inégalité qu’il est bon d’avoir en tête et de savoir démontrer : |z1|−|z2|6|z1+z2|.
Proposition 2.7
Parties réelle et imaginaire
Soient z,z1,...,zn∈C.
• <(z)=1
2(z+z)
• =(z)=1
2i(z−z)
• <(z1+··· +zn)=<(z1)+··· +<(zn)
• =(z1+··· +zn)==(z1)+··· +=(zn)
• |<(z)|6|z|
• |=(z)|6|z|
Lyc´ ee du Parc – 851 3

Chapitre 2–Nombres complexes et trigonom´ etrie
•Si λest réel, <(λz)=λ<(z).
•Si λest réel, =(λz)=λ=(z).
Remarque
Attention, la partie réelle d’un produit (ou d’un quotient) n’est pas égale au produit (ou au quotient) des parties
réelles. De même pour la partie imaginaire.
3 Exponentielle complexe
3.1 Forme trigonométrique
Définition 2.8
Soit z=a+ib, avec aet bdans R, un nombre complexe.
On définit l’exponentielle de zpar
exp(z)=exp(a+ib)=ea(cos b+isin b)
Remarques
•Cette définition étend la fonction exponentielle aux nombres complexes ; on notera souvent ezpour exp(z).
•Pour tout z∈C, on a exp(z),0.
•On remarque que 1 =e0,i=eiπ
2,−1=eiπet −i=e−iπ 2.
Proposition 2.9
Soient z,z0∈Cet n∈Z. On a
•ez+z0=ezez0
•(ez)n=enz
•en particulier, 1
ez=e−z
•ez=ez
Exercice 2.3
Calculer (1 +i)2011.
Remarque
Ces propriétés étendent celles de l’exponentielle réelle. Attention cependant à la deuxième : si l’on oublie que
ndoit être entier, on écrit facilement des absurdités du type i=eiπ
2=e2iπ×1 4=e2iπ1
4=11
4=1. . .
Proposition 2.10
Soit θ∈R. On a
•eiθ=cos θ+isin θ
•(cos θ+isin θ)n=cos(nθ)+isin(nθ)Moivre
•cos θ=eiθ+e−iθ
2Euler
•sin θ=eiθ−e−iθ
2iEuler
Remarque
Ces formules permettent de transformer une expression du type sinnx(ou cosnx) en une somme de termes de
la forme n
P
k=0aksin(kx)+bkcos(kx): on dit qu’on linéarise, ce qui est très utile par exemple pour calculer des
primitives. L’opération inverse n’a pas de nom, mais sert également parfois.
Lyc´ ee du Parc – 851 4

Chapitre 2–Nombres complexes et trigonom´ etrie
Exercice 2.4
Pour x ∈R, exprimer :
1. cos(3x)et sin(3x)en fonction de cos x et sin x ;
2. sin3x en fonction de sin(3x)et de sin x.
Exercice 2.5
Pour n ∈Net x ∈R, calculer
n
P
k=0cos(kx)et
n
P
k=0sin(kx).
Théorème 2.11
Forme trigonométrique d’un complexe
•Tout nombre complexe zpeut s’écrire sous la forme ρeiθavec ρ>0 et θ∈R.
•Si θ, θ0∈Ret si ρ > 0 et ρ0>0, alors
ρeiθ=ρ0eiθ0⇔
ρ=ρ0
et
θ=θ0+2kπ, avec k∈Z
Remarques
•On note usuellement θ≡θ0[2π] ou θ≡θ0mod 2πpour ∃k∈Z, θ =θ0+2kπ. De même, θ=θ0mod π
signifie ∃k∈Z, θ =θ0+kπ.
•La condition ρ∈R+assure l’unicité de ρ, qui est égal à |z|.
Définition 2.12
Si z=ρeiθ, avec ρ,0, on dit que θest un argument de z.
On note alors arg(z)≡θ[2π] ou arg(z)≡θmod 2π.
Remarques
•0 n’a pas d’argument.
•Parmi tous les arguments d’un complexe z,0, un et un seul appartient à l’intervalle ] −π, π]. Cet argument
est dit argument principal de z.
Proposition 2.13
Argument
Soient z,z0∈C∗et n∈Z.
•arg(zz0)≡arg(z)+arg(z0) mod 2π
•arg(zn)≡narg(z) mod 2π
•arg 1
z≡ −arg(z) mod 2π
•arg z
z0≡arg(z)−arg(z0) mod 2π
Remarque
Ces propriétés sont une simple traduction de celles déjà vues pour l’exponentielle complexe.
3.2 Plan complexe
Le plan muni d’un repère orthonormé (O,−→ u,−→ v) s’identifie de manière naturelle à l’ensemble C: à un point
M(x,y) on fait correspondre le complexe z=x+iy appelé affixe de M, et réciproquement. Cette identification
peut aussi se faire avec la forme trigonométrique de zen travaillant en coordonnées polaires : à un complexe
Lyc´ ee du Parc – 851 5