TRIGONOMETRIE 1 GENERALITES: LE TRIANGLE

11PS - TRIGONOMETRIE
GENERALITES: LE TRIANGLE
P. Rendulić 2007
1
TRIGONOMETRIE
1
GENERALITES: LE TRIANGLE
1.1
Définition
Trois points A, B et C non confondus du plan euclidien forment un triangle ABC.
C
•
α, β et γ sont les angles internes du
triangle
γ
•
on a : α + β + γ = 180°
•
AB, BC et AC sont les côtés du triangle
β
B
α
A
1.2
Aire ou surface d’un triangle
h
h
a
a
La surface S du triangle est donnée par:
S=
1
⋅a⋅h
2
où a est la base du triangle et h est la hauteur du triangle.
Des triangles de même base et de même hauteur ont même surface.
1.3
Cas spéciaux
1.3.1
triangle isocèle
B
β
propriétés :
α
β'
C
A
•
2 côtés égaux : AC = BC
•
2 angles égaux : β = β '
11PS - TRIGONOMETRIE
1.3.2
P. Rendulić 2007
LE TRIANGLE RECTANGLE
2
triangle équilatéral
C
propriétés :
α''
α
A
1.3.3
•
3 côtés égaux : AB = BC = AC
•
3 angles égaux : α = α' = α ' ' = 60°
α'
B
triangle rectangle
propriété :
•
2
LE TRIANGLE RECTANGLE
2.1
Définition
un angle est droit (90°)
Un triangle est dit rectangle lorsqu’il contient un angle droit (90°).
On appelle hypoténuse le côté opposé à
l’angle droit. C’est toujours le côté le plus long
du triangle rectangle.
2.1.1 Propriétés
• α et β sont des angles aigus ( α < 90° et β < 90° )
•
On a: α + β = 90°
•
Si on prend un côté adjacent à l’angle droit comme base du triangle rectangle alors
l’autre côté adjacent à l’angle droit est la hauteur du triangle rectangle.
11PS - TRIGONOMETRIE
2.2
P. Rendulić 2007
LE TRIANGLE RECTANGLE
3
Le théorème de Pythagore (570 – 510 av. J.C.)
Pour un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés adjacents à
l’angle droit est égale au carré de l’hypoténuse.
a2 + b2 = c 2
2.2.1
Démonstration
b
a
a
c
c
b
c
b
L’aire du grand carré (de côté a + b) est égale
à la somme des aires des 4 triangles de base
b et de hauteur a et du petit carré de côté c.
Alors :
1
(a + b )2 = 4 ⋅ ( ⋅ a ⋅ b ) + c 2
2
⇔ a2 + b2 + 2 ⋅ a ⋅ b = 2 ⋅ a ⋅ b + c 2
⇔ a2 + b2 = c 2
c
a
a
2.2.2
QED
b
Réciproque
Si pour un triangle de côtés a, b et c, où c est le côté le plus grand, on a a 2 + b 2 = c 2 , alors le
triangle est rectangle.
2.2.3 Exemple
Le triangle de côtés 3, 4, 5 est rectangle.
On a en effet :
3 cm
5 cm
a2 + b2 = c 2
⇔ (3 cm)2 + ( 4 cm)2 = (5 cm)2
⇔ 9 cm 2 + 16 cm 2 = 25 cm 2
4 cm
⇔ 25 = 25
11PS - TRIGONOMETRIE
2.3
P. Rendulić 2007
LE TRIANGLE RECTANGLE
4
Exercices
2.3.1 Exercice
Vérifier que les triangles suivants, définis par les longueurs de leurs côtés, sont tous
rectangles:
•
5, 6, 11
•
11,
•
15, 8, 17
23 , 12
2.3.2 Le mur et l’échelle
La hauteur du mur est 5 m et la longueur de l’échelle 5,20 m. De combien le pied de l’échelle
s’écarte-t-il du mur?
2.3.3 Diagonale d’un carré
Soit un carré de côté a. Trouver la valeur de sa diagonale. Application numérique : a = 10 cm.
2.3.4 Hauteur d’un triangle équilatéral
Soit un triangle équilatéral de côté a. Trouver la valeur de son hauteur. Application
numérique : a = 10 cm.
2.3.5 Corde
Tu disposes d’une corde avec une longueur d’environ 7 m, d’une règle de 2 m et d’un
morceau de craie. Comment peux-tu procéder pour tracer un carré avec des côtés de 1,8 m
sur le sol ? Explique !
11PS - TRIGONOMETRIE
LE TRIANGLE RECTANGLE
P. Rendulić 2007
2.4
Trigonométrie dans le triangle rectangle
2.4.1
Cosinus, sinus et tangente d’un angle
5
Dans un triangle rectangle on définit les rapports de côtés suivants:
2.4.2
Remarques
•
On a : tan α =
sin α =
côté opposé à α
hypoténuse
SINUS de l’angle α
cos α =
côté adjacent à α
hypoténuse
COSINUS de l’angle α
tan α =
côté opposé à α
côté adjacent à α
TANGENTE de l’angle α
sin α
cos α
démonstration : tan α =
•
1
sin α
c. opp. c. opp. c. hyp
=
⋅
= sin α ⋅
=
cos α cos α
c. adj. c. hyp. c. adj.
On a toujours : cos2 α + sin2 α = 1
démonstration :
2
2
⎛a⎞ ⎛b⎞
cos2 α + sin2 α = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝c⎠ ⎝c⎠
2
2
a
b
1
1
2
2
= 2 + 2 = 2 ⋅ (1
a4
+4
b3
) = 2 ⋅ c2 = 1
2
c
c
c
c
2
=c
QED
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LE TRIANGLE RECTANGLE
P. Rendulić 2007
6
2.4.3 Valeurs remarquables de cos, sin et tan
De telles valeurs sont à connaître par coeur. On les établit en considérant le carré et le
triangle équilatéral. On a:
2
1
1
30°
3
2
60°
45°
1
2
1
(Rappel: diagonale du carré de côté (Rappel: hauteur du triangle
a: d = 2 ⋅ a )
3
équilatéral de côté a: h =
⋅a)
2
1
cos 45° =
=
2
2
2
=
2
2⋅ 2
3
3
cos 30° = 2 =
1
2
1
sin 45° =
=
2
2
2
=
2
2⋅ 2
1
1
sin 30° = 2 =
1 2
1
sin 30°
1
3
tan 30° =
= 2 =
=
cos 30°
3
3
3
2
2
sin 45°
tan 45° =
= 2 =1
cos 45°
2
2
1
1
cos 60° = 2 =
1 2
3
3
sin 60° = 2 =
1
2
3
sin 60°
tan 60° =
= 2 = 3
1
cos 60°
2
11PS - TRIGONOMETRIE
2.4.4
2.5
LE TRIANGLE RECTANGLE
P. Rendulić 2007
7
Tableau récapitulatif
α
0°
cos α
1
sin α
0
tan α
0
30°
45°
60°
90°
3
2
1
2
2
2
1
2
0
2
2
3
2
1
1
3
/
3
3
Exercices
2.5.1 Calculs dans le triangle rectangle
Soit le triangle rectangle représenté sur la figure ci-dessous :
c
b
a
Dans chaque cas, calculer les côtés et angles manquants.
a. a = 6 cm, α = 60°
b. a = 8 cm, β = 30°
c. a = 10 cm, b = 6cm
d. c = 12 cm, α = 25°
e. c = 12 cm, a = 10 cm
f. α = 55°, β = 35°, c = 20 cm
g. a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5cm
2.5.2 Perimètre d’un rectangle
Calculer le périmètre d’un rectangle sachant que ses diagonales ont pour longueur 8 cm et
qu’elles forment un angle aigu de 36°.
2.5.3 Exercice
Quel est l’angle aigu formé par les diagonales d’un rectangle de longueur 12 cm et de largeur
8 cm?
11PS - TRIGONOMETRIE
P. Rendulić 2007
LE TRIANGLE RECTANGLE
8
2.5.4 La hauteur de la tour
Calculer la hauteur h de la tour avec les données portées sur la figure.
2.5.5 Exercice
Soit ABC un triangle rectangle en A et H le pied sur [BC] de la hauteur issue de A.
a. Montrer que
AH AC
AH AB
=
=
et que
.
BH AB
CH AC
b. En déduire que AH 2 = HB ⋅ HC .
2.5.6 Le puits
Voici une technique utilisée dans l’Antiquité pour mesurer la profondeur d’un puits. En plaçant
son oeil à 1,50 m de hauteur et à 1 m d’un puits de 1,20 m de diamètre, le bord du puits
cache juste la ligne de fond. Quelle est la profondeur du puits?
2.5.7
Hauteur d’une montagne
Les points A et B sont distants de 600 m (à vol de l’oiseau) et situés à une altitude de 1 250
m.
a.
Calculer BH en fonction de h.
b.
En déduire que h est solution de l’équation : h = 600 ⋅ tan 40° +
c.
Donner une valeur approchée de h.
d.
Quelle est l’altitude du sommet S ?
h 3
tan 40° .
3
11PS - TRIGONOMETRIE
CERCLE TRIGONOMETRIQUE
P. Rendulić 2007
3
CERCLE TRIGONOMETRIQUE
3.1
Le radian
3.1.1
Définition
L’angle plat mesure π radians (notation: rad).
La mesure d’un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés.
3.1.2 Tableau de conversion
Pour convertir 130° en radians, on procède de la manière suivante.
π
ce qui donne
3.1.3
180
=
radians
π
x
degrés
180°
130°
x
130
et x =
π = 2,27rad
130
180
Formules de conversion
α rad = α deg ⋅
3.1.4
π
α deg = α rad ⋅
180
180
π
Angles remarquables
angle
plat
plein
droit
fig. a
fig. b
fig. b
mesure en degrés
180
360
90
45
60
30
mesure en radians
π
2π
π/2
π/4
π/3
π/6
π
4
π
2
π
6
π
4
a. triangle rectangle isocèle
π
3
π
2
b. triangle équilatéral
9
11PS - TRIGONOMETRIE
3.1.5 Exercice
Convertir en radians :
Convertir en degrés :
3.1.6
CERCLE TRIGONOMETRIQUE 10
P. Rendulić 2007
36° ; 345° ; 15° ;135° ; 210° ; 150° ; 72° ; 22,5° ; 54
2π 3π 5π
5π 5π
π
13π
;
;
;1;
;
;
;2;3;
; 1,56
3
4
6
12 18 16
120
Longueur d’un arc
Un arc de cercle de rayon R et d’angle au centre α (en radians) a pour
longueur L = α R
L=αR
R
3.1.7 Exercice
Calculer la longueur d’un arc de cercle de rayon 4 cm et d’angle
3.2
•
π / 3 rad
•
50°
Le cercle trigonométrique
Fixons un repère (O, I, J) du plan.
Le cercle C de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (de I vers
J par le plus court chemin), est appelé cercle trigonométrique.
J
1
1
I
se
n
C
sd
ire
ct
O
Remarque : le sens direct (ou positif) correspond au sens inverse des aiguilles d’une
montre.
11PS - TRIGONOMETRIE
3.2.1
P. Rendulić 2007
CERCLE TRIGONOMETRIQUE 11
Mesure d’un arc orienté
B
Considérons, sur le cercle trigonométrique, un
arc d’extrémités A et B et de longueur α ; l’angle
au centre AOB qui l’intercepte a donc pour
mesure α en radians.
A
L’intérêt se porte sur les longueurs des trajets
reliant A à B le long du cercle trigonométrique.
On convient de noter ces longueurs :
1
dir
ec
t
O
se
ns
C
•
positivement si les trajets sont effectués dans le sens direct
•
négativement si les trajets sont effectués dans le sens indirect
Ces trajets ont pour longueurs possibles, en effectuant éventuellement une ou plusieurs fois
le tour du cercle
•
α, α + 2 π, α + 4 π, α + 6 π, … (sens direct)
•
α, α - 2 π, α - 4 π, α - 6 π, … (sens indirect)
Remarque : 2 π est la longueur d’un tour supplémentaire
Soient A et B deux points du cercle trigonométrique.
Si α est une mesure de l’arc orienté AB, toutes les autres mesures sont de la
forme α + 2 k π ( k ∈ Z ).
Une seule de ces mesures appartient à l’intervalle ] – π, π]. Elle est appelée
mesure principale de l’arc orienté AB.
3.2.2
Exercice
2π
3
B
π
3
C
O
A
Trouver les mesures principales pour les arcs
suivants :
•
AB
•
BC
•
CB
•
AC
•
CA
11PS - TRIGONOMETRIE
3.3
CERCLE TRIGONOMETRIQUE 12
P. Rendulić 2007
Cosinus, sinus et tangente
J
Soit x un nombre réel et M le point du cercle
trigonométrique associé à x (x est une mesure de l’arc
de cercle IM).
M
S
1
sin x
x C
O cos x
I’
On appelle cosinus de x et sinus de x les
coordonnées de M dans le repère (O, I, J). On les note
cos x et sin x. Ainsi M (cos x, sin x).
I
Si cos x ≠ 0, on appelle tangente de x le réel défini
par : tan x = sin x / cos x.
J’
En effet, on a (dans le triangle rectangle CMO):
OC OC
=
1
OM
⇔
OC = cos x
CM OS OS
=
=
1
OM OM
⇔
OS = sin x
•
cos x =
•
sin x =
3.3.1
Valeurs de cos x, sin x, tan x
x =0
x=
π
2
x =π
x=
3π
2
L’examen du cercle trigonométrique permet d’étendre les notions de cosinus, sinus et
tangente à des angles supérieurs à 90° :
x
0
π/2
π
3π/2
cos x
1
0
-1
0
sin x
0
1
0
-1
tan x
0
non déf.
0
non déf.
11PS - TRIGONOMETRIE
3.3.2
CERCLE TRIGONOMETRIQUE 13
P. Rendulić 2007
Relations élémentaires
cos( x + 2kπ ) = cos x
et
sin( x + 2kπ ) = sin x
− 1 ≤ cos x ≤ 1
et
− 1 ≤ sin x ≤ 1
cos 2 x + sin 2 x = 1
3.3.3 Signes de cos x, sin x et tan x
Les signes sont aisément déterminés par lecture directe sur le cercle trigonométrique:
tan x ≤ 0
J
cos x ≤ 0
sin x ≥ 0
tan x ≥ 0
I
I’
tan x ≥ 0
cos x ≥ 0
sin x ≥ 0
cos x ≤ 0
sin x ≤ 0
cos x ≥ 0
sin x ≤ 0
tan x ≤ 0
J’
3.4
Cosinus et sinus des angles associés
Les angles, ou nombres associés à x, sont – x, π – x et π +x. Leur cosinus et leur sinus se
retrouvent par une lecture efficace des configurations du rectangle et des angles
complémentaires.
•
Configuration du rectangle
J
M' (cos( π − x ), sin( π − x ))
M’
M (cos x , sin x )
M
π−x
π+x
x
I’
I
−x
N’
N
N' (cos( π + x ), sin( π + x ))
N (cos( − x ), sin( − x ))
J’
11PS - TRIGONOMETRIE
P. Rendulić 2007
CERCLE TRIGONOMETRIQUE 14
On a:
cos( π − x ) = − cos x
sin( π − x ) = sin x
•
cos( π + x ) = − cos x
sin( π + x ) = − sin x
cos( − x ) = cos x
sin( − x ) = − sin x
Configuration des angles complémentaires
J
π
−x
2
π
π
⎛
⎞
M' ⎜ cos( − x ), sin( − x ) ⎟
2
2
⎝
⎠
M’
y=x
M (cos x , sin x )
M
x
I
O
Deux points de C associés à des angles complémentaires sont symétriques par rapport à la
droite y =x. De ce fait leurs coordonnées sont échangées : si l’un a pour coordonnée (a, b),
l’autre a pour coordonnées (b, a). Voilà qui explique les relations suivantes :
⎛π
⎞
cos ⎜ − x ⎟ = sin x
⎝2
⎠
⎛π
⎞
sin⎜ − x ⎟ = cos x
⎝2
⎠
11PS - TRIGONOMETRIE
3.5
P. Rendulić 2007
CERCLE TRIGONOMETRIQUE 15
Exercices
a. Un arc AB d’un cercle de centre O a une longueur égale au rayon du cercle. Evaluer
l’angle AOB en radians, puis en degrés.
b. Calculer le périmètre et la surface de la partie coloriée dans la figure ci-dessous :
B
1m
1m
O
A
c. Le mille marin, unité utilisée en navigation, correspond à la distance de deux points de la
surface terrestre situés sur le même méridien et dont les latitudes diffèrent d’une minute
d’angle. En estimant que la sphère terrestre a un rayon moyen de 6 367 km, déterminer la
valeur (en mètres) d’un mille marin.
d. Donner la mesure principale des angles dont une mesure est :
e.
4π
3π
13π 32π
3π
, −
, −π ,
,
, 2π ,
2
3
4
6
5
f. Déterminer la valeur exacte du cosinus, du sinus et de la tangente des réels suivants :
g.
2π 4π
8π 11π
13π
π
π 5π 3π 5π
π 7π
,
, − , − ,
,
,
, − ,
, −
,
, −
3
3
3
4 4
4
6
6 6
3
6
4
11PS - TRIGONOMETRIE
FONCTIONS SINUS ET COSINUS 16
P. Rendulić 2007
4
FONCTIONS SINUS ET COSINUS
4.1
Rappels
Une fonction f définie sur un intervalle I associe à chaque nombre x de cet intervalle un
nombre réel et un seul, noté f(x).
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, x, y). Soit f une fonction définie sur I. Lorsque
x décrit I, l’ensemble de tous les points M du plan, de coordonnées (x, f(x)), est la courbe
représentative de f sur I.
Exemple
Soit f définie sur I = [-1, 2 ] par f (x) = x –x2
Tracer la courbe représentative.
x
-1
-0,5
0
0,5
1
1
2
1,5
2
f (x)
1
-1
O
y
x
-1
-2
4.2
Courbes représentatives de sin x et cos x
Tracer les courbes en question sur l’intervalle I = [ -2 π, 4 π ]. (Utiliser les valeurs
remarquables connues.)
O
y
1
cos x
O
1
y
sin x
FONCTIONS SINUS ET COSINUS 17
x
P. Rendulić 2007
x
11PS - TRIGONOMETRIE