Résumé du cours

Résumé du cours
Probabilités conditionnelles
Soit Bun événement de probabilité non nulle.
On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B, la probabilité que A soit réalisé sachant
que B est réalisée, on note cette probabilité pB(A) et
pB(A)=p¡A∩B¢
p(B)
Définition 1
Le calcul d’une telle probabilité peut s’effectuer directement, d’après l’énoncé de l’exercice.
Cette dernière relation écrite sous la forme
p¡A∩B¢=pB(A)×p(B)
permet de calculer la probabilité d’une intersection en fonction d’une probabilité conditionnelle.
Si la probabilité que A soit réalisé ne dépend pas de B, on dit que les événements A et B sont
indépendants et alors
pA(B)=p(B) et pB(A)=p(A)
Définition 2
Si A et B sont indépendants, il en est de même de Aet B, de A et B,
ainsi que de Aet B
Propriété 1
A et B sont indépendants si et seulement si
p¡A∩B¢=p(A)×p(B)
Théorème 1
Formule des probabilités totales.
• Soit B un événement de probabilité non nulle, et soit A un événement quelconque.
p(A)=p¡A∩B¢+p¡A∩B¢=pB(A)×p(B)+pB(A)×p¡B¢
Théorème 2
84 Sommaire chapitre 2 Francis CORTADO

Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Variable aléatoire discrète
a. Une variable aléatoire discrète est une fonction X définie sur Ω, qui a tout élément de
Ωfait correspondre un réel. X ne prenant qu’un nombre fini de valeurs xide probabilité
pi.
b. On appelle espérance mathématique de X le nombre réel noté E(X), définit par
E(X)=
n
X
i=1
xi·pi
c. On appelle variance de X le nombre réel noté V(X), définit par
V(X)=
n
X
i=1¡xi−E(X)¢2·pi=
n
X
i=1
x2
i·pi−¡E(X)¢2
d. On appelle écart type de X le nombre réel noté σ(X), définit par
σ(X)=pV(X)
Définition 3
On montre que
E¡aX+b¢=aE(X)+bet V¡aX+b¢=a2V(X)
Propriété 2
On appelle épreuve de Bernoulli une épreuve a deux issues possibles appelées succès de pro-
babilité p, et échec de probabilité q=1−p
Définition 4
On appelle schéma de Bernoulli une suite de népreuves de Bernoulli identiques et indépen-
dantes deux à deux.
Définition 5
On appelle loi binomiale de paramètres net p, la variable aléatoire Xqui donne le nombre
de succès obtenu au cours d’un schéma de Bernoulli.
Définition 6
La loi de probabilité de Xest donnée par
p¡X=k¢=Ãn
k!pkqn−kpour 06k6n
Théorème 3
L’espérance et la variance d’une loi binomiale Xde paramètres net psont :
E(X)=np et V(X)=npq
Propriété 3
Francis CORTADO Sommaire chapitre 2 85