23-11

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Chapitre 23– Exercice 11
Cylindre en rotation dans un champ magnétique stationnaire
1. Le courant volumique J a pour expression :
J = g(E + V × Ba ) = gV × Ba
E=0
puisque
dans le référentiel du laboratoire. En explicitant en coordonnées cylindriques r, w, z , il vient :
J = grVBa (ew × ex ) = −grVBa sin w +
p
ez = −grVBa cos w ez
2
2. Le moment des actions électromagnétiques de Laplace qu’exerce le champ magnétique est :
GL =
Z
r × (J × Ba ) d V =
Z
(r er + z ez ) × (J × Ba ) d V =
En intégrant, on obtient GL = GL ez avec :
GL = gVB2a
Z
r2 cos2 w d V = gVB2a
Z
R
r3 d r
0
Z
0
−3
L’application numérique donne : GL = 92, 7 × 10
Laplace :
P L = GL · V =
2p
Z
JBa r (er × ey ) d r r d w d z
1 + cos(2w)
2
dw
Z
0
L
dz =
gB2a VpR4 L
4
N · m . Il en résulte pour la puissance suivante des forces de
gB2a V2 pR4 L
= 29, 1 W
4
3. La puissance dissipée par effet Joule est :
PJ = −
Z
Z
gB2 V2 pR4 L
J2
dV = −
= −29, 1 W
gV2 r2 cos2 w B2a r d r d w d z = − a
4
V g
V
4. L’énergie mécanique étant constante, la puissance des forces de Laplace est compensée par la puissance
mécanique Pm qui permet de faire tourner le cylindre :
Pm + PL = 0 d’où
Pm = −PL = 29, 1 W
L’énergie électromágnétique étant constante, on vérifie bien, en l’absence de vecteur de Poynting ( E = 0 ), que la
somme des termes de production d’énergie électromagnétique est nulle : PJ − PL = 0 . On retrouve bien l’égalité :
PJ = PL .
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