Chapitre 23– Exercice 11 Cylindre en rotation dans un champ magnétique stationnaire 1. Le courant volumique J a pour expression : J = g(E + V × Ba ) = gV × Ba E=0 puisque dans le référentiel du laboratoire. En explicitant en coordonnées cylindriques r, w, z , il vient : J = grVBa (ew × ex ) = −grVBa sin w + p ez = −grVBa cos w ez 2 2. Le moment des actions électromagnétiques de Laplace qu’exerce le champ magnétique est : GL = Z r × (J × Ba ) d V = Z (r er + z ez ) × (J × Ba ) d V = En intégrant, on obtient GL = GL ez avec : GL = gVB2a Z r2 cos2 w d V = gVB2a Z R r3 d r 0 Z 0 −3 L’application numérique donne : GL = 92, 7 × 10 Laplace : P L = GL · V = 2p Z JBa r (er × ey ) d r r d w d z 1 + cos(2w) 2 dw Z 0 L dz = gB2a VpR4 L 4 N · m . Il en résulte pour la puissance suivante des forces de gB2a V2 pR4 L = 29, 1 W 4 3. La puissance dissipée par effet Joule est : PJ = − Z Z gB2 V2 pR4 L J2 dV = − = −29, 1 W gV2 r2 cos2 w B2a r d r d w d z = − a 4 V g V 4. L’énergie mécanique étant constante, la puissance des forces de Laplace est compensée par la puissance mécanique Pm qui permet de faire tourner le cylindre : Pm + PL = 0 d’où Pm = −PL = 29, 1 W L’énergie électromágnétique étant constante, on vérifie bien, en l’absence de vecteur de Poynting ( E = 0 ), que la somme des termes de production d’énergie électromagnétique est nulle : PJ − PL = 0 . On retrouve bien l’égalité : PJ = PL .