23-11

Chapitre 23– Exercice 11
Cylindre en rotation dans un champ magnétique stationnaire
1. Le courant volumique Ja pour expression :
J=g(E+V×Ba)=gV×Bapuisque E=0
dans le référentiel du laboratoire. En explicitant en coordonnées cylindriques r,w,z,ilvient:
J=grVBa(ew×ex)=−grVBasin w+p
2ez=−grVBacos wez
2. Le moment des actions électromagnétiques de Laplace qu’exerce le champ magnétique est :
GL=r×(J×Ba)d= (rer+zez)×(J×Ba)d=JBar(er×ey)drr dwdz
En intégrant, on obtient GL=GLezavec :
GL=gVB2
ar2cos2wd=gVB2 a
R
0
r3dr
2p
0
1+cos(2w)
2dw
L
0
dz=gB2
aVpR4L
4
L’application numérique donne : GL=92,7×10−3N·m . Il en résulte pour la puissance suivante des forces de
Laplace :
PL=GL·V=gB2
aV2pR4L
4=29,1W
3. La puissance dissipée par effet Joule est :
PJ=−J2
g
d=−gV2r2cos2wB2
ardrdwdz=−gB2
aV2pR4L
4=−29,1W
4. L’énergie mécanique étant constante, la puissance des forces de Laplace est compensée par la puissance
mécanique Pmqui permet de faire tourner le cylindre :
Pm+PL=0d’oùPm=−PL=29,1W
L’énergie électromágnétique étant constante, on vérifie bien, en l’absence de vecteur de Poynting ( E=0), que la
somme des termes de production d’énergie électromagnétique est nulle : PJ−P
L=0 . On retrouve bien l’égalité :
PJ=PL.