Entiers naturels et dénombrement

Entiers naturels et d´enombrement
Chapitre 11
1 Rudiments d’arithm´etique 2
1.1 Multiples et diviseurs d’un entier . . . . . . . . . . 2
1.2 Division euclidienne dans N............. 3
1.3 PGCDetPPCM ................... 4
1.3.1 PGCD..................... 4
1.3.2 Algorithme d’Euclide et PGCD . . . . . . . 5
1.3.3 PPCM..................... 6
1.4 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 D´enombrement 9
2.1 G´en´eralit´es sur les ensembles finis . . . . . . . . . . 9
2.2 Op´erations sur les ensembles et cardinaux . . . . . 11
2.3 D´enombrement des ensembles d’applications . . . . 12
2.4 D´enombrement des parties d’un ensemble fini . . . 14
Mathieu Mansuy - Professeur de Math´ematiques en sup´erieures PCSI au Lyc´ee Saint Louis (Paris)
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PCSI5 Lyc´ee Saint Louis
1 Rudiments d’arithm´etique
1.1 Multiples et diviseurs d’un entier
D´efinition.
´
Etant donn´es deux entiers a, b, on dit que adivise b, ou aest un diviseur de b, ou que best multiple
de a, s’il existe un entier ctel que b=ac. On note alors a|b.
Notations. On notera D(b) l’ensemble des diviseurs de b, et aZl’ensemble des multiples de a.
Exemple.
D(12) = {1,−1,2,−2,3,−3,4,−4,6,−6,12,−12},D(11) = {1,−1,11,−11}.
0Z={0}et D(0) = Z.
±1Z=Zet D(±1) = {−1,1}.
Remarque. Soient a, b ∈Z. On a a|bsi et seulement si bZ⊂aZ. En effet :
⇐Si bZ⊂aZ, alors b∈aZ, et donc il existe c∈Ztel que b=ac, soit encore a|b.
⇒Supposons que a|b, alors il existe c∈Ztel que b=ac. Alors pour tout k∈Z,bk =a(ck)∈aZ. Ainsi
bZ⊂aZ.
Soient a, b, c des entiers.
(1) (a|bet a|c)⇒a|b+c.
(2) a|b⇒a|bc.
(3) (a|bet b|a)⇒ |a|=|b|.
(4) (a|bet c|d)⇒ac|bd.
(5) ab|c⇒a|cet b|c.
Propri´et´e 1
Remarque. La r´eciproque du dernier point est fausse : 6 et 4 divisent 12, mais 24 = 6 ×4 ne divise pas 12.
Preuve.
(1) Supposons que a|bet a|c. Alors il existe k1, k2∈Ztels que b=k1aet c=k2a. D’o`u par somme
b+c= (k1+k2)a, i.e. a|(b+c).
(2) Si a|b, alors il existe k∈Ztel que b=ak. D’o`u bc =akc =a(kc) et donc a|bc.
(3) Supposons que a|bet b|a. Alors il existe k1, k2∈Ztels que b=k1aet a=k2b. Alors b=k1k2b. Si b= 0,
alors a= 0 et on a le r´esultat. Si b6= 0, alors k1k2= 1 et k1=k2=±1. Ainsi a=±b, et donc |a|=|b|.
(4) Supposons que a|bet c|d. Alors il existe k1, k2∈Ztels que b=k1aet d=k2c. D’o`u par produit :
bd = (k1a)(k2c) = (k1k2)ac et donc ac|bd.
(5) Si ab|c, alors il existe k∈Ztel que c=abk, ce qui ce r´e´ecrit c=a(bk) = b(ak). Ainsi a|cet b|c.
Exemple. Montrer que pour tout entier impair n,n2−1 est multiple de 8.
Il existe k∈Ztel que n= 2k+ 1. D’o`u n2−1 = 4q(q+ 1) qui est un multiple de 8 car comme les entiers qet
q+ 1 sont cons´ecutifs, l’un d’eux est pair, et on a n2−1=8q(q+1)
2avec q(q+1) 2∈Z.
Montrer que pour tout entier naturel n, 23n−1 est multiple de 7.
On le montre par r´ecurrence sur n∈N.
La propri´et´e est vraie pour n= 0.
Supposons la propri´et´e vraie au rang n∈N:∃k∈Z: 23n−1=7k. Au rang n+ 1 on a :
23(n+1) −1 = 8 ×23n−1HR = 8 ×(7k+ 1) −1 = (7 + 1)(7k+ 1) −1 = 7(7k+k+ 1) + 1 −1
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La propri´et´e est donc vraie au rang n+ 1. On conclut par principe de r´ecurrence.
Exemple. Pour tout a, b ∈Zet n∈N∗, (a−b) divise (an−bn).
Exercice. Crit`eres de divisibilit´e par 3,9,11.
On consid`ere un entier naturel ndont l’´ecriture d´ecimale est n= ¯ap. . . a1a0, de sorte que :
n=ap10p+··· +a1101+a0100.
(a) Montrer que nest multiple de 3 si et seulement si
p
X
k=0
akest multiple de 3.
On utilise que 10 = 9 + 1, d’o`u par le binˆome de Newton pour tout k∈N:
10k= (9 + 1)k=
k
X
i=0 k
i9kde la forme 3qk+ 1.
Ainsi :
n=
p
X
k=0
ak10k= 3(
p
X
k=0
qkak) +
p
X
k=0
ak.
L’entier nest donc multiple de 3 si et seulement si
p
X
k=0
akest multiple de 3.
(b) Montrer que nest multiple de 9 si et seulement si Pp
k=0 akest multiple de 9.
On proc`ede comme pr´ec´edement.
(c) Montrer que nest multiple de 11 si et seulement si Pp
k=0(−1)kakest multiple de 11.
On utilise que 10 = 11 −1, d’o`u par le binˆome de Newton pour tout k∈N:
10k= (11 −1)k=
k
X
i=0 k
i11k(−1)k−ide la forme 11qk+ (−1)k.
Ainsi :
n=
p
X
k=0
ak10k= 11(
p
X
k=0
qkak) +
p
X
k=0
(−1)kak.
L’entier nest donc multiple de 11 si et seulement si
p
X
k=0
(−1)kakest multiple de 11.
1.2 Division euclidienne dans N
On consid`ere un nombre entier naturel net un nombre entier naturel b > 0.
Alors il existe un unique couple (q, r) appartenant `a N×Ntel que :
n=qb +ret 0 ≤r < b.
On dit que qest le quotient et rle reste de la division euclidienne de npar b.
Th´eor`eme 2
Preuve. •Unicit´e du couple (q, r).
Supposons qu’il existe deux couples d’entiers naturels (q1, r1) et (q2, r2) tels que :
n=q1b+r1, n =q2b+r2et 0 ≤r1, r2< b.
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On en d´eduit par diff´erence : (q1−q2)b=r2−r1. Ainsi r2−r1est un multiple de bet −b < r2−r1< b. D’o`u
r2−r1= 0, et donc r1=r2. En reportant, on obtient alors q1=q2.
•Existence du couple (q, r).
Par r´ecurrence sur n, montrons P(n) : ∃(q, r)∈N2:n=qb +ret 0 ≤r < b.
La propri´et´e est vraie pour n= 0 en prenant (q, r) = (0,0).
Supposons la propri´et´e P(k) vraie pour tout k≤n−1 et montrons que P(n) est vraie :
Si n<b, le couple (q, r) = (0, n) convient.
Si n≥n, on a 0 ≤n−b<n. Par hypoth`ese de r´ecurrence, il existe un couple (q, r)∈N2tel que
n−b=qb +ret 0 ≤r < b
ce qu’on peut r´e´ecrire comme suit :
∃(q, r)∈N2:n=q(b+ 1) + ret 0 ≤r < b.
Ainsi le couple (q+ 1, r) convient ici. On a donc montr´e la propri´et´e P(n).
On conclut par principe de r´ecurrence que la propri´et´e P(n) est vraie pour tout n∈N.
Soient (a, b)∈N×N∗. Alors bdivise asi et seulement si le reste de la division euclidienne de apar
best nulle.
Propri´et´e 3
Preuve.
⇒Si bdivise a, alors il existe q∈Ntel que a=bq. Par unicit´e dans la division euclidienne, on en d´eduit
que le reste de la division euclidienne de apar best ´egal `a 0.
⇐Supposons que le reste de la division euclidienne de apar bsoit nul. Alors il existe qtel que a=bq+0 = bq,
et donc bdivise a.
Exercice. ´ Ecrire un algorithme de division euclidienne.
Entrer n≥0 et b > 0. q←0 ; r←n; Tant que r≥b, faire :
|r←r−b;
|q←q+ 1 ;
Sortir qet r;
1.3 PGCD et PPCM
1.3.1 PGCD
D´efinition.
Soient (a, b)∈N2, (a, b)6= (0,0). L’ensemble D(a)∩ D(b)∩Ndes diviseurs communs positifs de aet de b
est une partie non vide et finie de N. Elle admet donc un plus grand ´el´ement appel´e Plus Grand Commun
Diviseur, not´e P GCD(a, b) ou a∧b.
Remarques.
a∧b=b∧a.
Si a > 0, on a a∧0 = a.
Par convention, on posera 0 ∧0 = 0.
On peut ´etendre la d´efinition du P GCD dans le cas o`u a, b ∈Zen posant a∧b=|a|∧|b|.
Exemple. D(6) ∩N={1,2,3,6},D(8) ∩N={1,2,4,8}, donc 6 ∧8 = 2.
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1.3.2 Algorithme d’Euclide et PGCD
Soient aet bdeux entiers naturels avec b > 0. Si rd´esigne le reste de la division de apar b, alors :
D(a)∩ D(b) = D(b)∩ D(r)
Propri´et´e 4
Preuve. On effectue la division euclidienne de apar b:a=bq +ravec 0 ≤r < b. Alors :
⊆si dest un diviseur de aet b, alors d|a−bq =r, donc d|bet d|r.
⊇si dest un diviseur de bet r, alors d|bq +r=a, donc d|aet d|b.
Description de l’algorithme d’Euclide.
On d´efinit une suite d’entiers naturels (rk) telle que :
r0=a,r1=b,
Pour k≥1, on suppose rket rk−1.
Si rk>0, on note rk+1 le reste de la division euclidienne de rk−1par rk. En particulier rk+1 < rk.
La suite (rk) est une suite d’entiers naturels strictement d´ecroissante. Il existe donc N∈Ntelle que rN6= 0 et
rN+1 6= 0.
Soient (a, b)∈N2\ {(0,0)}. Le PGCD de aet best le dernier reste non nul quand on effectue les
divisions euclidiennes successives.
Propri´et´e 5 (Deuxi`eme caract´erisation du P GCD)
Preuve. Grˆace au r´esultat pr´ec´edent, on obtient que :
D(a)∩ D(b) = D(b)∩ D(r2) = D(rN)∩ D(rN+1) = D(rN)∩ D(0) = D(rN)∩Z=D(rN).
Par d´efinition, a∧best le plus grand diviseur positif de aet de b. C’est donc rN, le dernier reste non nul quand
on effectue les divisions euclidiennes successives. 
Exemple. Calculer 162 ∧207.
On effectue les divisions euclidiennes successives :
207 = 162 ×1 + 45
162 = 45 ×3 + 27
45 = 27 ×1 + 18
27 = 18 ×1+9
18 = 9 ×2+0
Ainsi 162 ∧207 = 9.
Exercice. ´ Ecrire un algorithme d´eterminant le PGCD de deux entiers naturels aet b.
Entrer aet b.q←0 ; r←n; Tant que b > 0, faire :
|r←reste de la division euclidienne de apar b;
|a←b;
|b←r;
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