Introduction à la théorie des nombres. Prof. E. Bayer Fluckiger Bachelor Semestre 6 27 février 2012 Série 2 Exercice 1. 26 (1) Calculer les symboles de Legendre 19 et (2) (a) Montrer que l’entier 1093 est premier. 43 31 (b) Calculer 1093 et 1093 . 41 19 . Exercice 2. (corps finis) (1) Rappeler pourquoi Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier. (2) Si p est un nombre premier, on note Fp le corps Z/pZ. (a) Soit K un corps fini. Montrer que : (i) la caractéristique de K est un nombre premier ; (ii) le corps K contient Fp . (b) En déduire que tout corps fini est de cardinal pn , pour un certain nombre premier p et un certain entier positif n. (3) Réciproquement, soit p un nombre premier et soit q = pn une puissance de p. On note L le corps de décomposition du polynôme X q − X ∈ Fp [X]. (a) Soit M l’ensemble des racines du polynôme X q − X dans L. Montrer que M est un corps qui contient Fp , et donc M = L. (b) Montrer que le corps M contient exactement q éléments. (c) Montrer que tout corps fini à q éléments est isomorphe à M . Notation. Soit q = pn une puissance d’un nombre premier p avec n ≥ 1 un entier. On note Fq le corps fini à q éléments, unique à isomorphisme près. Exercice 3. Soient p un nombre premier, et K un corps fini de caractéristique p. (1) Pour tous a, b ∈ K, montrer que (a + b)p = ap + bp . (2) En déduire que l’application F : x 7−→ xp est un automorphisme du corps K dont les éléments fixes sont précisément les éléments du sous-corps Fp . L’application F est appelée automorphisme de Frobenius.