Série 2

Introduction ` a la th´ eorie des nombres. Bachelor Semestre 6
Prof. E. Bayer Fluckiger 27 f´evrier 2012
S´erie 2
Exercice 1.
(1) Calculer les symboles de Legendre 26
19 et 41 19 .
(2) (a) Montrer que l’entier 1093 est premier.
(b) Calculer 31
1093 et 43 1093 .
Exercice 2. (corps finis)
(1) Rappeler pourquoi Z/nZest un corps si et seulement si nest premier.
(2) Si pest un nombre premier, on note Fple corps Z/pZ.
(a) Soit Kun corps fini. Montrer que :
(i) la caract´eristique de Kest un nombre premier ;
(ii) le corps Kcontient Fp.
(b) En d´eduire que tout corps fini est de cardinal pn, pour un certain
nombre premier pet un certain entier positif n.
(3) R´eciproquement, soit pun nombre premier et soit q=pnune puissance
de p. On note Lle corps de d´ecomposition du polynˆome Xq−X∈Fp[X].
(a) Soit Ml’ensemble des racines du polynˆome Xq−Xdans L. Montrer
que Mest un corps qui contient Fp, et donc M=L.
(b) Montrer que le corps Mcontient exactement q´el´ements.
(c) Montrer que tout corps fini `a q´el´ements est isomorphe `a M.
Notation.
Soit q=pnune puissance d’un nombre premier pavec n≥1 un entier. On
note Fqle corps fini `a q´el´ements, unique `a isomorphisme pr`es.
Exercice 3.
Soient pun nombre premier, et Kun corps fini de caract´eristique p.
(1) Pour tous a, b ∈K, montrer que (a+b)p=ap+bp.
(2) En d´eduire que l’application F:x7−→ xpest un automorphisme du corps
Kdont les ´el´ements fixes sont pr´ecis´ement les ´el´ements du sous-corps Fp.
L’application Fest appel´ee automorphisme de Frobenius.