Pythagore, dénombrement, arihmétique, coniques, nombres

Première année du Master
Métiers de l’enseignement, de l’éducation et de la formation
mention second degré - parcours mathématiques
Université de Rennes 1
Pythagore, dénombrement,
arihmétique, coniques,
nombres complexes et géométrie,
courbes et surfaces
Jean-Marie Lion
Version du 10 février 2017
Exercice 1.
Pytahgore selon Chou Pei Suan Ching
Soit (A,B,C,D)un carré. Soit I∈[A,B],J∈[B,C],K∈[C,D]et L∈[D,A]tels que (I,J,K,L)soit un carré. Montrer
qu’en translatant les triangles (A,I,L),(D,L,K)et (C,K,J)on peut obtenir dans le carré initial un puzzle de deux carrés
et quatre triangles.
Exercice 2.
Pythagore selon Perigal
Soit (A,B,C)un triangle rectangle en B.On note (A,M,N,B),(B,P,Q,C)et (C,R,S,A)les trois carrés extérieurs au
triangle et s’appuyant dessus. On suppose que BC est le petit côté du triangle.
1. Démontrer qu’avec le carré (B,P,Q,C)et les quatre morceaux obtenus en découpant le carré (A,M,N,B)à l’aide de la
parallèle à CR qui passe par Net la parallèle à AC qui passe par Bon peut reconstituer le carré (C,R,S,A).
2. Démontrer qu’on peut obtenir un puzzle dont les quatre morceaux issus de (A,M,N,B)sont isométriques quitte à
changer les parallèles à CR et à AC.
Exercice 3.
Pythagore selon Gougu
Soit (A,B,C,D)et (D,E,F,G)deux carrés tels que E∈[C,D]et D∈[A,G].
1. Montrer qu’il existe un unique carré (C,G,M,N)tel que N∈[A,B]et D.
2. Construire sur une même figure les trois carrés.
3. En déduire un découpage du carré (C,G,M,N)en cinq morceaux qui permettent de reconstituer par translation les
carrés (A,B,C,D)et (D,E,F,G).
Exercice 4.
Pythagore selon Thabit ibn Qurra
Soit (A,B,C,D)et (D,E,F,G)deux carrés tels que E∈[C,D]et D∈[A,G].
1. Montrer qu’il existe M∈[A,D]tel que les longueurs des segments [A,M]et [F,G]soient égales.
2. Montrer qu’il existe Ntel que (B,N,F,M)soient un carré.
3. Construire sur une même figure les trois carrés.
4. En déduire un découpage du carré (B,N,F,M)en cinq morceaux qui permettent de reconstituer par translation les
carrés (A,B,C,D)et (D,E,F,G).
Exercice 5.
Pythagore selon Bhaskara
Soit (A,B,C,D)un carré et soit (A,B,I)un triangle rectangle en I,intérieur à (A,B,C,D).Soit J,Ket Lintérieurs à
(A,B,C,D)et tels que les triangles (A,B,I),(B,C,J),(C,D,K)et (D,A,L)soient isométriques.
1. Montrer que (I,J,K,L)est un carré.
2. Montrer que par translation des triangles (A,B,I)et (B,C,J)on peut construire une figure qui se superposent à deux
carrés dont les côtés ont les mêmes longueurs que les deux côtés (A,B,I)de même extrémité I.
Exercice 6.
Pythagore et pavage
Soit (A,B,C,D)et (D,E,F,G)deux carrés tels que E∈[C,D]et D∈[A,G].On note Kla réunion de l’intérieur de la
réunion des deux carrés, du segment [A,G]et de l’intervalle ]A,B[.Soit Tle groupe engendré par les translations de
vecteurs u=−→ AE et v=−→ AB +−→ GD.
1. Vérifier que uet vsont orthogonaux et de même norme.
2. Montrer que si Mdans le plan il existe un unique Nde Ket une unique translation g∈Ttels que M=g(N).
3. En déduire le théorème de Pythagore.
1

Exercice 7.
injection, surjection et bijection
1. Donner la définition d’une injection, d’une surjection, d’une bijection.
2. Monter que la composée de deux injections (respectivement surjections, bijections) est une injection (respectivement
surjection, bijection).
3. Soient Eet Fdeux ensembles. Montrer qu’il existe une injection de Edans Fsi et seulement s’il existe une surjection
de Fdans E.
4. Soit Eun ensemble. Monter qu’il existe une injection de Edans l’ensemble de ses parties mais qu’il n’existe pas de
bijection entre ces deux ensembles.
Exercice 8.
Soit Eun ensemble. On dit qu’il est fini s’il existe un entier naturel non nul ntel que Eest en bijection avec {1,...,n}ou
s’il est vide. On dit qu’il est infini s’il n’est pas fini.
1. Montrer que si Eest en bijection avec {1,..., n}et {1,..., m}alors n=m.
2. Montrer que Eest infini si et seulement s’il existe une injection de Ndans E.
Exercice 9.
Soit Eun ensemble. On dit qu’il est infini s’il est non vide et s’il existe un élément ade Eet une bijection de Edans
E\{a}.On dit que Eest fini s’il n’est pas infini. Montrer que Eest est fini si et seulement s’il est vide ou il existe un
entier naturel non nul ntel que Eest en bijection avec {1,..., n}.
Exercice 10.
Montrer qu’il existe des bijections de N,dans Zet Qmais pas de Ndans R.
Exercice 11.
théorème de Cantor-Bernstein
Rechercher (dans des livres) la preuve du théorème de Cantor-Bernstein qui dit que si Eet Fsont deux ensembles tels
qu’il existe une injection de Edans Fet une injection de Fdans E, alors il existe une bijection de Edans F.
Exercice 12.
lemme de Zorn et comparabilité cardinale
Rechercher dans la littérature mathématique l’énoncé du lemme de Zorm et comment montrer que si Eet Fsont deux
ensembles, alors il existe une injection de Edans Fou une injection de Fdans E.
Exercice 13.
Soient aet bdeux entiers relatifs. Montrer que si b6=0 il existe un unique couple (q,r)∈Z×Ntels que a=qb +ret
0≤r<|b|(les nombres qet rsont le quotient et le reste de la division euclidienne de apar b).
Exercice 14.
L’algorithme suivant est-il un algorithme sans erreur qui permet de réaliser des divisions eucliennes (expliquer) ?
Ecrire "Entrez A puis B"
Lire A
Lire B
S=1
T=1
Q=0
| Si A<0 Alors
| Remplacer A par -A
| Remplacer S par -S
| Remplacer T par -T
| FinSi
| Si B<0 Alors
| Remplacer B par -B
| Remplacer S par -S
| FinSi
|
|
| TanQue A>=B Faire
| Remplacer A par A-B
| Remplacer Q par Q+S
| FinTantQue
| Si T<0 et A>0 Alors
| Remplacer A par B-A
| Remplacer Q par Q+S
| FinSi
| Ecrire Q
| Ecrire A
| Fin
Exercice 15.
Un idéal de Zest un sous-ensemble non vide Ide Ztels que
∀n∈I,−n∈I
∀(n,m)∈I,n+m∈I
∀n∈I,∀k∈Z,kn ∈I.
1. Soit I⊂Z.Montrer que Iest un sous-groupe de Zsi et seulement si Iest un idéal de Z.
2. Montrer que si n∈Zalors nZ=I={kn :k∈Z}est un idéal de Z.
Soit Iun idéal de Zdifférent de {0}.
3. Montrer que I+∗={k:k∈Iet k>0}est non vide.
4. Montrer que I+∗admet un plus petit élément noté n.
5. Montrer que
I+∗={kn :k∈N∗}.
2

6. Montrer que I=nZ.
Exercice 16.
Soit Gun groupe de neutre e.Soit g∈G.On pose g0=eet on note g−1l’inverse de g.On définit par récurrrence sur
n∈Ngnet g−nen posant gn+1=gn·get g−(n+1)=g−n·g−1.
1. Montrer que ψ:Z→Gdéfinie par ψ(n) = gnest un morphisme de groupe.
2. Montrer que <g>={gn:n∈Z}est un sous-groupe de G: c’est le groupe engendré par get si G=<g>on dit que
Gest monogène ou cyclique.
L’ordre de gest le cardinal de <g>et l’ordre de Gest son cardinal.
3. Montrer que Z={n∈Z:gn=e}est un sous-groupe de Z.
4. Montrer que si Z={0}alors ψest injective et <g>est infini.
5. On suppose Z6={0}.Montrer que Z+∗est non vide et que le cardinal de <g>est égal au plus petit élément de Z+∗.
Exercice 17.
théorème de Lagrange
Soit Gun groupe fini et soit Hun sous-groupe de G.
1. Montrer que si a∈Galors l’application de Gdans Gqui à g∈Gassocie ag est une bijection. Quelle est sa réciproque ?
2. Montrer que la relation Rdéfinie sur Gpar aRbsi et seulement si a−1b∈Hest une relation d’équivalence.
3. Montrer que si a∈Gla classe aRde apour Rest
aR={ah :h∈H}=aH.
4. Montrer que si a∈Galors aRet Hont même cardinal.
5. Montrer que l’ordre de H(i.e. son cardinal) divise l’ordre de G.
Exercice 18.
pgcd
Soient aet bdeux entiers relatifs.
1. Montrer que le sous-ensemble
aZ+bZ={ua +vb :(u,v)∈Z2}
est un idéal de Z.
2. En déduire qu’il existe c∈Ntel que aZ+bZ=cZ.
Le nombre cainsi obtenu est noté pgcd(a,b).
3. Montrer que aet bsont des multiples de c.
4. Soit d∈Z.Montrer que si ddivise aet balors ddivise c.
5. Montrer que 1 et −1 sont les seuls diviseurs communs à aet b(aet bsont premiers entre eux) si et seulement s’il existe
uet vdans Ztels que ua +vb =1 (identité de Bezout).
On suppose anon nul.
6. Montrer que cest non nul et que cdivise aet b.
7. Montrer que cest bien le plus grand diviseur commun à aet bau sens de la relation d’ordre usuel.
Exercice 19.
ppcm
Soient aet bdeux entiers relatifs.
1. Montrer que le sous-ensemble aZ∩bZest un idéal de Z.
2. En déduire qu’il existe d∈Ntel que aZ∩bZ=dZet vérifier que (ka)Z∩(kb)Z= (kd)Zsi k∈N.
Le nombre dainsi obtenu est noté ppcm(a,b).
3. Montrer que dest un multiple de aet bet que tout multiple de aet best un multiple de d.
4. Montrer que si a=ca0,b=cb0avec c=pgcd(a,b)alors d=ppcm(a,b) = ca0b0(utiliser Bezout avec a0et b0).
5. Montrer que dest bien le plus petit multiple commun (naturel) à aet bau sens de l’ordre usuel.
Exercice 20.
algorithme d’Euclide
Soient (a,b)∈N×N∗.On considère la suite rdéfinie par récurrence de la façon suivante :
-r−2=aet r−1=b
- si rn−1=0 alors rn=0 et si rn−16=0 alors rnest le reste de la division euclidienne de rn−2par rn−1.
1. Montrer que si rn−16=0 alors rn<rn−1et pgcd(a,b) = pgcd(rn−1,rn).
2. Montrer que si n>aalors rn=0.
3. Montrer qu’il existe Ntel que rN6=0 mais rN+1=0.
4. Montrer que pgcd(a,b) = rN.
Exercice 21.
algorithme d’Euclide décortiqué, pgcd et ppcm
3

Soient a,b,r,qdes entiers naturels avec 0 <b<a,ret qle reste et le quotient de la division euclidienne de apar b:
r=a−bq et r<b.
On considère les suites r(a,b)et q(a,b)définies par récurrence de la façon suivante :
-r−2(a,b) = a,r−1(a,b) = b,q−2(a,b) = 0 et q−1(a,b) = 0
- si rn−1(a,b) = 0 alors rn(a,b) = qn(a,b) = 0 et si rn−1(a,b)6=0 alors rn(a,b)et qn(a,b)sont le reste et le quotient de la
division euclidienne de rn−2(a,b)par rn−1(a,b)c’est à dire
rn(a,b) = rn−2(a,b)−qn(a,b)rn−1(a,b)et 0 ≤rn(a,b)<rn−1(a,b).
On consière aussi les suites u(a,b)et v(a,b)définies par récurrence de la façon suivante :
-u−2(a,b) = 1,v−2(a,b) = 0,u−1(a,b) = 0 et v−1(a,b) = 1
- si rn−1(a,b) = 0 alors un(a,b) = vn(a,b) = 0 et si rn−1(a,b)6=0 alors
un(a,b) = un−2(a,b)−qn(a,b)un−1(a,b),
vn(a,b) = vn−2(a,b)−qn(a,b)vn−1(a,b).
1. Montrer qu’il existe N(a,b)tel que rN(a,b)6=0 et rN(a,b)+1=0.
2. Montrer que rN(a,b)=pgcd(a,b).
3. Montrer que pour tout n≥ −2 on a un(a,b)a+vn(a,b)b=rn(a,b).
4. Montrer que si r6=0 alors pour tout n≥ −2 on a
rn(b,r) = rn+1(a,b),
qn(b,r) = qn+1(a,b)
5. Montrer que si r6=0 alors pour tout n≥ −1 on a
un+1(a,b) = vn(b,r),
vn+1(a,b) = un(b,r)−qvn(b,r).
6. Montrer que pour tout n≥2 on a
|un(a,b)pgcd(a,b)| ≤ b,
|vn(a,b)pgcd(a,b)| ≤ a.
7. Montrer que |uN(a,b)+1(a,b)a|=|vN(a,b)+1(a,b)b|=ppcm(a,b).
Exercice 22.
Soit a,b∈Z.Donner un algorithme pour trouver pgcd(a,b)et u,v∈Ztels que ua +vb =pgcd(a,b).
Exercice 23.
écriture réduite des rationnels
Soit run rationnel strictement positif : r=a
bavec (a,b)∈N∗×N∗.
1. Soit (a0,b0)∈N∗×N∗.Montrer que r=a0
b0si et seulement si ab0−a0b=0.
2. Montrer qu’il existe (A,B)∈N∗×N∗unique tel que pgcd(A,B) = 1 et r=A
B(écriture réduite).
3. Soit rd’écriture réduite r=A
Bet sd’écriture réduite s=C D.On pose B=B0Pet D=D0Pavec P=pgcd(B,D).Montrer
que l’écriture réduite de r+sest de la forme r+s=E
Favec F=B0D0Q.
4. Soient p1,..., pkdes nombres premiers tous différents. Montrer que 1
p1
+... +1
pkn’est pas entier.
Exercice 24.
Soit n∈N∗.Soit la relation ≡ndéfinie sur Zpar a≡nbsi et seulement si ndivise a−b.
1. Montrer que ≡nest une relation d’équivalence.
Lorsque a≡nbon dit que aest congru à bmodulo nqu’on peut écrire a≡b(n)ou a≡bmodulo n.
2. Montrer que si a∈Zalors le reste a0de la division euclidienne de apar nvérifie a≡na0.
3. Montrer que la relation ≡npossède exactement nclasses d’équivalence, chacune d’elles possèdant un unique représen-
tant parmi les entiers compris entre 0 et n−1.
On note Z/nZl’ensemble des classes déquivalence de ≡net si a∈Zon note anla classe de apour ≡n(appelée aussi
classe de amodulo n).
4. Montrer que si a≡nbet k∈Zalors a+k≡nb+ket k×a≡nk×b.
5. Montrer que si a≡nb,c≡ndet k∈Zalors a+cn=b+dnet k×an=k×bn.
4

6. Montrer que Z/nZpeut être muni de deux lois +net ×ntelles que
-(Z/nZ,+n,×n)est un anneau commutatif,
- l’application de Zdans Z/nZest un morphisme d’anneau.
Exercice 25.
les générateurs de Z/nZ
Soit n∈N∗et soit m∈Z.Montrer que mnest un générateur de Z/nZ(i.e. <mn>=Z/nZou encore mnest d’ordre n) si
et seulement si pgcd(n,m) = 1.
Exercice 26.
les sous-groupes de Z/nZ
Soit n∈N∗.
1. Soit d∈N∗tel que ddivise net soit m∈Nle quotient de npar d.Montrer que la classe mnengendre un sous-groupe
Gdde Z/nZisomorphe au groupe Z/dZ.
2. Soit m∈Z.Montrer que <mn>=<τn>où τ=pgcd(n,m).
Soit Gun sous-groupe de Z/nZnon réduit à {0}et soit m∈Nle plus petit entier strictement positif dont la classe modulo
nappartient à G.
3. Soit b∈Ntel que bn∈Get soit qet rle quotient et le reste de la division euclidienne de bpar m.Montrer que rn∈G.
4. Montrer que mdivise n.
5. Montrer que G=<mn>est isomorphe à Z/dZoù dest le quotient de npar m.
On note Dl’ensemble des diviseurs de n.Pour tout ddans Don note Odl’ensemble des éléments d’ordre dde Z/nZet
on note φ(d)le nombre d’éléments d’ordre dde Z/dZ(indicatrice d’Euler).
6. Montrer que si d,d0∈Det d6=d0alors Odet Od0sont disjoints.
7. Montrer que
Z/nZ=[
d∈D
Od.
8. Montrer que
n=∑
d∈D
φ(d).
Exercice 27.
théorème des restes chinois
Soient n,m∈N∗.
1. Soient a,b∈Z.Montrer que si a≡mn balors a≡mbet a≡nb.
2. Montrer que l’application θ= (θ1,θ2)de Z/mnZdans Z/mZ×Z/nZdéfinie par
θ(amn) = (am,an)si a∈Z
est un morphisme de groupe.
3. On suppose que pgcd(m,n)6=1.Montrer qu’il existe a∈Ztel que a≡m0 et a≡n0 mais a6≡mn 0 et en déduire que θ
n’est ni injectif ni surjectif.
On suppose que pgcd(m,n) = 1 et on considère u,v∈Ztels que um +vn =1.
4. Soient a,b∈Z.Montrer que si a≡mbet a≡nbalors a≡mn bet en déduire que θest un isomorphisme de groupe.
5. Soient a,b∈Z.
5.a. Montrer que c=avn +bum vérifie c≡maet c≡nb.
5.b. Montrer que d∈Zvérifie d≡maet d≡nbsi et seulement si d−c≡mn 0.
6. Montrer que si gest un générateur de Z/mnZalors θ1(g)et θ2(g)sont des générateurs de Z/mZet Z/nZ.
7. Soit (a,b)∈Z/mZ×Z/nZavec agénérateur de Z/mZet bgénérateur de Z/nZ.Montrer que l’unique c∈Z/mnZtel
que θ(c) = (a,b)est un générateur de Z/mnZ.
8. Montrer que le nombre φ(mn)de générateurs de Z/mnZest égal au produit φ(m)φ(n)du nombre de générateurs de
Z/mZpar le nombre de générateurs de Z/nZ.
9. Montrer que si m1,..., mksont deux à deux premiers entre eux alors :
-Z/m1·... ·mkZest isomorphe à Z/m1Z×... ×Z/mkZ
-φ(m1·... ·mk) = φ(m1)·... ·φ(mk).
10. On suppose que m1,..., mksont deux à deux premiers entre eux. Si i=1,.., kon pose ni=m1·...·mk
mi.
10.a. Montrer que si i=1,.., kil existe ui,vi∈Ztels que uimi+vini=1.
10.b. Montrer que si a1,...,ak∈Zalors a=v1n1a1+... +vknkakvérifie a≡miaipour tout i=1,...,k.
Exercice 28.
l’indicatrice d’Euler
Soit nun entier supérieur ou égal à 2.On note φ(n)le nombre de générateurs de Z/nZc’est à dire le nombre d’entiers
naturels premiers avec net plus petits que n.
1. Montrer que si nest premier (i.e. sans diviseurs autres que 1 et lui même dans N) alors φ(n) = n−1.
5