Intégration et fonction de répartition Intégrales généralisées

Lycée François 1er
Bcpst 2
Intégration et fonction de répartition
6/10 décembre 2016
Précédemment traité : Suites, Séries numériques, Dénombrement, probabilités, espaces vectoriels, continuité, dérivabilité, intégration sur un segment,
équa. diff.
Intégrales généralisées
Chapitre 8
Variables aléatoires (généralités et densité)
1
Semaine 11
À venir : densité (la suite)
Chapitre 7
I
-
Généralités
Variables aléatoires quelconques
Déf :
On appelle variable aléatoire réelle sur (Ω, T , P ) toute fonction X : Ω → R telle que (Ω, T , P ) soit un
espace probabilisé ; pour tout a ∈ R, (X ≤ a) ∈ T .
Prop : Si Ω est un intervalle ou une réunion finie d’intervalle de R, toute fonction continue ou continue par
morceaux est une variable aléatoire sur (Ω, B(Ω), P ).
Prop : Soient X, Y deux variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé (Ω, T , P ), alors
X + Y est une variable aléatoire ; XY est une va ; Si Y ne s’annule pas, X
Y est une variable aléatoire ;
peut
être
considéré
comme une variable
si Y s’annule sur un événement de probabilité nulle, alors X
Y
aléatoire.
Prop : Soit f une fonction continue sur Df ⊂ R et X une variable aléatoire sur (Ω, T , P ) telle que X(Ω) ⊂ Df ,
alors f ◦ X est une variable aléatoire.
Ppé :
2
Si X est une variable aléatoire et I un intervalle ou une réunion finie d’intervalles, alors (X ∈ I) est
un événement.
Loi d’une v.a.d. et fonction de répartition
Si X est une v.a. définie sur l’espace probabilisé (Ω, T ,P ), on appelle support de X et on note Supp(X)
tout sous-ensemble de X(Ω) tel que P X ∈ Supp(X) = 1.
Remarque : Un support trivial (et maximum) pour toute variable aléatoire est X(Ω) :
Déf :
Déf :
Étant donnée une variable aléatoire X, on appelle fonction de répartition de X la fonction
FX : R → [0, 1]
.
t 7→ P (X 6 t)
Ppé :
Soit FX la fonction de répartition d’une variable aléatoire X. Alors, les conditions suivantes sont
vérifiées :
i)
0 6 Fx (t) 6 1
∀t ∈ R.
ii)
FX est une fonction croissante.
iii) FX est une fonction continue à droite en tout point t ∈ R.
iv)
lim FX (t) = 0 et
lim FX (t) = 1
Déf :
De manière générale, toute fonction F : R → R vérifiant les conditions i) à iv) de la propriété ci-dessus
est appelée fonction de répartition.
Ppé :
Soit FX la fonction de répartition d’une v.a. X et t ∈ R. Alors P (X < t) = lim P (X 6 x) = lim FX (x).
t→−∞
t→+∞
x→t
x<t
x→t
x<t
Explications graphiques ; hauteur de discontinuité et probabilités.
Chapitre parallèle
Fonctions réelles de deux variables
Dans la continuité de la révision des fonctions réelles à une seule variable, nous révisons maintenant les fonctions de deux variables. Il s’agit donc de reprendre les notions acquises ( ?) au courant de la première année :
Fonctions de deux variables continues, de classe C 1 (approche intuitive.) Surface représentative d’une fonction
de deux variables.
Dérivées partielles premières :
1
- Évaluation d’une petite variation de valeur d’une fonction de classe C 1 .
- Dérivation d’une expression de la forme f (x(t), y(t)) avec f ∈ C 1 et x, y dérivables.
- Définition du gradient : calcul dans un repère orthonormé (coordonnées cartésiennes.)
- Les dérivées partielles s’annulent en un extremum sur un pavé ouvert. (Pas de réciproque au programme.)
Dérivées partielles secondes :
- théorème de Schwarz (interversion des dérivations).
- Application à l’ajustement affine par les moindres carrés.
Les questions de cours porteront sur les questions suivantes :
•
•
•
Théorème
de comparaison des intégralesZde fonctions positives.
Z +∞
+∞
n!
−λt
P (t)e dt cv ssi λ > 0. Si λ > 0,
tn e−λt dt = n+1
λ
0
0
Z +∞ − 1
e t
dt par changement de variable
Convergence et valeur de
t2
0
Remarque : Savoir démontrer que des fonctions sont des variables aléatoires n’est pas un attendu
du programme.
2