Intégration et fonction de répartition Intégrales généralisées

Bcpst 2 Lycée François 1er
Intégration et fonction de répartition 6/10 décembre 2016 - Semaine 11
Précédemment traité : Suites, Séries numériques, Dénombrement, proba-
bilités, espaces vectoriels, continuité, dérivabilité, intégration sur un segment,
équa. diff.
À venir : densité (la suite)
Chapitre 7 Intégrales généralisées
Chapitre 8 Variables aléatoires (généralités et densité)
IGénéralités
1Variables aléatoires quelconques
Déf : On appelle variable aléatoire réelle sur (Ω,T, P )toute fonction X: Ω →Rtelle que (Ω,T, P )soit un
espace probabilisé ; pour tout a∈R,(X≤a)∈ T .
Prop : Si Ωest un intervalle ou une réunion finie d’intervalle de R, toute fonction continue ou continue par
morceaux est une variable aléatoire sur (Ω,B(Ω), P ).
Prop : Soient X, Y deux variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé (Ω,T, P ), alors
X+Yest une variable aléatoire ; XY est une va ; Si Yne s’annule pas, X
Yest une variable aléatoire ;
si Ys’annule sur un événement de probabilité nulle, alors X
Ypeut être considéré comme une variable
aléatoire.
Prop : Soit fune fonction continue sur Df⊂Ret Xune variable aléatoire sur (Ω,T, P )telle que X(Ω) ⊂ Df,
alors f◦Xest une variable aléatoire.
Ppé : Si Xest une variable aléatoire et Iun intervalle ou une réunion finie d’intervalles, alors (X∈I)est
un événement.
2Loi d’une v.a.d. et fonction de répartition
Déf : Si Xest une v.a. définie sur l’espace probabilisé (Ω,T, P ), on appelle support de Xet on note Supp(X)
tout sous-ensemble de X(Ω) tel que PX∈Supp(X)= 1.
Remarque : Un support trivial (et maximum) pour toute variable aléatoire est X(Ω) :
Déf : Étant donnée une variable aléatoire X, on appelle fonction de répartition de Xla fonction
FX:R→[0,1]
t7→ P(X6t)
.
Ppé : Soit FXla fonction de répartition d’une variable aléatoire X. Alors, les conditions suivantes sont
vérifiées :
i) 06Fx(t)61∀t∈R.
ii) FXest une fonction croissante.
iii) FXest une fonction continue à droite en tout point t∈R.
iv) lim
t→−∞
FX(t)=0 et lim
t→+∞
FX(t)=1
Déf : De manière générale, toute fonction F:R→Rvérifiant les conditions i) à iv) de la propriété ci-dessus
est appelée fonction de répartition.
Ppé : Soit FXla fonction de répartition d’une v.a. Xet t∈R. Alors P(X < t) = lim
x→t
x<t
P(X6x) = lim
x→t
x<t
FX(x).
Explications graphiques ; hauteur de discontinuité et probabilités.
Chapitre parallèle Fonctions réelles de deux variables
Dans la continuité de la révision des fonctions réelles à une seule variable, nous révisons maintenant les fonc-
tions de deux variables. Il s’agit donc de reprendre les notions acquises ( ?) au courant de la première année :
Fonctions de deux variables continues, de classe C1(approche intuitive.) Surface représentative d’une fonction
de deux variables.
Dérivées partielles premières :
1

- Évaluation d’une petite variation de valeur d’une fonction de classe C1.
- Dérivation d’une expression de la forme f(x(t), y(t)) avec f∈ C1et x, y dérivables.
- Définition du gradient : calcul dans un repère orthonormé (coordonnées cartésiennes.)
- Les dérivées partielles s’annulent en un extremum sur un pavé ouvert. (Pas de réciproque au programme.)
Dérivées partielles secondes :
- théorème de Schwarz (interversion des dérivations).
- Application à l’ajustement affine par les moindres carrés.
Les questions de cours porteront sur les questions suivantes :
•Théorème de comparaison des intégrales de fonctions positives.
•Z+∞
0
P(t)e−λt dtcv ssi λ > 0. Si λ > 0,Z+∞
0
tne−λt dt=n!
λn+1
•Convergence et valeur de Z+∞
0
e−1
t
t2dtpar changement de variable
Remarque : Savoir démontrer que des fonctions sont des variables aléatoires n’est pas un attendu
du programme.
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