Examen de processus stochastiques Variation quadratique et

Examen de processus stochastiques
M2 2010-2011
Vendredi 10 juin 2011
L’examen est composé de 7 exercices de longueur et de difficulté
différentes. N’hésitez pas passer à l’exercice suivant si vous êtes
bloqués. Les excercices sont essentiellement indépendants, mais à
l’occasion, et c’est alors mentionné explicitement, un résultat prouvé
dans un exercice peut servir (sans preuve) dans un autre.
Variation quadratique et compensateur
Soit (Ω, F, F = {Fn }n∈N , p) un espace probabilisé filtré et X. : N ×
Ω → (R, B(R)) un processus aléatoire.
Le processus Q. : N × Ω → (R, B(R)) défini par Q0 = X20 et
P
2
Qn = X20 + n−1
m=0 (Xm+1 − Xm ) pour n = 1, 2, · · · s’appelle la variation
quadratique du processus X. .
Si E(X2n ) < +∞ pour tout n ∈ N, le processus C. : N × Ω →
P
2
(R, B(R)) défini par C0 = X20 et Cn = X20 + n−1
m=0 E((Xm+1 − Xm ) |Fm )
s’appelle le compensateur du processus X2. .
I.1 : Si le processus X. est adapté, que dire du processus Q. , du
processus C. ?
.
On suppose que X. est une F-martingale de carré intégrable (i.e.
E(X2n ) < +∞ pour tout n ∈ N).
I.2 : Monter que E(X2n+1 |Fn ) = X2n + E((Xn+1 − Xn )2 |Fn ).
.
I.3 : En déduire que X2. − Q. et X2. − C. sont des F-martingale.
.
Soit ε1 , ε2 , · · · une suite de variables aléatoires réelles indépendantes intégrables sur un espace probabilisé (Ω, F, p). On pose
F0 = {∅, Ω} (la tribu grossière) et Fn = σ(ε1 , · · · , εn ) (la plus petite tribu rendant ε1 , · · · , εn mesurables) pour n = 1, 2, · · · . On
1
munit (Ω, F, p) de la filtration F = {Fn }n∈N . On pose S0 = 0 et
Sn = ε1 + · · · + εn .
I.4 : Montrer que Sn − E(Sn ) est une F-martingale.
.
On suppose dans la question suivante que ε1 , ε2 , · · · ont même
loi, chacune prenant les valeur 1 et −1 avec probabilité 1/2.
I.5 : Montrer que S. est une F-martingale. Calculer la variation
quadratique de S. et les compensateur de S2. .
.
Soit x ∈ [0, 1]. On suppose dans la question suivante que ε1 , ε2 , · · ·
ont même loi, chacune prenant les valeur 1 avec probabilité x et 0
avec probabilité 1 − x. On pose Mn = Sn − E(Sn )
I.6 : Calculer la variation quadratique de S. . Calculer la variation
quadratique de M. et le compensateur de M2. .
.
Processus de Bessel
Soit D ∈ [1, +∞[ et (Ω, F, F = {Ft }t∈[0,+∞[ , p) un espace probabilisé filtré. On suppose que W. : [0, +∞[×Ω → (R, B(R)) est un
Brownien et une F-martingale, et que R. : [0, +∞[×Ω → (R, B(R))
vérifie l’équation différentielle stochastique
dRt =
D−1
dt + dWt ,
2Rt
i.e.
Zt
Rt = R0 + Wt +
0
(1)
D−1
ds.
2Rs
II.1 : Le processus Rt est-il une diffusion ?
.
II.2 : Si f(r) est une fonction C2 (i.e. deux fois continument différentiable) sur R, calculer df(Rt ). Donner la version intégrale rigoureuse
de cette formule différentielle symbolique. En particulier, que dire
de R2t − Dt.
.
II.3 : Déduire de la question précédente l’équation de Fokker-Planck
satisfaite par la densité de probabilité ρ(r, t), définie par p(Rt ∈
[r, r + dr[) ≡ ρ(r, t)dr. On utilisera la version intégrale de la formule
d’Itô, et on supposera que pour une classe asez grande de fonctions
f on peut apliquer le théorème de Fubini pour intervertir E et
Rt
ds....
.
0
2
Si D = 1, 2, · · · , le Laplacien sur RD d’une fonction C2 (i.e. deux
fois continûment différentiable) F(x1 , · · · , xd ) est définit par ∆F =
PD ∂2
i=1 ∂x2i F.
P
2 1/2
II.4 : Si F(x1 , · · · , xD ) = f(r) n’est fonction que de r = ( D
,
i=1 xi )
1
exprimer 2 ∆F comme un opérateur différentiel agissant sur f. Voyezvous une analogie avec le résultat de l’application de la formule
d’Itô à la question II.2 ?
.
Pour D entier, le Brownien à D dimensions est défini comme un
vecteur (B1,t , · · · , BD,t ) dont les D composantes sont des Browniens
indépendants. On peut montrer que le processus
(B21,t + · · · + B2D,t )1/2 ≡ Rt
Rt
a la propriété suivante : Rt − 0 D−1
ds est un Brownien. En consé2Rs
quence, la longueur d’un Brownien à D dimensions satisfait à l’équation (1). Nous allons faire une vérification non-triviale de cette propriété dans le cas D = 3.
II.5 : En utilisant l’indépendance des différentes composantes du
Brownien à D = 3 dimensions, calculer la probabilité p((B21,t + B22,t +
B23,t )1/2 ∈ [r, r + dr[) ≡ ρ̃(r, t)dr qu’à l’instant t le Brownien à 3 dimensions soit dans la coquille sphérique de rayon r et d’épaisseur
dr.
.
II.6 : Montrer que ρ̃(r, t) vérifie l’équation Fokker-Planck obtenue
pour ρ(r, t) à la question II.3 (spécialisée à D = 3).
.
Un jeu
On vous propose le jeu suivant : on lance une pièce équilibrée
jusqu’à ce soit un « face » suivi d’un « pile », soit deux « pile » consécutifs apparaissent. Dans le premier cas, ...FP, vous perdez 1 Euro.
Dans le second, ...PP, vous gagnez 2 Euros.
III.1 : Acceptez-vous ?
.
Martingales induites
Dans cet excercice, T désigne une partie de [0, +∞[, typiquement [0, +∞[ lui même, ou {0, 1, 2 · · · }. Soit (Ω, F, F = {Ft }t∈T , p) un
espace probabilisé filtré. On suppose que G = {Gt }t∈T est une sousfiltration de F i.e. que pour tout t ∈ T , Gt ⊂ Ft est une σ-algèbre.
3
IV.1 : Montrer que si Mt , t ∈ T est une F-martingale, alors E(Mt |Gt ),
t ∈ T est une G-martingale.
.
Tribu sur N∗
Soit F une σ-algèbre sur N∗ ≡ {1, 2, 3, · · · } telle que pour tout
n ∈ N∗ , {n, 2n, 3n, · · · } ∈ F.
V.1 : Montrer que F est la σ-algèbre totale, F = P(N∗ ).
.
Inégalités
Le but de cet exercice est de montrer que les deux propriétés de
base de l’espérance (que l’on peut utiliser librement) :
– Linéarité : si X, Y sont deux variables aléatoires (réelles) intégrables et si λ ∈ R alors X + λY est une variable aléatoire intégrable,
et E(X + λY) = E(X) + λE(Y), Ce résultat persiste pour les variables
aléatoires X, Y complexes et pour λ ∈ C.
– Positivité : si X est une variable aléatoire réelle non-négative (i.e.
X(ω) > 0 pour tout ω ∈ Ω) alors E(X) > 0,
restent vraies pour les espérances conditionnelles, et d’en donner
deux applications simples.
Mais commencons par quelques rappels :
VI.1 : Rappeler pourquoi, si X est une variable aléatoire (réelle) telle
que E(X2 ) < +∞, on a E(|X|) < +∞ et E(X2 ) > E(X)2 .
.
VI.2 : En déduire que si Z est une variable aléatoire (complexe) telle
que E(|Z|2 ) < +∞, alors E(Z) existe et E(|Z|2 ) > |E(Z)|2 .
.
Soit (Ω, F, p) un espace probabilisé. et G ⊂ F est une σ-algèbre.
En revenant à la propriété qui définit les espérances conditionnelles, montrer que :
VI.3 : Si X, Y sont deux variables aléatoires (réelles) intégrables et
si λ ∈ R alors E(X + λY|G) = E(X|G) + λE(Y|G),
.
VI.4 : Si X est une variable aléatoire intégrable (réelle) non-négative
alors E(X|G) > 0. Ceci est à prendre au sens G-presque sûr. Il faut
montrer que si A = {ω ∈ Ω, E(X|G) < 0} alors p(A) = 0. On pourra
considérer An = {ω ∈ Ω, E(X|G) < −1/n} pour n = 1, 2, · · · , montrer
que An ∈ G et p(An ) = 0.
.
Application :
VI.5 : Si X est une variable aléatoire (réelle) intégrable alors E(|X| |G) >
4
|E(X|G)|,
.
VI.6 : Si X est une variable aléatoire (réelle) de carré intégrable
alors E(X2 |G) > E(X|G)2 .
.
Fonction caractéristique
Dans cet exercice, on utilise librement le résultats de la question
VI.2
Soit X une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé
(Ω, F, p).
VII.1 : Montrer que la variable aléatoire eiαX est intégrable et que
|E(eiαX )| 6 1 pour tout α ∈ R.
.
La fonction F(α) ≡ E(eiαX ) est appelée fonction caractéristique
de la variable aléatoire X.
VII.2 : Montrer que |F(α) − F(β)|2 6 4E(sin2 (α − β)X/2).
.
VII.3 : En conclure que, pour toute suite αn qui converge vers α, la
suite F(αn ) converge vers F(α) donc que F est une fonction continue
de α. On pourra utiliser la convergence dominée.
.
On suppose de plus que X est de carré intégrable (i.e. E(X2 ) <
+∞). Soit Xn une suite de variables aléatoires de carré intégrable
sur (Ω, F, p) telle que E((X − Xn )2 ) converge vers 0.
VII.4 : Montrer que |E(eiαX − eiαXn )|2 6 4E(sin2 α(X − Xn )/2). En
utilisant que | sin x| 6 |x| pour tout x ∈ R, conclure que E(eiαXn )
converge vers E(eiαX ) pour tout α ∈ R.
.
Un théorème important assure que la connaissance de F(α) =
E(eiαX ) est équivalente à la connaissance de la loi de X, c’est à dire
de la fonction R(x) = p(X 6 x). La question précédente donne donc
une preuve du résultat suivant :
Si f : (R+ , B(R+ )) → (R,
Rt B(R)) est une fonction mesurable telle
que pour tout t ∈ R+ , 0 f(s)2 ds < +∞ et si Bt , t ∈ [0, +∞[ un
Brownien
sur un espace probabilisé (Ω, F, p),R la variable aléatoire
Rt
t
2
0 f(s)dBs est gaussienne centrée de variance 0 f(s) ds pour tout t.
5