Examen de processus stochastiques Variation quadratique et

Examen de processus stochastiques
M2 2010-2011
Vendredi 10 juin 2011
L’examen est composé de 7exercices de longueur et de difficulté
différentes. N’hésitez pas passer à l’exercice suivant si vous êtes
bloqués. Les excercices sont essentiellement indépendants, mais à
l’occasion, et c’est alors mentionné explicitement, un résultat prouvé
dans un exercice peut servir (sans preuve) dans un autre.
Variation quadratique et compensateur
Soit (Ω,F,F={Fn}n∈N,p)un espace probabilisé filtré et X.:N×
Ω→(R,B(R)) un processus aléatoire.
Le processus Q.:N×Ω→(R,B(R)) défini par Q0=X2
0et
Qn=X2
0+Pn−1
m=0(Xm+1−Xm)2pour n=1, 2, ··· s’appelle la variation
quadratique du processus X..
Si E(X2
n)<+∞pour tout n∈N, le processus C.:N×Ω→
(R,B(R)) défini par C0=X2
0et Cn=X2 0+Pn−1
m=0E((Xm+1−Xm)2|Fm)
s’appelle le compensateur du processus X2
..
I.1 : Si le processus X.est adapté, que dire du processus Q., du
processus C.?.
On suppose que X.est une F-martingale de carré intégrable (i.e.
E(X2
n)<+∞pour tout n∈N).
I.2 : Monter que E(X2
n+1|Fn) = X2
n+E((Xn+1−Xn)2|Fn)..
I.3 : En déduire que X2
.−Q.et X2 .−C.sont des F-martingale. .
Soit ε1,ε2,··· une suite de variables aléatoires réelles indépen-
dantes intégrables sur un espace probabilisé (Ω,F,p). On pose
F0={∅,Ω}(la tribu grossière) et Fn=σ(ε1,··· ,εn)(la plus pe-
tite tribu rendant ε1,··· ,εnmesurables) pour n=1, 2, ···. On
1

munit (Ω,F,p)de la filtration F={Fn}n∈N. On pose S0=0 et
Sn=ε1+···+εn.
I.4 : Montrer que Sn−E(Sn)est une F-martingale. .
On suppose dans la question suivante que ε1,ε2,··· ont même
loi, chacune prenant les valeur 1 et −1 avec probabilité 1/2.
I.5 : Montrer que S.est une F-martingale. Calculer la variation
quadratique de S.et les compensateur de S2
...
Soit x∈[0, 1]. On suppose dans la question suivante que ε1,ε2,···
ont même loi, chacune prenant les valeur 1 avec probabilité xet 0
avec probabilité 1 −x. On pose Mn=Sn−E(Sn)
I.6 : Calculer la variation quadratique de S.. Calculer la variation
quadratique de M.et le compensateur de M2
...
Processus de Bessel
Soit D∈[1, +∞[et (Ω,F,F={Ft}t∈[0,+∞[,p)un espace proba-
bilisé filtré. On suppose que W.: [0, +∞[×Ω→(R,B(R)) est un
Brownien et une F-martingale, et que R.: [0, +∞[×Ω→(R,B(R))
vérifie l’équation différentielle stochastique
dRt=D−1
2Rt
dt +dWt, (1)
i.e.
Rt=R0+Wt+Zt
0
D−1
2Rs
ds.
II.1 : Le processus Rtest-il une diffusion ? .
II.2 : Si f(r)est une fonction C2(i.e. deux fois continument différen-
tiable) sur R, calculer df(Rt). Donner la version intégrale rigoureuse
de cette formule différentielle symbolique. En particulier, que dire
de R2
t−Dt..
II.3 : Déduire de la question précédente l’équation de Fokker-Planck
satisfaite par la densité de probabilité ρ(r,t), définie par p(Rt∈
[r,r+dr[) ≡ρ(r,t)dr. On utilisera la version intégrale de la formule
d’Itô, et on supposera que pour une classe asez grande de fonc-
tions fon peut apliquer le théorème de Fubini pour intervertir Eet
Rt
0ds.... .
2

Si D=1, 2, ···, le Laplacien sur RDd’une fonction C2(i.e. deux
fois continûment différentiable) F(x1,··· ,xd)est définit par ∆F =
PD
i=1
∂2
∂x2
i
F.
II.4 : Si F(x1,··· ,xD) = f(r)n’est fonction que de r= (PD
i=1x2
i)1/2,
exprimer 1
2∆F comme un opérateur différentiel agissant sur f. Voyez-
vous une analogie avec le résultat de l’application de la formule
d’Itô à la question II.2 ? .
Pour Dentier, le Brownien à Ddimensions est défini comme un
vecteur (B1,t,··· ,BD,t)dont les Dcomposantes sont des Browniens
indépendants. On peut montrer que le processus
(B2
1,t+···+B2 D,t)1/2≡Rt
a la propriété suivante : Rt−Rt
0
D−1
2Rsds est un Brownien. En consé-
quence, la longueur d’un Brownien à Ddimensions satisfait à l’équa-
tion (1). Nous allons faire une vérification non-triviale de cette pro-
priété dans le cas D=3.
II.5 : En utilisant l’indépendance des différentes composantes du
Brownien à D=3 dimensions, calculer la probabilité p((B2
1,t+B2 2,t+
B2
3,t)1/2∈[r,r+dr[) ≡˜ρ(r,t)dr qu’à l’instant tle Brownien à 3 di-
mensions soit dans la coquille sphérique de rayon ret d’épaisseur
dr..
II.6 : Montrer que ˜ρ(r,t)vérifie l’équation Fokker-Planck obtenue
pour ρ(r,t)à la question II.3 (spécialisée à D=3). .
Un jeu
On vous propose le jeu suivant : on lance une pièce équilibrée
jusqu’à ce soit un « face » suivi d’un « pile », soit deux « pile » consé-
cutifs apparaissent. Dans le premier cas, ...FP, vous perdez 1 Euro.
Dans le second, ...PP, vous gagnez 2 Euros.
III.1 : Acceptez-vous ? .
Martingales induites
Dans cet excercice, Tdésigne une partie de [0, +∞[, typique-
ment [0, +∞[lui même, ou {0, 1, 2 ···}. Soit (Ω,F,F={Ft}t∈T,p)un
espace probabilisé filtré. On suppose que G={Gt}t∈Test une sous-
filtration de Fi.e. que pour tout t∈T,Gt⊂Ftest une σ-algèbre.
3

IV.1 : Montrer que si Mt,t∈Test une F-martingale, alors E(Mt|Gt),
t∈Test une G-martingale. .
Tribu sur N∗
Soit Fune σ-algèbre sur N∗≡{1, 2, 3, ···}telle que pour tout
n∈N∗,{n, 2n, 3n,···}∈F.
V.1 : Montrer que Fest la σ-algèbre totale, F=P(N∗)..
Inégalités
Le but de cet exercice est de montrer que les deux propriétés de
base de l’espérance (que l’on peut utiliser librement) :
– Linéarité : si X,Ysont deux variables aléatoires (réelles) inté-
grables et si λ∈Ralors X+λY est une variable aléatoire intégrable,
et E(X+λY) = E(X) + λE(Y), Ce résultat persiste pour les variables
aléatoires X,Ycomplexes et pour λ∈C.
– Positivité : si Xest une variable aléatoire réelle non-négative (i.e.
X(ω)>0 pour tout ω∈Ω) alors E(X)>0,
restent vraies pour les espérances conditionnelles, et d’en donner
deux applications simples.
Mais commencons par quelques rappels :
VI.1 : Rappeler pourquoi, si Xest une variable aléatoire (réelle) telle
que E(X2)<+∞, on a E(|X|)<+∞et E(X2)>E(X)2..
VI.2 : En déduire que si Zest une variable aléatoire (complexe) telle
que E(|Z|2)<+∞, alors E(Z)existe et E(|Z|2)>|E(Z)|2..
Soit (Ω,F,p)un espace probabilisé. et G⊂Fest une σ-algèbre.
En revenant à la propriété qui définit les espérances condition-
nelles, montrer que :
VI.3 : Si X,Ysont deux variables aléatoires (réelles) intégrables et
si λ∈Ralors E(X+λY|G) = E(X|G) + λE(Y|G),.
VI.4 : Si Xest une variable aléatoire intégrable (réelle) non-négative
alors E(X|G)>0. Ceci est à prendre au sens G-presque sûr. Il faut
montrer que si A={ω∈Ω,E(X|G)<0}alors p(A) = 0. On pourra
considérer An={ω∈Ω,E(X|G)<−1/n}pour n=1, 2, ···, montrer
que An∈Get p(An) = 0. .
Application :
VI.5 : Si Xest une variable aléatoire (réelle) intégrable alors E(|X| |G)>
4

|E(X|G)|,.
VI.6 : Si Xest une variable aléatoire (réelle) de carré intégrable
alors E(X2|G)>E(X|G)2..
Fonction caractéristique
Dans cet exercice, on utilise librement le résultats de la question
VI.2
Soit Xune variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé
(Ω,F,p).
VII.1 : Montrer que la variable aléatoire eiαX est intégrable et que
|E(eiαX)|61 pour tout α∈R..
La fonction F(α)≡E(eiαX)est appelée fonction caractéristique
de la variable aléatoire X.
VII.2 : Montrer que |F(α) − F(β)|264E(sin2(α−β)X/2)..
VII.3 : En conclure que, pour toute suite αnqui converge vers α, la
suite F(αn)converge vers F(α)donc que Fest une fonction continue
de α. On pourra utiliser la convergence dominée. .
On suppose de plus que Xest de carré intégrable (i.e. E(X2)<
+∞). Soit Xnune suite de variables aléatoires de carré intégrable
sur (Ω,F,p)telle que E((X−Xn)2)converge vers 0.
VII.4 : Montrer que |E(eiαX −eiαXn)|264E(sin2α(X−Xn)/2). En
utilisant que |sin x|6|x|pour tout x∈R, conclure que E(eiαXn)
converge vers E(eiαX)pour tout α∈R..
Un théorème important assure que la connaissance de F(α) =
E(eiαX)est équivalente à la connaissance de la loi de X, c’est à dire
de la fonction R(x) = p(X6x). La question précédente donne donc
une preuve du résultat suivant :
Si f: (R+,B(R+)) →(R,B(R)) est une fonction mesurable telle
que pour tout t∈R+,Rt
0f(s)2ds < +∞et si Bt,t∈[0, +∞[un
Brownien sur un espace probabilisé (Ω,F,p), la variable aléatoire
Rt
0f(s)dBsest gaussienne centrée de variance Rt 0f(s)2ds pour tout t.
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