Densité Variables aléatoires (généralités et densité)

Bcpst 2 Lycée François 1er
Densité 13/17 décembre 2016 - Semaine 12
Précédemment traité : Suites, Séries numériques, Dénombrement, proba-
bilités, espaces vectoriels, intégration À venir : espérance et ex
fondamentaux
Chapitre 8 Variables aléatoires (généralités et densité)
IGénéralités
1Loi d’une v.a.d. et fonction de répartition
2Indépendance
Déf : Xet Y(v.a. définies sur un même espace probabilisé (Ω,T, P )) sont dites indépendantes si, pour tout
A, B ∈ T , on a P(X∈A∩Y∈B) = P(X∈A)P(Y∈B).
Déf : généralisation à nvariables.
Prop : Xet Ysont indépendantes ssi, pour tout x, y ∈R, on a P(X6x, Y 6y) = FX(x)FY(y)
II Densité
1Définitions et généralités
Déf : On appelle f:R→Rune densité si fest une fonction positive ; continue (sauf peut être en un nombre
fini de points) ; intégrable sur Ravec Z+∞
−∞
f(t)dt = 1.
Thm : Soit fune densité. La fonction F:R−→ R
x7−→ Zx
−∞
f(t)dt
est une fonction de répartition.
Déf : On dit que Xest une variable aléatoire de densité fsi : fest une densité ; Xest une fonction réelle. ;
FX:x∈R7→ Zx
−∞
f(t)dt est une fonction de répartition de X.
explication graphique.
Ppé : Si Xest une variable aléatoire à densité, alors FXest continue.
Ex : de variable aléatoire qui n’est ni finie, ni à densité.
Ppé : Si Xest une va de densité f, de probabilité pet de fonction de répartition FX, alors, pour tous a, b ∈R,
Zb
a
f(t)dt =FX(b)−FX(a) = P(a<X6b) = P(a6X6b) = P(a6X < b) = P(a < X < b).
Prop : On se donne Xune variable aléatoire de fonction de répartition FXet fune densité continue sur R.
Alors fest une densité de X⇐⇒ FXest dérivable sur Rde dérivée F0
X=f.
plus généralement :
Prop : On se donne Xune variable aléatoire et fune densité Alors
Xest de densité f=⇒(FXest dérivable en x
F0
X(x) = f(x)en tout point xoù fest continue.
Prop : On se donne Xune variable aléatoire de fonction de répartition FX. Si FXest continue et de classe
C1sauf en un nombre fini de points a1,...an, alors Xest une va à densité de densité ftelle que
f(x) = F0
X(x)∀x6=a1, . . . , an
(les valeurs de f(a1), . . . , f(an)>0pouvant être définies de n’importe quelle manière....positive)
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Chapitre parallèle Fonctions réelles de deux variables
Dans la continuité de la révision des fonctions réelles à une seule variable, nous révisons maintenant les fonc-
tions de deux variables. Il s’agit donc de reprendre les notions acquises ( ?) au courant de la première année :
Fonctions de deux variables continues, de classe C1(approche intuitive.) Surface représentative d’une fonction
de deux variables.
Dérivées partielles premières :
- Évaluation d’une petite variation de valeur d’une fonction de classe C1.
- Dérivation d’une expression de la forme f(x(t), y(t)) avec f∈ C1et x, y dérivables.
- Définition du gradient : calcul dans un repère orthonormé (coordonnées cartésiennes.)
- Les dérivées partielles s’annulent en un extremum sur un pavé ouvert. (Pas de réciproque au programme.)
Dérivées partielles secondes :
- théorème de Schwarz (interversion des dérivations).
- Application à l’ajustement affine par les moindres carrés.
Les questions de cours sont :
•dém de la fonction de répartition d’une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [0; 1[.
•Si fest une densité ctn sur R, alors fest une densité de Xssi F0
X=f.
•Soit Xune variable aléatoire de densité f:t∈R7→ 1
2e−|t|. Déterminer la fonction de répartition de X.
•Soit Xune variable aléatoire de fonction de répartition FXdéfinie par F(x) = 
0si t61
ln tsi t∈[1, e]
1si t>e
.
Montrer que Xest à densité et la déterminer.
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