Densité Variables aléatoires (généralités et densité)

Lycée François 1er
Bcpst 2
Densité
13/17 décembre 2016
Précédemment traité : Suites, Séries numériques, Dénombrement, probabilités, espaces vectoriels, intégration
Semaine 12
À venir : espérance et ex
fondamentaux
Variables aléatoires (généralités et densité)
Chapitre 8
I
Généralités
1
Loi d’une v.a.d. et fonction de répartition
2
-
Indépendance
Déf :
Déf :
X et Y (v.a. définies sur un même espace probabilisé (Ω, T , P )) sont dites indépendantes si, pour tout
A, B ∈ T , on a P (X ∈ A ∩ Y ∈ B) = P (X ∈ A) P (Y ∈ B).
généralisation à n variables.
Prop : X et Y sont indépendantes ssi, pour tout x, y ∈ R, on a P (X 6 x, Y 6 y) = FX (x)FY (y)
II
1
Densité
Définitions et généralités
Déf :
On appelle f : R → R une densité si f est une fonction positive ; continue (sauf peut être en un nombre
Z +∞
fini de points) ; intégrable sur R avec
f (t) dt = 1.
−∞
Thm : Soit f une densité. La fonction F : R
−→
x
7−→
est une fonction de répartition.
R
Z
x
f (t) dt
−∞
Déf :
On dit que X Z
est une variable aléatoire de densité f si : f est une densité ; X est une fonction réelle. ;
x
FX : x ∈ R 7→
f (t) dt est une fonction de répartition de X.
−∞
explication graphique.
Ppé :
Ex :
Ppé :
Si X est une variable aléatoire à densité, alors FX est continue.
de variable aléatoire qui n’est ni finie, ni à densité.
Si X est une va de densité f , de probabilité p et de fonction de répartition FX , alors, pour tous a, b ∈ R,
Z b
f (t) dt = FX (b) − FX (a) = P (a < X 6 b) = P (a 6 X 6 b) = P (a 6 X < b) = P (a < X < b).
a
Prop : On se donne X une variable aléatoire de fonction de répartition FX et f une densité continue sur R.
0
Alors
f est une densité de X ⇐⇒ FX est dérivable sur R de dérivée FX
= f.
plus généralement :
Prop : On se donne X une variable aléatoire
et f une densité Alors
(
FX est dérivable en x
X est de densité f =⇒
en tout point x où f est continue.
0
FX
(x) = f (x)
Prop : On se donne X une variable aléatoire de fonction de répartition FX . Si FX est continue et de classe
C 1 sauf en un nombre fini de points a1 , . . . an , alors X est une va à densité de densité f telle que
0
f (x) = FX
(x)
∀x 6= a1 , . . . , an
(les valeurs de f (a1 ), . . . , f (an ) > 0 pouvant être définies de n’importe quelle manière....positive)
1
Chapitre parallèle
Fonctions réelles de deux variables
Dans la continuité de la révision des fonctions réelles à une seule variable, nous révisons maintenant les fonctions de deux variables. Il s’agit donc de reprendre les notions acquises ( ?) au courant de la première année :
Fonctions de deux variables continues, de classe C 1 (approche intuitive.) Surface représentative d’une fonction
de deux variables.
Dérivées partielles premières :
- Évaluation d’une petite variation de valeur d’une fonction de classe C 1 .
- Dérivation d’une expression de la forme f (x(t), y(t)) avec f ∈ C 1 et x, y dérivables.
- Définition du gradient : calcul dans un repère orthonormé (coordonnées cartésiennes.)
- Les dérivées partielles s’annulent en un extremum sur un pavé ouvert. (Pas de réciproque au programme.)
Dérivées partielles secondes :
- théorème de Schwarz (interversion des dérivations).
- Application à l’ajustement affine par les moindres carrés.
Les questions de cours sont :
•
•
•
•
dém de la fonction de répartition d’une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [0; 1[.
0
Si f est une densité ctn sur R, alors f est une densité de X ssi FX
= f.
Soit X une variable aléatoire de densité f : t ∈ R 7→ 21 e−|t| . Déterminer la fonction
 de répartition de X.

si t 6 1
0
Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition FX définie par F (x) = ln t si t ∈ [1, e] .


1
si t > e
Montrer que X est à densité et la déterminer.
2