Probabilités – Loi binomiale Exercices corrigés

Probabilités – Loi binomiale – Exercices corrigés
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Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
 Exercice 1 : épreuve de Bernoulli
 Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre 
 Exercice 3 : schéma de Bernoulli d’ordre 
 Exercice 4 : représentation d’un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré
 Exercice 5 : loi binomiale de paramètres  et 
 Exercice 6 : coefficient binomial et nombre de chemins d’un arbre
 Exercice 7 : propriétés des coefficients binomiaux et formule du triangle de Pascal
 Exercice 8 : calcul de probabilité avec la loi binomiale
 Exercice 9 : espérance de la loi binomiale
 Exercice 10 : variance de la loi binomiale
 Exercice 11 : algorithme de simulation d’une expérience aléatoire (tirage d’une boule avec remise)
Probabilités – Loi binomiale
Exercices corrigés

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Dans chacune des quatre situations suivantes, reconnaître une épreuve de Bernoulli en définissant le succès  et
la probabilité  associée.
 Situation 1 : On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on regarde si le
nombre obtenu est un multiple de 3.
 Situation 2 : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on regarde si la carte tirée est un as.
 Situation 3 : On jette une pièce de monnaie non truquée.
 Situation 4 : On extrait une boule au hasard, d’une urne contenant 5 boules vertes et 2 boules rouges
toutes indiscernables au toucher, et on note sa couleur.
Rappel : Epreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelée succès
(notée ) et l’autre appelée échec (notée  ou plus communément ).
 Situation 1 : On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on regarde si le
nombre obtenu est un multiple de 3.
On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour succès  l’événement
« le nombre obtenu est un multiple de 3 » et pour échec  l’événement « le nombre obtenu n’est pas un multiple
de 3 ».
Le dé cubique a pour faces les numéros 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Or, seuls les nombres 3 et 6 sont multiples de 3.
Autrement dit, 2 faces parmi les 6 faces du dé affichent un multiple de 3. Comme le dé est équilibré, la situation
est équiprobable et chaque face a 1 chance sur 6 de sortir. La probabilité d’obtenir un multiple de 3 est égale à
, c’est-à-dire à  . On a donc 
.
 Situation 2 : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on regarde si la carte tirée est un as.
On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour succès  l’événement
« la carte tirée est un as » et pour échec  l’événement « la carte tirée n’est pas un as ».
Un jeu de 32 cartes comporte 4 as (l’as de pique, l’as de cœur, l’as de carreau et l’as de trèfle). Le tirage de la
carte se fait de manière aléatoire donc la situation est équiprobable et chaque carte a 1 chance sur 32 d’être
tirée. La probabilité  d’obtenir un des 4 as parmi les 32 cartes est donc donnée par 
.
Exercice 1 (1 question) Niveau : facile
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 Situation 3 : On jette une pièce de monnaie non truquée.
On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour succès  l’événement
« on obtient Pile » et pour échec  l’événement « on obtient Face » (ou vice versa).
La pièce de monnaie n’étant pas truquée, la situation est équiprobable et chaque face de la pièce a la même
probabilité d’apparaître. La probabilité d’obtenir Pile est alors donnée par 
.
 Situation 4 : On extrait une boule au hasard, d’une urne contenant 5 boules vertes et 2 boules rouges
toutes indiscernables au toucher, et on note sa couleur.
On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour succès  l’événement
« on obtient une boule verte » et pour échec  l’événement « on obtient une boule rouge » (ou vice versa).
Les 7 boules sont toutes indiscernables au toucher donc la situation est celle de l’équiprobabilité ; chaque boule
a 1 chance sur 7 d’être extraite de l’urne. La probabilité  d’obtenir une des 5 boules vertes parmi les 7
boules de l’urne est donc donnée par 
.

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On lance deux dés tétraédriques parfaits et on regarde si la somme des dés est supérieure ou égale à 5. Donner
la loi de probabilité associée à cette expérience.
Rappel : Loi de Bernoulli
Une loi de Bernoulli de paramètre  est une loi de probabilité définie
sur l’ensemble  des issues d’une épreuve de Bernoulli, associant
la probabilité  au succès  et la probabilité  à l’échec .
Issue
Probabilité
On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour succès  l’événement
« la somme des dés est supérieure ou égale à 5 » et pour échec  l’événement « la somme des dés est
strictement inférieure à 5 ».
Le jet de 2 dés tétraédriques parfaits conduit à 
issues. Parmi ces 16 issues, 10 correspondent à une
somme supérieure ou égale à 5.
Par conséquent,   
.
Il vient alors que     
.
1
2
3
4
dé 1
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
dé 2
D’où la loi de probabilité ci-contre :
Issue
Probabilité
Exercice 2 (1 question) Niveau : facile
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Une urne contient 3 boules blanches et 12 boules noires, toutes indiscernables au toucher. On tire
successivement et avec remise 3 boules de l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 boules blanches au terme
des 3 tirages ?
Rappel : Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli d’ordre  est une répétition de  épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
L’expérience aléatoire qui consiste à tirer une boule de l’urne et à observer si la boule tirée est blanche peut être
modélisée par une épreuve de Bernoulli ayant pour succès  l’événement « la boule extraite de l’urne est
blanche » et pour échec  l’événement « la boule extraite de l’urne est noire ».
Comme les 3 boules blanches et les 12 boules noires ne sont pas discernables au toucher, la situation est
équiprobable et chaque boule a 1 chance sur 15 d’être tirée de l’urne. On dénombre 3 boules blanches parmi le
lot de 15 boules donc la probabilité  d’obtenir une boule blanche est donnée par   
.
On tire successivement et avec remise 3 boules de l’urne. Cette expérience aléatoire est la répétition de 3
épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de paramètre   
. Autrement dit, l’expérience est un
schéma de Bernoulli d’ordre . Par conséquent, la probabilité d’obtenir 3 boules blanches au terme des 3 tirages
est égale à 
  .
Remarque importante : Si les tirages ont lieu sans remise, il ne s’agit plus d’un schéma de Bernoulli car les
expériences répétées ne sont plus ni identiques, ni indépendantes.
Exercice 3 (1 question) Niveau : facile
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