Limites de suites, cours, première S F.Gaudon 13 mai 2010 Table des matières 1 Convergence de suites 2 2 Convergence de suites de référence 3 3 Opérations sur les suites convergentes 3 4 Divergence de suites 4 5 Limites de suites géométriques 5 4.1 Notion de divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Suites de référence divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4 Limites de suites, cours, classe de première S 1 Convergence de suites Dénition : Soit (un ) une suite. On dit que (un ) converge vers un réel l ou a pour limite l lorsque tout intervalle ouvert contenant l, contient tous les termes de la suite (un ) à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente et que l est sa limite. On note limn→+∞ un = l. Propriété : Si (un ) converge vers une limite l, alors celle-ci est unique. Preuve : En eet, supposons que (un ) converge vers une limite l et soit l0 un réel diérent de l. On supposera ici que l0 < l, le cas l0 > l se traitant de la même manière. Il existe donc un nombre réel e positif tel que l0 < l − e. Comme (un ) converge vers l, à partir d'un certain rang N , tous les termes de la suite sont dans l'intervalle ]l − e; l + e[ et par conséquent les termes de la suite suivant ce rang n'appartiennent pas à l'intervalle ]l0 − e; l − e[, qui est un intervalle ouvert contenant l0 . On a trouvé un intervalle ouvert tel que pour n'importe quel rang les termes suivants N ne sont pas dans l'intervalle ce qui montre que la suite ne converge pas vers l0 . Algorithmique : Soit (un ) suite (un ) dénie à partir d'un rang p par un+1 = f (un ) pour tout n ≥ p et convergente vers une limite l. L'algorithme suivant donne le rang n du premier terme de la suite situé à une distance inférieure à un réel positif e de la limite l : Données : p, up , l, e Début traitement u prend la valeur up ; n prend la valeur p ; tant que |u − l| < e faire u prend la valeur f (u) ; n prend la valeur n + 1 n Acher n Fin traitement. Exemple : Soit (un ) dénie par un+1 = u2n pour tout entier naturel n non nul et par u1 = 0, 75 n. p désigne le premier rang de la suite (1 ici) puis les termes successifs. On admettra que la suite (un ) converge vers 0 ; on a donc l = 0 ici. e (ou er sous Xcas où e est une constante xée) désigne la diérence entre les termes et la limite qui doit être obtenue. http: // mathsfg. net. free. fr 2 Limites de suites, cours, classe de première S TI : Casio : Prompt P ,U ,E , L "P " : ?→ P While ABS(U − L) > "U " : ?→ U E "L" : ?→ L P +1BP "E " : ?→ E 2 U BU While ABS(U − L) > End E Disp "P=",P P +1→P U2 → U WhileEnd "P " : P 2 XCas : saisir("Premier rang p :",p); saisir("Premier terme u_p :",u); saisir("Limite :",l); saisir("Différence limite :",err); tantque abs(u-k)>err faire u:=u^2; fpour; afficher("Rang obtenu : ",u); Convergence de suites de référence Propriété : Les suites ( n1 ), √1n ) et gentes et on a : • limn→+∞ • limn→+∞ • limn→+∞ 1 np où p est un entier naturel non nul sont conver- 1 =0 n 1 √ = 0 n 1 =0 np Preuve : On justie le premier cas, les deux autres se traitant de la même manière. On considère un intervalle ouvert contenant 0, soit e un réel positif strictement de cet intervalle. Alors il existe un nombre entier N tel que N1 < e. Comme ( n1 ) est décroissante, pour tout rang n > N , on a n1 < e donc n1 qui appartient à l'intervalle. Par conséquent, la suite converge vers 0. 3 Opérations sur les suites convergentes Propriété : Soient (un ) et (vn ) deux suites convergentes vers des réels l et l0 respectivement. • la suite (un + vn ) est alors convergente vers l + l0 ; • la suite (un × vn ) est alors convergente vers ll0 ; • si k est un réel, alors la suite (kun ) est convergente vers kl ; • si l0 6= 0, la suite ( uvnn ) est convergente vers ll0 . Théorème (dit théorème des gendarmes ) : Soient u, v et w des suites avec v et w convergentes vers une même limite l. Si, à partir d'un certain rang, vn ≤ un ≤ wn , alors la suite u est convergente vers l. http: // mathsfg. net. free. fr 3 Limites de suites, cours, classe de première S Preuve : On considère un intervalle ouvert contenant l. Il existe donc un nombre réel e strictement positif tel sue ]l − e; l + e[ est inclus dans cet intervalle. La suite (vn ) converge vers l donc à partir d'un certain rang N , vn est supérieur à l − e. La suite (wn ) est convergente donc à partir à partir d'un certain rang N 0 , wn < l + e. En outre, à partir d'un certain rang N 00 , on a vn ≤ un ≤ wn , donc à partir du plus grand des trois rangs N , N 0 et N 00 , on a un ≤ vn > l − e et un ≥ wn ≤ l + e donc wn est dans l'intervalle considéré. Ceci montre que la suite converge vers l. 4 4.1 Divergence de suites Notion de divergence Dénition : On dit que la suite (un ) diverge vers +∞ ou a pour limite +∞ (resp. −∞) lorsque tout intervalle de la forme [a; +∞[ où a est un réel (resp. ] − ∞; a]), contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note limn→+∞ un = +∞ (resp. limn→+∞ un = −∞) 4.2 Suites de référence divergentes Propriété : On a : • limn→+∞ n √= +∞ • limn→+∞ n = +∞ • limn→+∞ np = +∞ où p est un entier naturel non nul. Preuve : On justie le premier cas. Pour tout intervalle ]a; +∞[, pour tout rang n tel que n > a, n est dans l'intervalle ]a; +∞[ donc la suite diverge vers +∞. Pour tout rang n tel n > a2 , on a n2 > a donc la suite (n2 ) est divergente vers +∞. le dernier cas se traite de la même manière que les autres. Propriété : Soit (un ) une suite divergente vers +∞ et (vn ) une suite telle qu'à partir d'un certain rang vn ≤ un . Alors (vn ) est divergente vers +∞. Preuve : On considère un intervalle de la forme ]a; +∞[ où a est un réel. (un ) diverge vers +∞ donc à partir d'un certain rang N les termes de la suite (un ) sont dans l'intervalle ]a; +∞[. A partir d'un certain rang N 0 , vn ≤ un donc à partir du plus grand des rang N et N 0 , les termes de la suite (vn ) sont dans ]a; +∞[ ce qui démontre que la suite (vn ) est divergente vers +∞. http: // mathsfg. net. free. fr 4 Limites de suites, cours, classe de première S 5 Limites de suites géométriques Propriété : Soit q un réel diérent de 1. • Si q > 1, alors la suite (q n ) est divergente vers +∞ ; • si −1 < q < 1, alors la suite (q n ) est convergente vers 0 ; • si q ≤ −1, alors la suite (q n ) n'a pas de limite. Preuve : Pas de diculté. http: // mathsfg. net. free. fr 5