Equations différentielles - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 1
Programme de colle de la semaine 11 du 21/11 au 26/11
Équations différentielles
Dans tout le chapitre, Idésigne un intervalle. Les fonctions considérées seront définies sur Iet à valeurs
dans K=Rou C.
1 Équations différentielles linéaires d’ordre 1
1. Définition : une fonction f:I→Cest dite dérivable (resp. continue) sur Isi ses fonctions composantes
Re(f) et Im(f) sont dérivables (resp. continues). On pose alors f′= (Re(f))′+i(Im(f))′.
Exemple : si q∈C, la dérivée de x7→ eiqx est x7→ iqeiqx.
2. (⋆)Les solutions de l’équation homogène (H) : y′+a(x)y= 0 avec afonction continue sur Isont
{λe−F|λ∈K}avec Fprimitive de a.
Remarques :
• toutes les solutions sont proportionnelles à la solution e−F. On dit que l’ensemble des solutions SH
est une droite vectorielle (contient la fonction nulle).
• lorsque aest une fonction constante, les solutions de l’équation homogène sont proportionnelles à
x7→ e−ax.
3. (⋆)Les solutions de l’équation avec second membre (E) : y′+a(x)y=b(x) s’obtiennent en ajoutant à
une solution particulière les solutions de l’équation homogène.
L’ensemble des solutions SEest une droite affine de direction SH.
Remarques :
• lorsque aet bsont constantes, la fonction constante b
aest solution particulière.
• si l’équation est de la forme a(x)y′+b(x)y=c(x), on se place sur un intervalle où la fonction ane
s’annule pas et on est ramené à résoudre y′+b(x)
a(x)=c(x) a(x).
• Vocabulaire de la physique : le second membre est appelé excitation. Une solution de l’équation
homogène (H) est appelée solution du régime libre et une solution particulière de (E) est appelé
solution du régime forcé, indépendante des conditions initiales. Elle a la «même forme» que le
terme d’excitation.
4. (⋆)Méthode de la variation de la constante : recherche d’une solution particulière de y′+a(x)y=b(x)
sous la forme yp(x) = λ(x)e−F(x), alors λ′=beF. En particulier, on peut écrire avec x0∈I,
yp(x) = e−F(x)Zx
x0
b(t)eF(t)dt.
5. Problème de Cauchy : il existe une unique solution définie sur Ide y′+a(x)y=b(x)acontinue sur I
vérifiant la condition initiale y(x0) = y0. Cela signifie que (si I=R) par un point du plan, passe une et
une seule courbe intégrale. En particulier, les courbes intégrales ne s’intersectent pas.
6. Problèmes de raccord Pour résoudre a(x)y′+b(x)y=c(x) lorsque la fonction a:R→Rs’annule en
x0par exemple, on la résoud sur les intervalles ] − ∞, x0[ et ]x0,+∞[. On se demande alors s’il existe
des solutions définies sur Rtout entier. Elles ne peuvent être obtenues qu’en «raccordant» par continuité
et dérivabilité des solutions sur ] − ∞, x0[ avec des solutions sur ]x0,+∞[. On peut alors obtenir soit
0 solution, soit 1 solution, soit 1 droite de solutions (une constante), soit un plan de solutions (deux
constantes).

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2 EDL du second ordre à coefficients constants
1. Résolution de l’équation homogène à coefficients constants (a6= 0) ay′′ +by′+cy = 0 (H).
On note ∆ le discriminant du polynôme P=aX2+bX +c.
(a) Cas K=C
• si ∆ 6= 0, Padmet deux racines r1et r2. On a alors
SH={x7→ αer1x+βer2x|(α, β)∈C2}.
• si ∆ = 0, Padmet une unique racine r. On a alors
SH={x7→ αerx +βxerx |(α, β)∈C2}.
(b) Cas K=R
• si ∆ >0, Padmet deux racines réelles r1et r2. On a alors (régime apériodique)
SH={x7→ αer1x+βer2x|(α, β)∈R2}.
• si ∆ = 0, Padmet une unique racine réelle r. On a alors (régime critique)
SH={x7→ αerx +βxerx |(α, β)∈R2}.
• si ∆ <0, Padmet deux racines complexes conjuguées r1=ρ+iw et r2=ρ−iw. On a alors
(régime pseudo-périodique)
SH={x7→ eρx (αcos(wx) + βsin(wx)) |(α, β)∈R2}.
Remarques :
• Dans tous les cas les solutions de ay′′ +by′+cy = 0 sont combinaisons linéaires de deux solutions.
On dit que SHest un plan vectoriel (espace vectoriel de dimension 2).
•(⋆)Un signal de la forme t7→ acos(ωt) + bsin(ωt) peut s’écrire sous la forme t7→ Acos(ωt +φ) avec
ωla pulsation, Al’amplitude et φle déphasage.
2. Avec second membre.
Les solutions de l’équation avec second membre ay′′ (x) + by′(x) + cy(x) = f(x) (E) s’obtiennent en
ajoutant à une solution particulière de (E) les solutions de l’équation homogène (H)ay′′ +by′+cy = 0.
Remarque : on dit que l’ensemble des solutions de (E) est un plan affine de même direction que SH.
3. Comment trouver une solution particulière ? Quelques «recettes 1»
• Principe de superposition
• Cas d’un second membre polynomial, on cherche une solution particulière polynomiale.
• Cas d’un second membre de la forme f(x) = emx avec m∈K: l’équation (E) admet une solution
particulière ypde la forme :
–yp(x) = qemx si mn’est pas racine de aX2+bX +cavec q∈K.
–yp(x) = qxemx si mest racine simple de aX2+bX +c.
–yp(x) = qx2emx si mest racine double de aX2+bX +c.
• Cas d’un second membre de la forme f(x) = cos ωx (signal sinusoïdal de pulsation ω). Alors on aura
une solution particulière sinusoïdale avec même pulsation, du type yp(x) = Acos ωx +Bsin ωx (ou
y(t) = Acos(ωt+φ)). Pour cela, on cherche une solution complexe de l’équation (Ec) : ay′′ +by′+c′=
eiωx. On en prend la partie réelle et cela fournit une solution particulière de (E).
4. Problème de Cauchy : il existe une unique solution de ay′′ +by′+cy =f(x) vérifiant les conditions
initiales y(x0) = y0et y′(x0) = y′
0.
1. Ce sont les seules au programme.