Chapitre V. Réduction des endomorphismes. Marc de Crisenoy

Chapitre V. R´eduction des endomorphismes.
Marc de Crisenoy
Convention: dans tout le cours, Kd´esigne un corps commutatif. (En pratique K=Q,Rou C).
1) Sous espaces stables.
D´ef. 1. Soit Eun K-ev. Soient u∈L(E) et Fun sev de E.
On dit que Fest stable par usi u(F)⊂F.
Rq. 2. Soit Eun K-ev. Soient u∈L(E) et Fun sev de E.
Alors Fest stable par ussi ∀x∈F u(x)∈F.
Ex. 3. Soit Eun K-ev.
a) Soit u∈L(E). Alors {0E}et Esont stables par u.
b) Soit α∈K. Alors tout sev de Eest stable par αIdE.
D´ef., notation et rq. 4. Soit Eun K-ev. Soient u∈L(E) et Fun sev de E.
On suppose que Fest stable par u. On appelle restriction de u`a Fl’application de Fdans lui
mˆeme qui `a xassocie u(x). On la note u|F. C’est un endomorphisme de F.
Prop. 5. Soit Eun K-ev de dimension finie. On note n= dim E.
Soit e= (e1, . . . , en) une base de E.
Soit u∈L(E). On note M= Mat(u, e). M∈Mn(K). On note M= (aij )(i,j)∈{1,...,n}×{1,...,n}.
On suppose que n≥2. Soit p∈ {1, . . . , n −1}. On note F= Vect(e1, . . . , ep).
On d´ecoupe Men 4 blocs: M=N P
Q Ro`u:
N= (aij )(i,j)∈{1,...,p}×{1,...,p},N∈Mp(K). P= (aij )(i,j)∈{1,...,p}×{p+1,...,n},P∈Mp,n−p(K).
Q= (aij )(i,j)∈{p+1,...,n}×{1,...,p},Q∈Mn−p,p(K). R= (aij )(i,j)∈{p+1,...,n}×{p+1,...,n},R∈Mn−p(K).
Alors les 3 assertions suivantes sont ´equivalentes:
i) Fest stable par u, ii) ∀(i, j)∈ {p+ 1, . . . , n}×{1, . . . , p}aij = 0, iii) Q=On−p,p.
Lorsque ces assertions sont vraies, on a N= Mat(u|F,(e1, . . . , ep)).
Indication pour ii) =⇒i).
Commencer par montrer que ∀j∈ {1, . . . , p}u(ej)∈F.
Th´eo. 6. Soit Eun K-ev. Soient u, v ∈L(E). On suppose que u◦v=v◦u.
Alors Im(v) et Ker(v) sont stables par u.
2) Valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme.
D´ef. 7. Soit Eun K-ev. Soit u∈L(E). Soit α∈K.
On dit que αest une valeur propre de us’il existe x∈E\ {0E}tel que u(x) = αx.
Rq. 8. La condition x6= 0Eest essentielle!
D´ef. 9. Soit Eun K-ev. Soit u∈L(E). Soit x∈E.
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On dit que xest un vecteur propre de usi x6= 0Eet s’il existe α∈Ktel que u(x) = αx.
D´ef. 10. Soit Eun K-ev. Soit u∈L(E). Soient αune valeur propre de uet x∈E.
On dit que xest un vecteur propre de uassoci´e `a αsi x6= 0Eet u(x) = αx.
Rq. 11. Soit Eun K-ev. Soit u∈L(E). Soit xun vecteur propre de u.
Alors il existe une et une seule valeur propre de u`a laquelle xsoit associ´e.
Exo. 12. Soit Eun K-ev. Soit u∈L(E). Soit x∈E\ {0E}.
V´erifier que Kxest stable par ussi xest un vecteur propre de u.
D´ef. et notation 13. Soit Eun K-ev. Soit u∈L(E).
On appelle spectre de u, et l’on note Sp(u), l’ensemble des valeurs propres de u. C’est une
partie de K.
3) Sous espaces propres d’un endomorphisme.
Prop. 14. Soient Eun K-ev, u∈L(E) et α∈K.
Alors αest une valeur propre de ussi u−αIdEn’est pas injectif.
Rq. 15. Soient Eun K-ev et u∈L(E).
Alors 0Kest une valeur propre de ussi un’est pas injectif.
D´ef., notation et rq. 16. Soit Eun K-ev. Soit u∈L(E). Soit αune valeur propre
de u. On appelle sous espace propre (de u) associ´e `a α, et l’on note Eα, le sev de Esuivant:
Ker(u−αIdE). Il est non nul.
Rq. 17. Soit Eun K-ev. Soit u∈L(E). Soit αune valeur propre de u. Alors:
a)i) ∀x∈E(x∈Eα⇐⇒ u(x) = αx).
ii) Eα={0E}∪{x∈E|xest un vecteur propre de uassoci´e `a α}.
b)i) Eαest stable par u, ii) u|Eα=αIdEα.
Prop. 18. Soit Eun K-ev. Soit u∈L(E).
Soit m∈N∗. Soient α1, . . . , αmdes valeurs propres de udeux `a deux distinctes.
Soient x1, . . . , xm∈E.
On suppose que pour tout i∈ {1, . . . , m}xiest un vecteur propre de uassoci´e `a αi.
Alors (x1, . . . , xm) est libre.
Indications.
Proc´eder par r´ecurrence sur m.
Si n´ecessaire, pour comprendre ce qu’il se passe, regarder les cas m= 2,3.
Cor. 19. Soit Eun K-ev. Soit u∈L(E). On suppose que Eest de dimension finie.
Alors ua au plus dim Evaleurs propres.
Th´eo. 20. Soit Eun K-ev. Soit u∈L(E).
Soit m∈N∗. Soient α1, . . . , αmdes valeurs propres de udeux `a deux distinctes.
Alors Eα1, . . . , Eαmsont en somme directe.
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4) Polynˆome caract´eristique.
Exo. 21. Soit n∈N∗. Soit B= (bij )∈Mn(Q). On suppose que ∀i, j bij ∈Z.
Justifier que det B∈Z.
Notation. 22. On note K[X] l’anneau des polynˆomes `a coefficients dans K.
Rq. 23. Notons F=K(X) le corps des fractions rationnelles `a coefficients dans K. On
rappelle que par construction Fest un corps incluant K[X]. (En un sens `a pr´eciser c’est le plus
petit corps ayant cette propri´et´e, mais nous ne nous servirons pas de cela).
Soit n∈N∗. Soit B= (bij )∈Mn(F). On suppose que ∀i, j bij ∈K[X]. Alors det B∈K[X].
Exo. 24. a) V´erifier cette remarque pour n∈ {1,2,3}.
b) D´emontrer la (on pourra utiliser une r´ecurrence sur nou utiliser la formule explicite du
d´eterminant).
D´ef. et notation 25. Soit n∈N∗. Soit A∈Mn(K). det(XIn−A), qui est un polynˆome `a
coefficients dans K, est appell´e polynˆome caract´eristique de Aet est not´e χA.
Rq. 26. Certains cours adoptent une d´efinition l´eg`erement diff´erente: c’est det(A−XIn)
qui est appel´e polynˆome caract´eristique de A.
Ex. 27. Soit n∈N∗.
a) Soit A= (aij )∈Mn(K).
On suppose que Aest triangulaire sup´erieure ou triangulaire inf´erieure. Alors χA=
n
Y
i=1
(X−aii).
b) Soient b1, . . . , bn∈K. Alors χdiag(b1,...,bn)=
n
Y
i=1
(X−bi).
c) Soit b∈K. Alors χbIn= (X−b)n.
Prop. 28. Soit n∈N∗. Soit B= (bij )∈Mn(K(X)). On suppose que ∀i, j bij ∈K[X].
Alors ∀x∈K(det B)(x) = det((bij (x))i,j ).
Indication.
Proc´eder par r´ecurrence sur n.
Cor. 29. Soit n∈N∗. Soit A∈Mn(K). Alors ∀x∈KχA(x) = det(xIn−A).
Lemme 30. Soit n∈N∗. Soit B= (bij )∈Mn(K(X)).
On suppose que ∀i, j bij ∈K[X] et que ∀i, j deg bij ≤1.
Alors deg B≤n.
Indication.
On pourra utiliser une r´ecurrence sur nou utiliser la formule explicite du d´eterminant.
Prop. 31. Soit n∈N∗. Soit A∈Mn(K). Alors le polynˆome χAa les propri´et´es suiv-
antes:
i) il est unitaire de degr´e n,
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ii) le coefficient de Xn−1est −tr(A),
iii) son terme constant est (−1)ndet A.
Indications.
D´emontrer i) et ii) ensemble, on pourra utiliser une r´ecurrence sur nou utiliser la formule
explicite du d´eterminant.
Prop. 32. Soit n∈N∗. Soient M, M 0∈Mn(K).
On suppose que Met M0sont semblables. Alors χM=χM0.
Rq. 33. Ceci permet de retrouver le fait que si deux matrices carr´ees de mˆeme taille sont
semblables, alors elles ont mˆeme d´eterminant et mˆeme trace.
Lemme 34. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. Soit u∈L(E).
Soient e, e0deux bases de E. Alors χMat(u,e)=χMat(u,e0).
D´ef. et notation 35. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. Soit u∈L(E).
χMat(u,e)ne d´epend pas du choix de la base e. Par d´efinition, c’est le polynˆome caract´eristique
de u, on le note χu.
Ex. 36. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. Soit β∈K. Alors χβIdE= (X−β)dim E.
Prop. 37. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. Soit u∈L(E).
Alors ∀x∈Kχu(x) = det(xIdE−u).
Rq. 38. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. Soit u∈L(E).
Il faut remarquer que XIdEn’a pas de sens. A fortiori, det(XIdE−u) n’a pas de sens non plus.
Th´eo. 39. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. On note n= dim E. Soit u∈L(E).
Alors le polynˆome χua les propri´et´es suivantes:
i) il est unitaire de degr´e n.
ii) le coefficient de Xn−1est −tr(u).
iii) son terme constant est (−1)ndet u.
Th´eo. 40. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. Soit u∈L(E). Soit α∈K.
Alors: αest une valeur propre de u⇐⇒ αest racine de χu.
Ce th´eor`eme permet de donner une nouvelle preuve du r´esultat suivant:
Prop. 41. Soit Eun K-ev de dimension finie. Soit u∈L(E). Alors ua au plus dim E
valeurs propres.
Rq. 42. (Cas o`u K=C). Soit Eun C-ev de dimension finie non nulle. Soit u∈L(E).
Alors ua au moins une valeur propre.
Exo. 43. Soit Eun R-ev de dimension finie. On suppose que dim Eest impaire.
Soit u∈L(E). Alors ua au moins une valeur propre.
Th´eo. 44. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. Soit u∈L(E).
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Soit Fun sev non nul de E. On suppose que Fest stable par u. Alors χu|Fdivise χu.
Indications.
Compl´eter une base de Fen une base de E. Consid´erer des blocs.
Notation et prop. 45. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. Soit u∈L(E).
Soit λune valeur propre de u. On note mλla multiplicit´e de λdans χu. Alors dim Eλ≤mλ.
Indication.
Eλest stable par u.
Cor. 46. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. Soit u∈L(E). Soit λ∈K.
On suppose que λest une racine simple de χu. Alors Eλest une droite.
5) Valeurs propres d’une matrice carr´ee.
Notation, d´ef. et lemme. 47. (Rappel). Soit n∈N∗. Soit A∈Mn(K).
On consid`ere l’application ϕA:Mn,1(K)→Mn,1(K) d´efinie par ϕA(X) = AX.
Alors ϕAest un endomorphisme de Mn,1(K). ϕAest appel´e endomorphisme canoniquement
associ´e `a A. La matrice de ϕAdans la base canonique de Mn,1(K) est ´egale `a A.
D´ef. 48. Soit n∈N∗. Soit A∈Mn(K). Soit α∈K.
On dit que αest valeur propre de As’il existe X∈Mn,1(K)\ {0}tel que AX =αX.
Rq. 49. Soit n∈N∗. Soit A∈Mn(K). Soit α∈K.
Alors αest valeur propre de Assi αest valeur propre de ϕA.
D´ef. et rq. 50. Soit n∈N∗. Soit A∈Mn(K). On appelle spectre de A, et l’on note
Sp(A), l’ensemble des valeurs propres de A. On a Sp(A) = Sp(ϕA).
Rq. 51. Soit n∈N∗. Soit A∈Mn(K). Alors χA=χϕA.
Prop. 52. Soit n∈N∗. Soit A∈Mn(K). Soit α∈K.
Alors αest valeur propre de Assi αest racine de χA.
6) Diagonalisation d’un endomorphisme.
Prop. et d´ef. 53. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. Soit u∈L(E).
Alors les 2 assertions suivantes sont ´equivalentes:
i) X
α∈Sp(u)
Eα=E, ii) il existe une base de Eform´ee de vecteurs propres de u.
Lorsque ces assertions sont vraies, on dit que uest diagonalisable.
Rq. 54. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. On note n= dim E. Soit u∈L(E).
Soit e= (e1, . . . , en) une base de E.
Alors Mat(u, e) est diagonale ssi pour tout j∈ {1, . . . , n}ejest un vecteur propre de u.
Rq. 55. Soit Eun K-ev de dimension finie non nulle. Soit u∈L(E).
Alors uest diagonalisable ssi il existe une base ede Etelle que Mat(u, e) soit diagonale.
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