Chapitre 10 Schéma de Bernoulli et loi binomiale Première S Exemple : On fait tourner la roue de loterie présentée ci-contre : On obtient la couleur « rouge » avec la probabilité …….. et la couleur « bleu » avec la probabilité ……… Le joueur est gagnant lorsque la flèche s’arrête sur la zone bleue comme sur la figure cicontre. On décide de noter S (comme succès) cette éventualité et de noter E (comme échec) l’éventualité contraire c’està-dire « la flèche tombe sur la zone rouge ». 1) Définition : Epreuve de Bernoulli Une expérience à deux issues, succès ou échec, est appelée « épreuve de Bernoulli ». 2) Définition : Loi de Bernoulli On considère qu’on est dans la situation d’un schéma de Bernoulli, S; E , on associe au succès S une probabilité p ( par conséquent, l’échec E est de probabilité 1 – p) . Une loi de Bernoulli de paramètre p est la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec. Soit X la variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p. Sa loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous : Valeurs de X 1 0 Probabilité p 1–p On a alors : E(X) = p et V(X) = p(1 – p). Démonstration : ………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… Suite exemple : On joue trois fois de suite dans des conditions identiques et on désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de succès obtenus. Réaliser un arbre pondéré représentant cette situation et en déduire la loi de la variable aléatoire X puis son espérance mathématique : 3) Définition : Schéma de Bernoulli On parle de « schéma de Bernoulli » lorsqu’on effectue une répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Exemple 2 : schéma de Bernoulli pour un paramètre p quelconque On fait maintenant tourner la roue de loterie présentée ci-contre : On obtient la couleur « Bleu » avec une probabilité qui dépend de l’angle indiqué sur la figure et qui est notée p. On obtient donc la couleur « Rouge » avec une probabilité de 1 – p . On décide encore de noter S (comme succès) cette éventualité et de noter E (comme échec) l’éventualité contraire c’est-à-dire « la flèche tombe sur la zone rouge ». On répète quatre fois cette épreuve de Bernoulli de paramètre p. 1) Représentons cette répétition par un arbre pondéré : 2) On définit alors la variable aléatoire X égale au nombre de succès obtenus à l’issue des quatre répétitions. En utilisant l’arbre ci-dessus, déterminons la loi de probabilité de X : ………………………………………………...... …………………………………………………. ………………………………………………… …………………………………………………. ………………………………………………… Valeurs de X Probabilités Exercices : 8, 9, 10, 11 page 310 4) Nouvelle notation : Les coefficients binomiaux : On représente à l’aide d’un arbre un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. n Pour tout entier k, 0 ≤ k ≤ n, le nombre de chemins réalisant k succès est noté (lire « k parmi n »). k Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux. Exemples : Si on reprend l’exemple précédent, 4 4 On note et on lit « 1 parmi 4 » le nombre de chemins qui conduisent à 1 succès exactement. Ici, ...... . 1 1 4 4 On note le nombre de chemins qui conduisent à 2 succès exactement. Ici, ...... . 2 2 Exemple 3 : Utiliser une représentation mentale de l’arbre pondéré : On décide maintenant de répéter cinq fois cette épreuve de Bernoulli et on note toujours X le nombre de succès obtenus à l’issue des cinq répétitions. La réalisation de l’arbre pondéré devient fastidieuse ! 1) Sans réaliser l’arbre, mais en s’inspirant de ce qui a déjà été fait, déterminer la probabilité des évènements X 0 et X 5 : ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 2) On s’intéresse dans cette question à la probabilité de l’événement X 2 : a) Quelle est la probabilité d’un chemin conduisant à exactement deux succès : …………………………………. ...... b) Comment note-t-on dans cette situation le nombre de chemins qui conduisent à 2 succès : ...... c) Déduisons-en le calcul à faire pour la probabilité de X 2 : …………………………………………………. 5) Définition : Loi binomiale On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre p et un schéma de Bernoulli associé à n répétitions de cette épreuve (celui-ci peut être représenté par un arbre pondéré qui comporte n niveaux). La loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p), est la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès dans la répétition de n épreuves de Bernoulli de paramètre p. 6) Propriété : Expression de la loi binomiale Soient un entier naturel n et un réel p [0 ; 1 ] La variable aléatoire X égale au nombre de succès dans la répétition de n épreuves de Bernoulli de paramètre p suit la loi binomiale B(n, p), avec pour tout entier k compris entre 0 et n : n nk p X k p k 1 p k En effet, la probabilité de chacun des chemins qui réalisent exactement k succès sur n épreuves est égale à : n nk p k 1 p . De plus, nous savons qu’il y a chemins possibles réalisant k succès d’où la formule ci-dessus. k 7) Propriétés (admises): Espérance et variance d’une loi binomiale B(n, p) Si X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors : E( X ) np et V ( X ) np 1 p Exercices : 13, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 24 pages 310-311 8) Propriétés des coefficients binomiaux : Imaginons un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, représenté à l’aide d’un arbre. n n Cas particuliers : Pour tout entier n, n ≥ 1, 1 et 1 . 0 n En effet, dans l’arbre, un seul chemin ne réalise aucun succès ; de même, un seul chemin réalise n succès. n n Symétrie des coefficients : Pour tous entiers n et k , n 1 et 0 k n, . k nk En effet, il y a autant de chemins qui réalisent k succès que de chemins qui réalisent k échecs, c’es-à-dire (n – k) succès. n n n 1 Triangle de Pascal : Pour tous entiers n et k , n 1 et 0 k n 1, k k 1 k 1 Lors de la réalisation de (n + 1) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, le nombre de chemins n 1 réalisant (k + 1) succès se note . k 1 Parmi ces chemins, il y en a deux types : n - Ceux qui commencent par un succès ; il faut donc ensuite k succès en n épreuves : leur nombre est k n - Ceux qui commencent par un échec ; il faut donc ensuite (k + 1) succès en n épreuves : leur nombre est k 1 n 1 n n On retrouve bien que . k 1 k k 1 Conséquence : le triangle de Pascal n On peut calculer les coefficients binomiaux de proche en proche à l’aide du tableau ci-contre, appelé triangle k de Pascal. Pour cela : n k 0 1 2 3 4 5 0 - On convient que 1 0 0 1 - On place des 1 dans la colonne correspondant aux coeff. 2 n n 3 et sur la diagonale correspondant aux coeff. 4 0 n 5 - On obtient alors les autres coefficients du tableau en additionnant le nombre juste au-dessus avec celui situé à gauche de celui-ci. Calcul des coefficients binomiaux à l’aide de la calculatrice : Avec une Casio Avec une TI Dans le menu RUN (calcul) : Taper n Touche OPTN puis ► (toucheF6) Puis touche MATH sélectionner en haut le menu PRB puis 3:Combinaison Puis taper n nCr (touche F3) p Puis taper p Exemple écran : 5C2 Exemple écran : 5 Combinaison 2 Exercices : 28, 29 page 311 Exercices d’application : 36, 38, 59 page 318 A rendre sur feuille : exercice 70 page 321