Physique TD n˚3 - Contact entre deux solides - Lois du frottement de glissement TD n˚3 - Contact entre deux solides - Lois du frottement de glissement 1 Entraînement par frottement Une barre de masse m1 est placée sur une planche de masse m2 , et l’ensemble repose sans frottement sur un plan horizontal en glace. Le coefficient de frottement de glissement entre la barre et la planche est noté µ. On exerce sur la planche une force horizontale F dont l’intensité croît linéairement avec le temps : F = αt, α étant une constante. 1. Écrire les équations différentielles du mouvement de la barre et de la planche. 2. Quelles sont les accélérations de la barre et de la planche dans la phase de non-glissement ? Déterminer l’instant t0 à partir duquel la planche glisse sous la barre. 3. Quelles sont les accélérations de la barre et de la planche dans la phase de glissement ? Réponses : 2. t0 = M ug(m1 +m2 ) , α 3. a2 = αt−µm1 g . m2 2 Masse sur un plan incliné Une masse m est maintenue par un fil sur un plan incliné faisant un angle α avec l’horizontale. Le fil passant par une poulie sans frottement est tendu par une masse M . g m 1. Déterminer l’expression Meq de la masse M qu’il faut suspendre pour que la masse m reste à l’équilibre : a. sans frottement entre m et le plan incliné. uz uy ux M α b. en présence de frottement solide de coefficient f . 2. Déterminer le mouvement de la masse m lorsque M > Meq et lorsque M < Meq , sachant que le mobile est laché avec une vitesse nulle en O, origine du repère, à t = 0 : a. sans frottement entre m et le plan incliné. b. en présence de frottement solide de coefficient f . Réponses : 1.b. Meq = m (f cosα + sinα), 2.b. x = ± (M − msinα − mf cosα)gt2 . 2m 3 Mesure d’un coefficient de frottement Une masse M1 est mobile sur un plan horizontal avec un coefficient de frottement cinétique f ; elle est relié par l’intermédiaire d’un fil sans masse et d’une poulie parfaite et de moment d’inertie négligeable à une masse M2 qui est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur h au-dessus d’un obstacle qui limite sa chute. On désigne par h + d la distance parcourue par M1 sur le plan horizontal avant de s’arrêter. Calculer le coefficient f en fonction de M1 , M2 , h et d à l’aide d’une méthode énergétique. Réponses : f = M1 M2 h M2 . M1 + hd (M1 + M2 ) MP2 - Année 2016/2017 1 Lycée Janson de Sailly Physique TD n˚3 - Contact entre deux solides - Lois du frottement de glissement 4 Expérience de Timochenko Deux cylindres identiques C1 et C2 de rayon a tournent avec une vitesse angulaire constante ω0 autour de leur axe dans le référentiel d’étude R supposé galiléen, les sens de rotation étant opposés. Les axes des deux cylindres sont fixes dans R, parallèles, dans un même plan horizontal et leur distance est L. Une planche P d’épaisseur négligeable devant a et L et de masse m est placée sur les cylindres. Celle-ci est suffisamment longue pour que le contact existe toujours ; il y a glissement aux points de contact I1 et I2 , avec un coefficient de frottement f pour le contact entre la planche et chacun des cylindres. On repère la position du centre de masse G de la planche par l’abscisse x. 1. Déterminer la composante normale de la résultante de l’action de chaque cylindre sur la planche, en fonction de m, g, L et x. Commentaires ? 2. Montrer que si −aω0 < ẋ < aω0 alors la composante tangentielle de la résultante de l’action de C1 (resp. C2 ) sur P est positive (resp. négative). 3. Etablir l’équation du mouvement de la planche. En déduire son mouvement. Quel peut être l’application de cette expérience ? 4. Par un calcul direct, déterminer la puissance dissipée par les frottements. Réponses : 1. N1 = P = −f mg ( 2xẋ L ) mg L (L 2 ) − x et N2 = mg L (L 2 ) + x , 2. T1 = f N1 et T2 = −f N2 , 3. ẍ + Ω20 x = 0 avec Ω0 = √ 2gf L , 4. + aω0 . 5 Tirer la nappe sans casser l’assiette On considère une assiette et son contenu (le tout formant un solide A de masse M ), posé sur le plateau P d’une table recouvert d’une nappe N de masse m (figure ci-contre). D’un geste brusque, on tire la nappe. La problématique est de savoir si l’assiette reste sur le plateau de la table... Le plateau est modélisé par un disque de centre O et de rayon R. La nappe a les mêmes dimensions que le plateau et une épaisseur négligeable. L’assiette circulaire, de rayon r, est placée au centre de la table. Un expérimentateur tire le bord de la nappe avec une force horizon− → → tale F = mα t− e x où α = C te . Le frottement entre la nappe et le plateau est négligé ; celui entre l’assiette et la nappe est pris en compte, avec un coefficient de frottement noté f . 1. On suppose que, tout au long de l’expérience, l’assiette glisse sur la nappe. Quel est le signe de la vitesse de glissement de l’assiette par rapport à la nappe, en projection sur ⃗ex ? 2. Calculer l’accélération ẍGA du centre de masse GA de l’assiette et ẍGN de celui GN de la nappe, dans le référentiel de la pièce R. En déduire xGA (t) et xGN (t). 3. Déterminer l’équation vérifiée par la durée τ pendant laquelle la nappe est en contact avec l’assiette. Lors d’un mouvement vif, on a α ≃ 2, 5 × 103 m.s−3 . Où se trouve l’assiette quand le contact nappeassiette cesse ? Conclusion ? Données : M = 400 g, m = 50 g, R = 25 cm, r = 5, 0 cm et f = 0, 20. Réponses : 2. xGA (t) = 21 f gt2 et xGN (t) = MP2 - Année 2016/2017 α 3 t 6 − fMg 2 t , 2m 3. α 3 τ 6 2 ( − fg 1 − M 2m ) τ 2 = R + r conduit à τ = 0.095s. Lycée Janson de Sailly Physique TD n˚3 - Contact entre deux solides - Lois du frottement de glissement 6 Glissement ou basculement d’un bloc Un bloc de masse m, de longueur ℓ (égale à sa largeur) et de hauteur h repose sur un plan initialement horizontal. On note f le coefficient de frottement statique entre le bloc et le plan, la nature du contact se caractérisant par f ∈ [0, 1]. Un opérateur augmente progressivement la valeur de l’angle α que fait le plan avec l’horizontale. On modélise le basculement éventuel du bloc par un pivotement sans glissement autour de la génératrice − − de contact passant par I. On note alors J le moment d’inertie du bloc par rapport à cet axe et → ω = −ω → ez son vecteur rotation instantané autour de cet axe, où sa vitesse angulaire est telle que ω > 0. 1. On ignore pour l’instant la possibilité de basculement du bloc. À quelle condition sur α y a-t-il glissement ? 2. A quelle condition sur α le bloc bascule-t-il sans glisser ? 3. En déduire la condition sur les dimensions du bloc telle que celui-ci glisse sans avoir préalablement basculé quelle que soit la surface sur laquelle il est posé. Application numérique : quelle est la longueur minimale d’un bloc d’un mètre de haut avec f = 0.5 pour qu’il glisse sans avoir préalablement basculé ? Réponses : 1. Glissement si tanα ≥ f , 2. Basculement si tanα ≥ MP2 - Année 2016/2017 3 ℓ , 3. Glissement sans basculement si ℓ > 50cm. h Lycée Janson de Sailly