Leçon 05

Leçon 5
Actions de contact entre deux solides. Frottement de glissement. Exemples
(PC)
--------------Bibliographie : leçon courte, donc résoudre un exercice. Limitation du programme : les problèmes (pas
la leçon ?) ne doivent pas faire intervenir les frottements de roulement & de pivotement.
 TecDoc Méca 2 : chapitre 5. Donne bien les limites du nouveau programme. Bref.
 Hachette Méca du Solide : chapitre 5. Bien.
 Ellipses Méca des systèmes MP-PT : une partie du chapitre III. Moyen. Bien pour les exemples de
résolution.
 Dunod Méca 2 : chapitre 9. Léger mais convenable.
I. FORCES & LIAISONS : à détailler (peu de matériel !)
1. Règles générales : la résolution d'un problème de mécanique suppose la réduction du nombre de
paramètres (pour n solides, 6n degrés de liberté). Les liaisons peuvent soit fixer un paramètre, soit fixer
son signe, soit établir des relations faisant ou non intervenir les vitesses.
2. Liaisons : elles laissent 1, 2 ou 3 degrés de liberté :
 1 degré de liberté : liaison de type glissière (translation) ou rotoïde (rotation) ;
 2 degrés de liberté : liaison de type verrou (un de rotation & un de translation) ou de type monture
équatoriale (2 de rotation) ;
 3 degrés de liberté : type plan sur plan (2 de translation & 1 de rotation) ou Cardan (3 de rotation).
Décrire plus particulièrement rotule & pivot.
II. FORCES DE CONTACT :
1. Définition : Elles assurent les liaisons entre deux solides. On supposera toujours le contact ponctuel en I (ce qui suppose une rigidité infinie des corps) ; en réalité, il a lieu sur une surface (écrasement).
On utilise un repère lié au solide S1, qui devient fixe, & on appelle I1 & I2 les points de S1 & S2 coïncidant avec le point de contact I.
2. Torseur des forces de contact : il vérifie T12   T21  (principe de l'action & de la réaction).

 
Comme le contact est ponctuel, les moments sont nuls, & on décompose la résultante en R  N  T ; On
 

 
définit le torseur des vitesses du solide mobile S2 par ,u avec   T   N . Il en résulte que :


 
 u  V I 2  V I 1  V I 2 est la vitesse de glissement (indépendante du repère en vertu de la loi de composition des vitesses) ;


  N est le couple de pivotement, &  T est le couple de roulement.
3. Types de contact : rapide ! la vitesse d'un point M quelconque du solide S2 dans le repère lié à




S1 est donnée par VM  u  MI  (T   N ) . On distingue :

  
 Le pivotement pur (sans roulement ni glissement) : u  0 & T  0 ;

  
 Le roulement pur (sans glissement ni pivotement) : u  0 &  N  0 ;

 

 Le glissement pur (sans roulement ni pivotement) : T  0 &  N  0 ;


4. Puissance des actions de contact : pour une liaison parfaite, le moment résultant est nul (contact
 
  
ponctuel ou réaction normale) : la puissance se réduit donc à P  u.R  u.T , nulle si T  0 (absence de

frottement de glissement) ou u  0 (absence de glissement : cas du roulement sans glissement). On dit
alors que l'articulation est parfaite. Dans les autres cas, on a P  0 .
III. FROTTEMENT DE GLISSEMENT : le seul cas à étudier dans le cadre du programme.
    


1. Lois de Coulomb : elles s'écrivent T  u  0, T . u  0, T  f . N , f  Tan  . La composante

tangentielle de la force de contact est donc colinéaire à u , de sens opposé (puissance dissipée négative,
normal pour un frottement). f est le coefficient de frottement dynamique (en pratique compris entre 0 &


 
0,5), qui dépend de tout, & R appartient à un cône d'axe N , d'angle  (angle de frottement). Si u  0 , f
= fo (coefficient de frottement statique) nettement supérieur à f (discontinuité, pousser une voiture à
l'arrêt & déjà en mouvement).
2. Exemples : l'étude de l'oscillateur amorti par frottement solide est hors programme. On peut en
parler pour bien préciser ce qui distingue le frottement solide & le frottement visqueux. Résoudre par
exemple l’exercice suivant, & peut-être réaliser la manip correspondante.
Exercice tiré de TecDoc Orange (édition précédente, méca 2)
On entraîne un solide  de masse m1, par la chute du poids m2g
sur la hauteur h (cf figure). Ainsi lancé sur la longueur h, le solide  frottant sur le support horizontal parcourt la distance d
avant de s'immobiliser. Le fil de liaison est supposé inextensible
et de masse négligeable. On négligera aussi la masse de la poulie
de transmission. Cette poulie est mobile autour de son axe horizontal fixe. Exprimer le coefficient de frottement de glissement f
(supposé constant) pour le contact de , avec le support horizonm
d
tal en fonction de 1 & .
m2
h
Solution :
Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à l'ensemble pendant la durée de chute donne :
1
m1  m2 v 2  m2 gh  fm1gh , où m2gh représente le travail du poids m2g & où - fm1gh est le travail
2
de la force de frottement constante de module fm1g s'exerçant sur le solide . Le travail des forces intérieures est nul car le fil de liaison est inextensible. La poulie n'intervient pas dans ce bilan car d'une part
son énergie cinétique est négligeable, d'autre part le fil ne glissant pas dans la gorge de la poulie, le travail des actions de contact exercées par la poulie sur le fil est nul. L’énergie cinétique ainsi acquise par le
m1
1
m2  fm1 gh . Cette énergie
solide  dans cette phase du mouvement est : EC  m1v 2 
2
m1  m2
cinétique est ensuite absorbée complètement par frottement de glissement sur la distance d, soit :
m1
1
m2  fm1 gh  fm1gd d’où on déduit : f 
. En faisant varier h, on doit
m1  m2
m1 
m1  d

 1 
m2  m2  h
d
vérifier que le rapport
reste sensiblement constant, m1 & m2 ayant des valeurs fixées. En adoptant une
h
valeur moyenne pour ce rapport, on en déduit une valeur du coefficient f.