DEVOIR MAISON N° 2 Suites et démonstration par récurrence Pour le 9 octobre 2009 On définit, pour tout entier naturel n non nul, la suite ( un ) de nombres réels strictement positifs par : un = n2 . 2n 1) Pour tout entier naturel n non nul, on pose v n = a) Montrer que lim v n = n →+∞ un +1 . un 1 . 2 b) Montrer que pour tout entier naturel non nul, v n > 1 . 2 c) Trouver le plus petit entier naturel N tel que, si n ≥ N , v n < 3 . 4 3 un . 4 2) On pose, pour tout entier naturel n ≥ 5 , Sn = u5 + u6 + ... + un . On se propose de montrer d) En déduire que si n ≥ N alors un +1 < que la suite ( Sn )n ≥5 est convergente. n −5 3 a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 5 : un ≤ u5 . 4 n −5 3 3 2 3 b) Montrer que pour tout entier naturel n ≥ 5 , Sn ≤ 1 + + + ... + u5 . 4 4 4 c) En déduire que pour tout entier naturel n ≥ 5 , Sn ≤ 4u5 . 3) On admettra qu’une suite croissante et majorée est convergente. Montrer que la suite ( Sn )n ≥5 est croissante et en déduire qu’elle converge. C. Lainé