Les variables aléatoires - Maths en classes préparatoires

Lycée Med Reda Slaoui
Centre Des Classes Préparatoires
Agadir
Année Scolaire : 04/05
BCPST 1
Série n◦ 16
Les variables aléatoires
Exercice 1.
On lance deux dés. On appelle M le plus grand nombre des deux résultats.
Déterminer la loi de probabilité, la fonction de répartition et l'espérance mathématique de
M.
Exercice 2.
Un sac contient 5 boules indiscernables au toucher portant les chires 1, 2, 3, 4, 5.
1. On tire simultanément deux boules du sac. Soit a et b les chires portés par les deux
boules tirées.
À chaque tirage, une variable aléatoire X associe :
si a et b sont pairs
si a et b sont impairs

0 si a et b sont de parités diérentes


a+b
2
|a−b|
2
(a) Établir la loi de probabilité de X .
(b) Dénir sa fonction de répartition et la représenter graphiquement.
2. On tire cinq fois de suite deux boules du sac en remettant chaque fois dans la sac les
deux boules tirées avant le tirage suivant.
(a) Calculer la probabilité d'obtenir 3 fois a et b de même parité.
(b) Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois a et b de partités diérentes.
Exercice 3.
Un joueur lance lance deux pièces de monnaie. Le joueur paiera 4DHS si aucune ne tombe
du coté pile, il recevra 1DH si une pièce et une seule tombe du coté pile.
Déterminer combien ce joueur doit recevoir quand les deux pièces tombent du coté pile,
sachant que l'espérance mathématique du gain pour ce joueur doit être nulle.
Exercice 4.
Une usine comporte 8 machines identiques. La probabilité de tomber en panne, pour chaque
machine, est p = 0.1. On considère que les pannes sont indépendants les uns des autres.
On appelle X la v.a.r qui comptabilise le nombre de machines en panne.
1. Déterminer la loi de probabilité de X .
2. Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de la variable aléatoire X .
Exercice 5.
Sur un dé à 6 faces, l'une porte le chire 4, une autre le chire 3, deux autres le chire
2 et les deux dernières le chire 1. On suppose que chaque face apparît avec la même
probabilité.
1. On lance le dé. On désigne par X la variable aléatoire dénie par la somme des
chires sur les cinq faces visibles.
1
(a) Quelles sont les valeurs prises par X ?
(b) Donner la loi de probabilité de X .
2. On lance trois fois de suite le dé. On désigne par Yn la v.a.r égale au nombre de fois
où X est strictement inférieur à 10.
(a) Quelles sont les valeurs prises par Y3 ?
(b) Donner la loi de probabilité de Y3 .
3. On lance n fois de suite le dé. On désigne par Yn la v.a.r égale au nombre de fois où
X est strictement inférieur à 10.
Déterminer le plus petit entier naturel n tel que : p(Yn = n) ≤ 10−3
Exercice 6.
Karim tire sur une cible avec la probabilité p (p ∈]0, 1[) d'atteindre cette cible. Il tire n
fois de suite sur cette cible (n ∈ N∗ )
À l'issue des n tirs, un compteur comptabilise le nombre de fois où la cible a été atteinte
au cours de ces n tirs.
Malheureusement, le compteur est détraqué et il ache le bon résultat avec la probabilité
1
1
2 , et le bon résultat plus un avec la probabilité 2 .
On note X la variable aléatoire égale au nombre aché par le compteur.
Déterminer la loi de X et calculer E(X).
Exercice 7.
On dispose de n urnes U1 , U2 , ..., Un (n ∈ N∗ ). ∀k ∈ {1, 2, ..., n}, Uk contient k boules
numérotées de 1 à k. On choisit une urne au hasard, puis on tire une boule de cette urne.
On dénit les deux variables aléatoires :
X = numéro de l'urne choisie,
Y = numéro de la boule tirée.
1. Déterminer la loi du couple (X, Y ).
2. Calculer E(Y ) et V (Y ).
Exercice 8.
1. Une usine produit des pièces pour motos. On constate que, sur un grand nombre de
pièces fabriquées, 90% sont de première qualité.
On prend 10 pièces au hasard.
Calculer les probabilités pour que dans ce lot, il y ait un nombre de pièces de première
qualité égal à 0; 5; 10.
2. La même usine a aussi constaté que 2% des pièces doivent être rejetées.
Quelle est la probabilité pour qu'il y ait au plus deux pièces à rejeter dans un lot 100
pièces ?
Exercice 9.
1. On jette un dé trois fois de suite ; on appelle X, Y, Z les points montrés successivement
par le dé.
Calculer les probabilités des événements :
X + Y = Z, X + Y + Z = 7, X + Y = 2Z
2. On considère plus généralement trois variables aléatoires indépendantes X, Y et Z ,
pouvant prendre avec des probabilités égales les valeurs 1, 2, ..., n.
Déterminer la probabilité de X + Y = Z .
2
Exercice 10.
Soient X et Y deux v.a.r prenant leurs valeurs dans {0, 1, 2}. On suppose que la loi du
couple (X, Y ) est donnée par le tableau :
Y
X\
0
1
2
0
p
2p
4p
1
2
p
2
p
4
p
2
p
2p
p
1. Que doit vérier p pour que ce tableau représente eectivement la loi conjointe d'un
couple de v.a.r.
2. Déterminer les lois marginales de ce couple.
3. Calculer le coecient de corrélation entre X et Y .
4. X et Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 11.
On place 3 boules distinctes dans 3 urnes distinctes de manière aléatoire avec, éventuellement, plusieurs boules dans une même urne. Soit N : le nombre d'urnes occupées et X :
le nombre de boules dans une urne donnée.
1. Déterminer la loi du couple (N, X), N et X sont-elles indépendantes ?
2. Calculer E(N ), V ar(N ), E(X) et V ar(X).
3. Calculer E(N + X), E(N X), Cov(N, X) et V ar(N + x).
Exercice 12.
Un sac contient 100 billes : 36 sont rouges, les autres sont bleus. On admet que la probabilité
d'obtenir une bille rouge en un tirage est 0.36.
1. Une épreuve consiste à tirer 16 fois de suite une bille, en remettant à chaque fois la
bille tirée dans le sac après avoir noté sa couleur. Le nombre de fois où l'on tire une
bille rouge est une v.a.r X .
Déterminer l'espérance mathématique de X , sa variance et son écart-type σ
2. À l'aide de l'inégalité de Bienyamé-Tchebichev, estimer la probabilité pour que
|X − m| ≥ 2σ (m = E(X)).
À quelles valeurs de X cela correspond-il ?
Exercice 13.
On jette deux dés. Soit X la v.a.r égale au plus petit des des nombres de points amenés
par les deux dés et Y la v.a.r égale au plus grand des nombres de points amenés par chaque
dé.
1. Déterminer la loi du couple (X, Y ).
2. Montrer que les variables X et Y ne sont pas indépendantes.
3. Établir les lois de probabilités conditionnelles.
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