Programme : Probabilités et révisions d`algèbre

Colle 4 – Semaine du 3 octobre
Lycée Jean Bart, PC∗
–
§ 2. Probabilités sur un univers (au plus) dénombrable
Programme : Probabilités et révisions d’algèbre
:o Ensembles dénombrables : N, Z, N2 , Q et Q[X] sont dénombrables ; application jolie
« l’ensemble des nombres algébriques est dénombrable ». R n’est pas dénombrable.
{0, 1}N n’est pas dénombrable.
§ :. Révisions d’algèbre de Sup (en autonomie)
:o Espaces vectoriels de référence : Kn , KΩ , M n,, ( p)(K), K[X], Kn [X]. Critère de sev.
2o Famille libre/liée (cas particulier d’une famille de polynômes étagée en degré), famille génératrice, sous-espace vectoriel engendré par, notation Vect. Dimension.
n.b. : « Savoir écrire sous la forme d’un Vect » est un savoir-faire essentiel en algèbre.
2o Tribu : déf, stabilité par ∩ dénombrable, par soustraction. Déf d’un espace probabilisable sur un univers au plus dénombrable.
3o Somme F+G, somme directe, supplémentaire. En dimension finie : tout sev possède
un supplémentaire. Exemple des matrices symétriques et antisymétriques.
4o Proba sur un espace probabilisable (au plus dén.) : déf, espace probabilisé, continuités
3o Dictionnaire événements/ensembles.
croissante et décroissante, sous-additivité. Règles de calculs : P(A) = 1−P(A), P(A\
B) = P(A)−P(A∩B), A ⊂ B ⇒ P(A) ¶ P(B), P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B).
P
5o Th « du germe » : (Ω, A ) esp. probabilisable. Si ( pn ) ⊂ R+ vérifie
pn cv : alors in
définit une unique probabilité sur (Ω, A ) en posant, si Ω = {ωn | n ∈ N}, P({ωn }) =
pn .
4o Application linéaire, vocabulaire iso/endo/auto, notation GL(E), exemples des projecteurs et des symétries.
− Caractérisation d’un projecteur par p ◦ p = IdE .
− noyau et image sont des espaces vectoriels.
6o Conditionnement, indépendance deux à deux, mutuelle, formules de Bayes, des probabilités composées. PA est une probabilité sur (Ω, A ).
− f ∈ L (E, F) est injective ⇔ ker(f ) = {0E } et f surjective ⇔ Im(f ) = F.
5o En dimension finie : rang, théorème du rang, pour un endo. inf ⇔ surj ⇔ bij,
matrice d’un endomorphisme dans une base donnée, détermination d’une base du
noyau, de l’image, pivot de Gauß.
7o Syst. complet d’événements et formule des proba totales.
8o Variable aléatoire sur un univers au plus dénombrable, th du germe (admis). Exemple
de l’indicatrice d’un événement. Déf de l’indépendance de deux var.
6o Calcul matriciel : multiplication par un scalaire, addition, produit (formule des coefficients du produit à connaître), transposition, inverse et caractérisation par le rang,
calcul de l’inverse par la méthode de Gauß-Jordan.
9o sce classiques : (A, A) et (X = x) x∈X(Ω) .
:0o Espérance : déf, linéarité, positivité et croissance.
o
7 Déterminant : opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes, développement
par rapport à une ligne ou une colonne. Formules det(AB), det(A−1 ).
::o Variance : déf, formule de König, moment d’ordre 2, caractérisation des var presque
sûrement (p.s.) constante, V(aX + b ), V(X + Y) quand X et Y sont indépendantes.
:2o Écart-type : déf, même unité que X, σ(aX + b ).
:3o Théorème de transfert (admis).
:4o Loi géométrique : déf via X(Ω) et P(X = k). Description du protocole expérimental
correspondant, E(X) (avec preuve) et V(X). Déf de var sans mémoire, caractérisation des var de lois géométriques par cette propriété.
:5o Loi de Poisson : déf, E(X) et V(X) à savoir retrouver avec la série exponentielle.
N’oubliez pas de me remettre votre rapport de colle pour le lundi :0 octobre.
LJB PC* –– "colle 4 - PRG"
:/: