Programme : Probabilités et révisions d`algèbre

Lycée Jean Bart, PC∗Colle 4–Semaine du 3octobre –
Programme : Probabilités et révisions d’algèbre
§:. Révisions d’algèbre de Sup (en autonomie)
:oEspaces vectoriels de référence : Kn,KΩ,Mn,,(p)(K),K[X],Kn[X]. Critère de sev.
2oFamille libre/liée (cas particulier d’une famille de polynômes étagée en degré), fa-
mille génératrice, sous-espace vectoriel engendré par, notation Vect. Dimension.
n.b. : « Savoir écrire sous la forme d’un Vect » est un savoir-faire essentiel en algèbre.
3oSomme F+G, somme directe, supplémentaire. En dimension finie : tout sev possède
un supplémentaire. Exemple des matrices symétriques et antisymétriques.
4oApplication linéaire, vocabulaire iso/endo/auto, notation GL(E), exemples des pro-
jecteurs et des symétries.
−Caractérisation d’un projecteur par p◦p=IdE.
−noyau et image sont des espaces vectoriels.
−f∈ L (E, F)est injective ⇔ker(f) = {0E}et fsurjective ⇔Im(f) = F.
5oEn dimension finie : rang, théorème du rang, pour un endo. inf ⇔surj ⇔bij,
matrice d’un endomorphisme dans une base donnée, détermination d’une base du
noyau, de l’image, pivot de Gauß.
6oCalcul matriciel : multiplication par un scalaire, addition, produit (formule des coef-
ficients du produit à connaître), transposition, inverse et caractérisation par le rang,
calcul de l’inverse par la méthode de Gauß-Jordan.
7oDéterminant : opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes, développement
par rapport à une ligne ou une colonne. Formules det(AB), det(A−1).
§2. Probabilités sur un univers (au plus) dénombrable
:oEnsembles dénombrables : N,Z,N2,Qet Q[X]sont dénombrables; application jolie
« l’ensemble des nombres algébriques est dénombrable ». Rn’est pas dénombrable.
{0, 1}Nn’est pas dénombrable.
2oTribu : déf, stabilité par ∩dénombrable, par soustraction. Déf d’un espace probabi-
lisable sur un univers au plus dénombrable.
3oDictionnaire événements/ensembles.
4oProba sur un espace probabilisable (au plus dén.) : déf, espace probabilisé, continuités
croissante et décroissante, sous-additivité. Règles de calculs : P(A) = 1−P(A),P(A\
B) = P(A)−P(A∩B),A⊂B⇒P(A)¶P(B),P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B).
5oTh « du germe » : (Ω,A)esp. probabilisable. Si (pn)⊂R+vérifie Ppncv :alors in
définit une unique probabilité sur (Ω,A)en posant, si Ω={ωn|n∈N},P({ωn}) =
pn.
6oConditionnement, indépendance deux à deux, mutuelle, formules de Bayes, des pro-
babilités composées. PAest une probabilité sur (Ω,A).
7oSyst. complet d’événements et formule des proba totales.
8oVariable aléatoire sur un univers au plus dénombrable, th du germe (admis). Exemple
de l’indicatrice d’un événement. Déf de l’indépendance de deux var.
9osce classiques : (A, A)et (X=x)x∈X(Ω).
:0oEspérance : déf, linéarité, positivité et croissance.
::oVariance : déf, formule de König, moment d’ordre 2, caractérisation des var presque
sûrement (p.s.) constante, V(aX+b),V(X+Y)quand Xet Ysont indépendantes.
:2oÉcart-type : déf, même unité que X,σ(aX+b).
:3oThéorème de transfert (admis).
:4oLoi géométrique : déf via X(Ω)et P(X=k). Description du protocole expérimental
correspondant, E(X)(avec preuve) et V(X). Déf de var sans mémoire, caractérisa-
tion des var de lois géométriques par cette propriété.
:5oLoi de Poisson : déf, E(X)et V(X)à savoir retrouver avec la série exponentielle.
N’oubliez pas de me remettre votre rapport de colle pour le lundi :0 octobre.
LJB PC* ––"colle 4- PRG" :/: