Université Montpellier 2 HLMA 302 - Analyse 3 (2014

Université Montpellier 2 HLMA 302 - Analyse 3 (2014-2015)
Feuille de TD4 : Ensembles dénombrables et familles sommables
Exercice 1. Etudier les sommes suivantes (discuter en fonction du paramètre si nécessaire) :
X
(i,j)∈N∗×N∗
1
(i+j)α,X
(i,j)∈N∗×N∗
1
iα+jα,
Exercice 2. Non intervertion des sommations.
1) Soit q∈N∗un entier fixé. Montrer que la série Pp∈N∗,q6=p1
p2−q2converge.
2) Pour p, q ∈N∗, on pose :
ap,q =(1
p2−q2, p 6=q,
0, p =q.
Montrer que
∞
X
q=1 
∞
X
p=1
ap,q
=−
∞
X
p=1 
∞
X
q=1
ap,q
.
Quelle propriété ce résultat montre-t-il ?
Exercice 3. Soit (ak)k∈Nune famille de réels telle que la famille (kak)k∈Nsoit sommable. Montrer que
+∞
X
k=0
kak=
+∞
X
i=0
+∞
X
j=i+1
aj.
Exercice 4. Soit la famille (ai,j )(i,j)∈N2définie par :
ai,j =
1
2i+j, i etjpairs
−1
2i+j, i etjimpairs
0,sinon.
Montrer que cette famille est sommable et calculer sa somme.
Exercice 5. On note ζ(s) = P∞
n=1 1
ns. Calculer les sommes suivantes :
X
(p,q)∈N∗×N∗
1
p2q2,X
(p,q)∈N∗×N∗, p|q
1
p2q2,X
(p,q)∈N∗×N∗,pgcd(p,q)=1
1
p2q2,
Exercice 6. Soit f: [a, b]→Rune fonction monotone. Montrer que l’ensemble des points de discontinuité
de fest dénombrable. Qu’en est-il pour une fonction f:R→R?
Exercice 7. Soit (En)n∈Nune famille dénombrable de sous-ensembles dénombrables d’un ensemble E.
Montrer que l’ensemble F:= Sn∈NEnest dénombrable.
Exercice 8. 1) Soit n∈N∗et p1, ..., pn,nnombres premiers distincts. Montrer que Nnest dénombrable
(considérer l’application φ: (k1, ..., kn)7−→ pk1
1· · · pkn
n).
2) En déduire que le produit cartésien d’un nombre fini d’ensemble dénombrables est dénombrable. Que
peut-on dire d’un produit cartésien infini d’ensembles dénombrables ?
Exercice 9. Un nombre réel est dit algébrique s’il existe un polynôme Pà coefficients dans Ztel que
P(x)=0. Un nombre réel qui n’est pas algébrique est dit transcendant. Montrer que tout nombre rationnel
est algébrique. Montrer que l’ensemble des nombres algébriques est dénombrable, et que l’ensemble des
nombres transcendants n’est pas dénombrable.
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Exercice de synthèse
Exercice 10. Fonction ζde Riemann et nombres premiers.
On note (pn)n∈Nla suite des nombres premiers rangés dans l’ordre croissant, et soit ζ(s)la fonction définie
par :
ζ(s) =
+∞
X
n=1
1
ns, s > 1.
1) a) Montrer que la série Pn≥11
ps
nconverge pour s > 1(utiliser par exemple ln(1−x)< x pour x∈[0,1[).
b) Montrer l’égalité
+∞
X
n=1
1
pns
k
=1
1−1
ps
k
2) a) Soit met Mdeux entiers strictement positifs. Montrer l’égalité
m
Y
k=1 
M
X
ik=0
1
(pik
k)s
=X
0≤i1≤···≤im≤M
1
(pi1
1· · · pim
m)s.
b) Soit N∈N∗. Montrer qu’il existe deux entiers m0et M0strictement positif tels que :
N
X
n=1
1
ns≤
m0
Y
k=1 
M0
X
ik=0
1
(pik
k)s
≤
+∞
X
n=1
1
ns
c) En déduire que
1
ζ(s)=
+∞
Y
k=1 1−1
ps
k.
3) a) Montrer que ζ(s)tend vers +∞lorsque stend vers 1(minorer par exemple ζpar une somme partielle
et utiliser la série harmonique).
b) On suppose que la série P1
pnconverge. Montrer alors que le produit
+∞
Y
k=1
1
1−1
pk
converge. On note `la valeur de ce produit.
c) Montrer l’inégalité 1
1−1
ps
k
≤1
1−1
ps
k
et en déduire que ζ(s)< ` pour tout s > 1.
d) Conclure que la série Pn1
pndiverge.
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