Université Montpellier 2 HLMA 302 - Analyse 3 (2014

Université Montpellier 2
HLMA 302 - Analyse 3 (2014-2015)
Feuille de TD4 : Ensembles dénombrables et familles sommables
Exercice 1. Etudier les sommes suivantes (discuter en fonction du paramètre si nécessaire) :
X
(i,j)∈N∗ ×N∗
1
,
(i + j)α
X
(i,j)∈N∗ ×N∗
1
,
iα+j α
Exercice 2. Non intervertion des sommations.
P
1
1) Soit q ∈ N∗ un entier fixé. Montrer que la série p∈N∗ ,q6=p p2 −q
2 converge.
∗
2) Pour p, q ∈ N , on pose :
(
1
2 −q 2 , p 6= q,
p
ap,q =
0, p = q.
Montrer que
∞
X

∞
X

q=1

ap,q  = −
p=1
∞
X


∞
X

ap,q  .
p=1
q=1
Quelle propriété ce résultat montre-t-il ?
Exercice 3. Soit (ak )k∈N une famille de réels telle que la famille (kak )k∈N soit sommable. Montrer que
+∞
X
kak =
+∞ X
+∞
X
k=0
aj .
i=0 j=i+1
Exercice 4. Soit la famille (ai,j )(i,j)∈N2 définie par :

1

 2i+j , i etj pairs
1
ai,j = − 2i+j
, i etj impairs


0, sinon.
Montrer que cette famille est sommable et calculer sa somme.
P
1
Exercice 5. On note ζ(s) = ∞
n=1 ns . Calculer les sommes suivantes :
X
(p,q)∈N∗ ×N∗
1
,
2
p q2
X
(p,q)∈N∗ ×N∗ , p|q
1
,
2
p q2
X
(p,q)∈N∗ ×N∗ , pgcd(p,q)=1
1
p2 q 2
,
Exercice 6. Soit f : [a, b] → R une fonction monotone. Montrer que l’ensemble des points de discontinuité
de f est dénombrable. Qu’en est-il pour une fonction f : R → R ?
Exercice 7. Soit (En )n∈N une
S famille dénombrable de sous-ensembles dénombrables d’un ensemble E.
Montrer que l’ensemble F := n∈N En est dénombrable.
Exercice 8. 1) Soit n ∈ N∗ et p1 , ..., pn , n nombres premiers distincts. Montrer que Nn est dénombrable
(considérer l’application φ : (k1 , ..., kn ) 7−→ pk11 · · · pknn ).
2) En déduire que le produit cartésien d’un nombre fini d’ensemble dénombrables est dénombrable. Que
peut-on dire d’un produit cartésien infini d’ensembles dénombrables ?
Exercice 9. Un nombre réel est dit algébrique s’il existe un polynôme P à coefficients dans Z tel que
P (x) = 0. Un nombre réel qui n’est pas algébrique est dit transcendant. Montrer que tout nombre rationnel
est algébrique. Montrer que l’ensemble des nombres algébriques est dénombrable, et que l’ensemble des
nombres transcendants n’est pas dénombrable.
1
Exercice de synthèse
Exercice 10. Fonction ζ de Riemann et nombres premiers.
On note (pn )n∈N la suite des nombres premiers rangés dans l’ordre croissant, et soit ζ(s) la fonction définie
par :
+∞
X
1
ζ(s) =
, s > 1.
ns
n=1
P
1) a) Montrer que la série n≥1 p1s converge pour s > 1 (utiliser par exemple ln(1−x) < x pour x ∈ [0, 1[).
n
b) Montrer l’égalité
+∞
X
1
1
=
ns
p
1 − p1s
n=1 k
k
2) a) Soit m et M deux entiers strictement positifs. Montrer l’égalité


m
M
X
Y
X
1
1 

.
=
i1
ik s
(p1 · · · pimm )s
(pk )
0≤i1 ≤···≤im ≤M
k=1 ik =0
b) Soit N ∈ N∗ . Montrer qu’il existe deux entiers m0 et M0 strictement positif tels que :


m0
M0
N
+∞
X
Y
X
X
1
1
1
≤

≤
i
s
n
ns
(pkk )s
n=1
n=1
k=1 ik =0
c) En déduire que
+∞
Y
1
1
1− s .
=
ζ(s)
pk
k=1
3) a) Montrer que ζ(s) tend vers +∞ lorsque s tend vers 1 (minorer par exemple ζ par une somme partielle
et utiliser la série harmonique).
P 1
b) On suppose que la série
pn converge. Montrer alors que le produit
+∞
Y
1
1 − p1k
k=1
converge. On note ` la valeur de ce produit.
c) Montrer l’inégalité 1−1 1 ≤ 1−1 1 et en déduire que ζ(s) < ` pour tout s > 1.
ps
ps
k
k
P
1
d) Conclure que la série n pn diverge.
2