TD de Physique no 1 : Mécanique du point

E.N.S. de Cachan
M2 FE
Physique appliquée
Département E.E.A.
3e année
2011-2012
TD de Physique no 1 :
Mécanique du point
Exercice no 1 : Trajectoire d’un ballon-sonde
Un ballon-sonde M, lâché au niveau du sol, s’élève avec une vitesse verticale
~v0 supposée constante. Le vent lui communique une vitesse horizontale ~v = vx ~ux
orientée suivant l’axe (Ox) proportionnelle à son altitude z : vx = z/τ où τ > 0.
À l’instant t = 0, le ballon-sonde est lâché depuis le point O. On note (x(t), z(t))
les coordonnées cartésiennes du point M .
1. En utilisant le vecteur vitesse ~v du ballon, écrire les deux équations
différentielles vérifiées par x et z.
2. En déduire les équations horaires x(t) et z(t) en fonction de v0 , τ et t.
3. Déterminer l’équation z(x) de la trajectoire suivie par le ballon-sonde au
cours de son ascension. Quelle est la nature de la trajectoire ?
4. Exprimer dans la base cartésienne (~ux , ~uz ) le vecteur accélération ~a(t)
du ballon-sonde.
z
6
~v0
6
~uz
M r
- ~v
6
~u
-x
x
-
O
Exercice no 2 : Étude de quelques mouvements
1. (Cours) Soit un mobile M possédant une trajectoire circulaire de centre O et de rayon R. Exprimer
les vecteurs vitesse et accélération. Traiter le cas particulier du mouvement uniforme.
2. Un mobile parcourt avec une vitesse constante v la spirale d’équation polaire : r = aθ avec a constant.
Exprimer en fonction de θ et de v, le vecteur vitesse de M .
3. Un mobile M décrit dans le plan (Oxy) une spirale suivant les équations horaires polaires suivantes :
r(t) = b exp(−t/τ )
θ(t) = ωt
où b, τ et ω sont des constantes positives. Tracer l’allure de la trajectoire de M . Exprimer les vecteurs vitesse
et accélération. Montrer que le vecteur vitesse ~v forme à tout instant un angle α constant avec le vecteur
position ~r.
Exercice no 3 : Vecteur vitesse en coordonnées sphériques
Exprimer le vecteur vitesse d’un mobile M en coordonnées sphériques en utilisant la loi de composition
des vitesses.
ATTENTION : ceci n’est pas applicable au vecteur accélération.
Exercice no 4 : Mouvement hélicoïdal
Un point M , repéré par ses coordonnées cartésiennes x, y et z dans le repère (O, ~ex , ~ey , ~ez ), a pour trajectoire la courbe d’équation paramétrique :

 x = R cos θ,
y = R sin θ,
avec θ ≥ 0

z = hθ.
où R et h sont des constantes positives. On suppose aussi que le point M parcourt la courbe dans le sens des
θ croissants, soit θ̇ > 0.
1
1. Représenter la trajectoire du point M dans l’espace, ainsi que la projection de cette trajectoire dans
le plan (Oxy).
2. Exprimer le vecteur vitesse ~v de M en fonction de R, θ, h et θ̇, dans le repère cartésien et dans le
repère cylindrique (O, ~er , ~eθ , ~ez ).
3. Montrer que l’angle α = (~ez , ~v ) est constant. Donner son expression en fonction de R et de h.
4. Déterminer l’hodographe du mouvement dans le cas où l’hélice est parcourue à vitesse constante v.
5. Exprimer le rayon de courbure ρ au point M de la trajectoire en fonction de R et de h.
6. Exprimer l’abscisse curviligne s du point M en fonction de θ, R et de h.
Exercice no 5 : Course poursuite
y
Quatre mouches A, B, C et D se trouvent initialement aux quatre
coins d’un carré ABCD de côté a centré sur l’origine du repère O. À partir
de t = 0, chacune court après la suivante (A court après B, B après C,
. . .) , à la vitesse V constante. Pour des raisons de symétrie les mouches
forment à tout instant t ≥ 0 un carré. Nous noterons l(t) la longueur d’un
coté du carré formé par les quatre mouches à l’instant t.
1. Établir l’équation différentielle vérifiée par l(t).
2. Au bout de combien de temps les mouches se rencontrent-elles ?
3. Quelle distance L auront-elles parcourue ?
4. Déterminer la trajectoire de la mouche A en coordonnées polaires.
A
Exercice no 6 : Échelle double
D
-x
O
Une échelle double est posée sur le sol, un de ses points d’appui restant
constamment en contact avec le coin O d’un mur. La position de l’échelle à
l’instant t est repérée par l’angle α(t) formé par la portion OA de l’échelle avec
le mur. L’extrémité B de l’échelle glisse sur le sol. L’échelle est telle que OA =
AB = l.
1. Déterminer les composantes des vecteurs vitesse ~vA et accélération ~aA
du point A dans la base polaire (~ur , ~uθ ), en fonction de l, α, α̇ et α̈.
2. Exprimer dans la base cartésienne (~ux , ~uy ) les composantes des vecteurs
vitesse ~vB et accélération ~aB du point B, en fonction de l, α, α̇ et α̈.
2
C
y
6
Ar
B
B
α o
Exercice n 7 : Traversée d’une rivière
On considère une rivière rectiligne de largeur D. La vi~e , parallèle aux rives.
tesse du courant est uniforme et vaut V
Un bateau, assimilé à un point M , situé initialement en A, sur
la rive, effectue une traversée de la rivière, en maintenant sa
vitesse ~v , par rapport à l’eau, de norme constante et toujours
dirigée vers le point O en face de A sur la rive opposée.
1. Exprimer le vecteur vitesse absolue du bateau.
2. En déduire les équations différentielles du mouvement en coordonnées polaires d’origine O. Intégrer ces équations (cf indication).
3. Tracer l’allure de la trajectoire du bateau dans le cas
~e ||
où ||~v || = ||V
Indication :
d 1 + cos(x) 1
ln =−
dx
sin(x)
sin(x)
B
6
B
B
B
B
B
B
BrB -
x
O
y
6
Or
6
-x
I
@
~v @
D
? r
A
@r
M
~e
V
-
y
Exercice no 8 : Système missile-cible
~0 = V0~ex . À l’instant t = 0
Une cible C suit l’axe (0, ~ex ) à une vitesse V
elle est à l’origine O du repère. Un missile M qui part à t = 0 du point D
de coordonnées (0, −a) a une vitesse λV0 toujours dirigée par un système
de guidage vers la cible C. On notera x et y les coordonnées de M , r = M C
et θ l’angle entre la direction de la vitesse de M et l’horizontale.
dy
1. Exprimer dx
dt et dt en fonction de λ, V0 , et θ, puis x et y en fonction
de V0 , r, θ et t. En déduire deux équations différentielles en r(t) et θ(t).
2. En déduire une équation différentielle en r(θ).
3. Démontrer que
θ λ
a tan
r(θ) =
sin(θ)
2
en utilisant :
Z
6
rO
6
a
C
r
-x
3
~v
r
M
?rD
x
dx
+ cste
= ln
sin(x)
2
4. Quelle doit être la condition sur λ pour que le missile atteigne la
cible ? Exprimer la durée τ de poursuite sachant que :
Z
π
2
0
x λ
λ
1 tan
dx = 2
2
2
λ
−1
sin (x)
Exercice no 9 : Déplacement sur une cardioïde
Un mobile décrit une courbe plane dont l’équation en coordonnées polaires est :
r(θ) =
r0
(1 + cos(θ))
2
où r0 est une constante. Cette courbe est appelée "cardioïde", à cause de sa ressemblance avec un coeur. Elle
admet l’axe (O, ~ex ) comme axe de symétrie.
1. Tracer succinctement cette courbe.
2. Calculer l’abscisse curviligne en fonction de θ, en prenant comme origine θ = 0, s = 0.
3. Pour quel angle θ0 , s = r0 .
4. Exprimer la vitesse linéaire en fonction du temps t, de r0 et de ω = dθ
dt constant. Puis en fonction de
r, r0 et ω.
5. Déterminer les composantes ar et aθ de l’accélération en fonction du temps t et de ω.
Exercice no 10 : Temps de montée et temps de descente
On lance une bille verticalement. Met-elle plus de temps à monter qu’à redescendre ?
Exercice no 11 : Parabole de sureté
y
À t = 0, un projectile de masse m assimilé à un point matériel est
6
tiré à partir d’un point O avec une vitesse initiale ~v0 . Le dispositif de tir
~v0
impose la norme de ~v0 mais permet de choisir l’angle α entre l’axe (Ox)
et ~v0 (α ∈ [0, π2 [). Les frottements de l’air sont négligés.
~ey 6
I -x
1. Déterminer les équations paramétriques du mouvement et l’équar- α
O
tion de la trajectoire.
~ex
2. Préciser les coordonnées du point d’altitude maximale et l’instant
correspondant.
3. On définit la portée comme étant la distance OI avec I le point de la trajectoire autre que O vérifiant
y(I) = 0. La calculer.
4. On suppose v0 constante mais α variable. Soit A(X, Y ) un objectif à atteindre par le projectile.
Déterminer l’équation de la courbe dans le plan (O, ~ex , ~ey ), séparant les points de ce plan pouvant être atteints
par le projectile de ceux qui ne seront jamais atteints (parabole de sureté).
5. Dans le cas où l’objectif A peut être atteint, monter que deux cas sont possibles :
• un tir atteignant A avant le point de tangence de la parabole de chute avec la parabole de sureté,
3
• un tir atteignant A après le point de tangence.
6. Dans le premier cas, montrer que ce tir n’est pas toujours direct (c’est à dire objectif atteint avant le
sommet de la parabole de chute) en particulier montrer qu’il existe une ellipse qui délimite la nature du tir
(direct ou indirect). Faire un schéma pour illustrer tous les cas de figure.
Exercice no 12 : Viscosimètre à chute de bille
Une bille sphérique, de masse volumique µB et de rayon R, est lâchée sans vitesse initiale dans un fluide
de masse volumique µ. En plus du poids et de la poussée d’Archimède, on tient compte de la force de viscosité
exercée par le fluide sur la bille, opposée au déplacement et de norme :
f = 6πηRv
où η est la viscosité du fluide et v la norme de la vitesse de la bille. Le champ de pesanteur a pour intensité g.
Le référentiel d’étude est supposé galiléen et la bille est assimilée à un point matériel.
1. Exprimer la vitesse limite ~v∞ atteinte par la bille.
On suppose que la bille atteint très rapidement cette vitesse limite. On mesure la durée ∆t nécessaire pour
que la bille parcoure une distance H donnée.
2. Déterminer la relation entre ∆t, g, H, R, µB , µ, et η.
3. Montrer que l’expression de la viscosité peut se mettre sous la forme η = K(µB − µ)∆t, en exprimant
la constante d’étalonnage K.
4. La durée de chute de la bille est de 83 s. Calculer la viscosité η du fluide. Données : K = 14.10−8 m2 .s−2 ,
µB = 7880 kg.m−3 , µ = 912 kg.m−3 , g = 9, 8 m.s−2 .
Rem : la viscosité s’exprime en Pascal-seconde (P a.s) ou en poiseuille (P l) : 1 P a.s = 1 P l = 1 kg.m−1 .s−1 .
A 20˚C, la viscosité de l’eau est de 10−3 P l, celle du glycérol est de 1, 49 P l.
Exercice no 13 : Prise en compte du frottement de l’air
À t = 0, un projectile de masse m assimilé à un point matériel est tiré à partir d’un point O avec une
vitesse initiale ~v0 formant un angle α avec l’axe (0, ~ex ). On tient compte du frottement de l’air, modélisé par
F~ = −k~v avec (k > 0).
1. Trouver les composantes de la vitesse au temps t, et les équations paramétriques du mouvement.
2. Préciser les coordonnées du point d’altitude maximale et l’instant correspondant. Retrouver les expressions correspondant au cas sans frottement.
3. Montrer que l’on tend vers un mouvement rectiligne uniforme vertical.
Exercice no 14 : Ressorts équivalents
Soit deux ressorts de raideur respectives k1 et k2 , et de longueur à vide l01 et l02 .
1. Déterminer le ressort équivalent de ces deux ressorts en parallèle.
2. Déterminer le ressort équivalent de ces deux ressorts en série.
Exercice no 15 : Glissement avec frottement
Un petit parallélépipède, assimilable à un point matériel M de masse m, est
lancé depuis le point origine O d’un plan (Oxy) incliné d’un angle α par rapport à
l’horizontale, avec un vecteur vitesse initial ~v0 dirigé suivant la ligne de plus grande
pente (Ox) et vers le haut. La position du point M à l’instant t est repérée par
son abscisse x(t). On tient compte des forces de frottement. On rappelle que tant
qu’il y a glissement, la composante tangentielle de la force de frottement RT (celle
qui s’oppose au mouvement) est proportionnelle à la composante normale RN de
cette même force, ce que l’on note RT = f RN où la constante positive f est appelée le coefficient de frottement
dynamique. En outre, une fois que le mobile s’arrête, il reste immobile à condition que l’inégalité RT ≤ f RN
soit vérifiée.
1. Montrer qu’au début du mouvement, i.e. tant qu’il y a glissement vers le haut, l’accélération ẍ du
mobile est du type ẍ = −Kg. Exprimer K en fonction de α et f .
2. Quelle distance d le mobile parcourt-il avant que sa vitesse ne s’annule ?
3. À quelle condition sur l’angle α le mobile s’arrête-t-il définitivement ?
4
Exercice no 16 : Coulissement sur une tige en rotation
Une tige τ horizontale passant par O tourne autour de l’axe vertical
(Oz) à la vitesse angulaire constante ω. Un point matériel M de masse m
peut coulisser sans frottement sur la tige. Il est repéré par ses coordonnées
polaires (r, θ) dans le plan (Oxy). À l’instant t = 0, le point M est abandonné sans vitesse initiale par rapport à la tige à la distance r0 de l’origine
O. On suppose de plus qu’à ce même instant, la tige est confondue avec
l’axe (Ox) : θ(t = 0) = 0.
1. Déterminer l’équation différentielle du second ordre vérifiée par
r(t).
2. Déterminer la loi horaire r(t) en fonction de r0 et ω. Tracer l’allure
de la courbe r(t) pour t ≥ 0.
3. Donner les expressions des composantes dans la base cylindrique de la réaction de la tige.
Exercice no 17 : Le palan
Un palan est constitué de 2n poulies et d’un fil disposés comme
indiqué sur le schéma ci-contre. Les axes des poulies supérieures sont
fixes et ceux des poulies inférieures sont liés à une tige AB qui ne
peut se déplacer que verticalement. Les poulies et le fil sont supposés
idéaux. Un opérateur exerce une force F~ sur l’extrémité libre du fil.
Déterminer l’accélération de l’objet soulevé, de masse m.
Exercice no 18 : Décollement d’une masse
Soit un point O0 fixe situé au dessus d’une table à coussin d’air
horizontale. La projection orthogonale de O0 sur la table est notée O.
Une masse m assimilée à un point matériel est reliée à O0 par un ressort de raideur k et de longueur à vide l0 .
La distance OO0 est l0 . La masse peut glisser sans frottement sur la table à coussin d’air.
1. Initialement, la masse est en O. On lui communique une vitesse initiale, V0 (horizontale). Quelle
condition doit être vérifiée pour que le ressort puisse décoller la masse du sol. Dans le cas où cette condition
est vérifiée, quelle vitesse initiale minimale doit-on lui imposer pour observer ce décollement.
2. Dans le cas de petits déplacements autour de la position d’équilibre (x l0 ), déterminer l’équation
différentielle du mouvement. Exprimer la vitesse de la masse en fonction de x.
Exercice no 19 : Pendule dont le fil casse
Un pendule simple - masse m, fil de longueur l, inextensible et de masse négligeable - est suspendu en un
point fixe O et lâché sans vitesse initiale depuis une position où le fil est horizontal et tendu. Il tourne d’un
angle α ≥ π2 et casse. Soit h la différence d’altitude entre le point O et le sommet de la trajectoire décrite par
la masse après que le fil ait cassé.
1. Donner qualitativement le domaine de variation de h.
2. Déterminer h.
Exercice no 20 : Mouvement d’un point sur un cercle
Un point matériel M de masse m peut coulisser sans frottement sur
un cercle de centre O et de rayon R, placé dans un plan vertical (Oxy) où
(Oz) est orienté suivant la verticale ascendante. Le point M est attaché
à l’extrémité d’un ressort de longueur à vide l0 = 2R et de constante
de raideur k, dont l’autre extrémité est fixée au point A. Un dispositif
non représenté impose au ressort de rester constamment rectiligne. La
~ OM
~ ). Le champ de
position du point M est repérée par l’angle θ = (OB,
pesanteur est ~g = −g~uz .
Données : R = 10 cm, m = 100 g, k = 10 N.m−1 , g = 10 m.s−2 .
1. Déterminer l’expression de la distance AM en fonction de R et
de θ.
5
2. Exprimer l’énergie potentielle totale Ep (θ) du point M . L’énergie
potentielle élastique est prise nulle lorsque le ressort a sa longueur à vide,
l’énergie potentielle de pesanteur est prise nulle lorsque la cote z du point M est nulle.
3. Représenter à l’aide de la calculatrice le graphe Ep (θ), pour 0 ≥ θ ≥ 180˚.
4. En déduire la valeur θeq pour laquelle le point M est à l’équilibre sur le cercle. Cet équilibre est-il
stable ou instable ?
5. Le point M est abandonné sans vitesse initiale depuis B. Déterminer la valeur θmax de l’angle θ
maximal atteint au cours du mouvement ainsi que la valeur vmax de la vitesse maximale atteinte.
Exercice no 21 : Looping
Une petite voiture, assimilable à un point matériel M de masse m, est
lancée avec une vitesse v0 sur une piste horizontale plane prolongée par
un demi-cercle vertical de rayon R. La voiture glisse sans frottement sur le
support, qu’elle est susceptible de quitter (la liaison n’est pas bilatérale).
Sa position à l’intérieur du demi-cercle est repérée par l’angle θ(t) formé
par le rayon OM avec la verticale descendante (OH).
1. Comment varie la vitesse de la voiture jusqu’au passage au point
H?
2. Déterminer l’expression de la norme v de la vitesse de la voiture
lorsqu’elle est située dans la piste semi-circulaire à la position repérée par
l’angle θ, en fonction de v0 , g, R et θ.
3. Par projection du principe fondamental de la dynamique dans la base polaire (~ur , ~uθ ), déterminer
l’intensité N de l’action de contact exercée par la piste semi-circulaire sur la voiture, en supposant le contact
maintenu, en fonction de m, v0 , R, g et θ. Comment la fonction N (θ) varie t-elle ?
4. A quelle condition sur la vitesse de lancement v0 la voiture atteindra t-elle le sommet de la piste sans
que le contact avec celle-ci soit rompu ?
Exercice no 22 : Équilibre et stabilité d’un point matériel
Un point matériel M de masse m est attaché à l’extrémité d’un ressort
de constante de raideur k et de longueur à vide l0 , dont l’autre extrémité est
fixée en un point A situé sur un axe vertical ascendant (Oz). La distance entre
le point A et le point O est OA = a. Le point matériel M est assujetti à se
déplacer suivant l’axe horizontal (Ox), il coulisse sur cet axe sans frottement ;
il est repéré par son abscisse x sur cet axe.
1. Exprimer l’énergie potentielle Ep totale du point M , en fonction du
paramètre x et des données.
2. À partir du tableau de variation, en déduire le graphe représentatif
de la fonction Ep (x). On distinguera les cas a > l0 et a < l0 .
3. En déduire l’existence et la nature des positions d’équilibre du point M .
Exercice no 23 : Trois méthodes pour un même mouvement
Un point matériel M de masse m est assujetti à glisser sans
frottement sur un cerceau vertical de rayon R et de centre O. Il
est lié au point A par un ressort de raideur k et de longueur au
repos nulle.
1. Établir l’équation du mouvement du mobile en utilisant
successivement les trois méthodes suivantes :
• la relation fondamentale de la dynamique,
• le bilan énergétique,
• le théorème du moment cinétique.
2. Discuter l’existence de positions d’équilibre, leur
stabilité, et dans l’affirmative, la période des petites oscilla
-tions au voisinage de l’équilibre.
6
Exercice no 24 : Théorème du moment cinétique appliqué en un point mobile
Prenons un pendule simple, de masse m et de longueur
L, et imposons de petites oscillations horizontales à son
extrémité : xA = x0 sin(ωt).
1. Pour utiliser le théorème du moment cinétique,
pourquoi vaut-il mieux l’appliquer au point mobile A plutôt qu’au point fixe O ? Reprendre la démonstration du
~A
L
.
théorème pour exprimer la dérivée : ddt
2. Établir l’équation du mouvement du pendule simple
effectuant de petites oscillations.
3. Quel est son mouvement lorsqu’un régime sinusoïdal permanent s’est établi.
4. Quelle est la pulsation ω0 au voisinage de laquelle
nos hypothèses d’étude sont à reprendre ? Que dire des
mouvements du point A et du mobile selon que ω < ω0
ou ω > ω0 ?
Exercice no 25 : Décroissance de l’énergie mécanique (cours)
Un système oscillant est constitué par une
masse supposée ponctuelle m attachée à l’extrémité d’un ressort horizontal dont l’autre extrémité est fixée au point O. La masse m peut glisser sans frottement sur un support horizontal. L’action de l’air
sur la masse est modélisée par une force de frottement fluide de la forme : f~ = −h~v avec h un coefficient positif
et ~v le vecteur vitesse de la masse ponctuelle m. On note k la constante de raideur du ressort, l0 sa longueur
à vide et X(t) la distance séparant le point O fixe et la masse m.
1. Établir l’équation différentielle du second ordre vérifiée par le déplacement x(t) = X(t) − Xeq de la
masse m par rapport à sa position d’équilibre Xeq . La mettre sous la forme :
ẍ +
ω0
ẋ + ω02 x = 0
Q
en identifiant Q et ω0 .
2. Donner l’équation caractéristique de l’équation différentielle précédente et rappeler les différents régimes d’évolution possibles selon les valeurs de Q.
ω0
3. On pose α = 2Q
. Montrer que, dans le cas du régime pseudo-périodique, la solution de l’équation
différentielle précédente peut se mettre sous la forme x(t) = Ce−αt cos(ωt + φ). Exprimer ω, C et φ en fonction
de ω0 , α et des conditions initiales x(t = 0) = x0 et ẋ(t = 0) = v0 .
4. Exprimer la pseudo-période en fonction de ω0 et Q.
x(t) 5. On définit le décrément logarithmique par δ = ln x(t+T
) . Donner son expression en fonction de Q.
6. Entre deux élongations maximales successives x(t0 ) et x(t0 + T ) l’énergie mécanique passe de Em à
Em + ∆Em . Exprimer ∆Em /Em en fonction de δ puis en fonction de Q dans le cas d’un oscillateur faiblement
amorti.
7. Toujours dans le cas de faibles amortissements, combien faut-il de pseudo-périodes environ pour que
l’amplitude reste en permanence inférieure à 5% de l’amplitude initiale ? Pour simplifier on se placera dans le
cas où v0 = 0.
Exercice no 26 : Mouvement newtonien (cours)
Soit M un point matériel soumis à un champ de force central F~ de centre O.
1. Montrer que le mouvement de M est contenu dans un plan contenant O.
2. Établir la loi des aires.
On se place dans le cas d’un champ newtonien : F~ = −α~er /r2 .
3. Montrer que ce champ de force est conservatif et exprimer l’énergie potentielle associée en la prenant
nulle infiniment loin de O.
4. Retrouver l’expression de l’énergie potentielle effective et utiliser cette dernière pour indiquer les valeurs
que peut prendre r.
7
5. Montrer, en multipliant vectoriellement la relation fondamentale de la dynamique par le moment
cinétique, que le vecteur :
~
~ = ~v × L0 − ~er
A
α
dit vecteur de Runge-Lenz, est une constante du mouvement.
~ dans la base polaire. En déduire que la trajectoire du point M est une
6. Exprimer les composantes de A
~
conique dont l’excentricité est ||A||. Donner l’expression du paramètre de cette conique en fonction de m, α et
la constante des aires C.
~ En déduire une relation entre l’excentricité e de
7. Développer l’expression du carré de la norme de A.
la conique et l’énergie mécanique Em de M .
8. Retrouver la loi de Képler dans le cas de l’orbite circulaire.
9. Donner les expressions de la 1re et de la 2e vitesse cosmique. Faire l’application numérique avec
g = 9, 8 m.s−2 (accélération de la pesanteur) et RT = 6400 km (rayon de la Terre).
Exercice no 27 : Orbite de Hohman
On désire transférer un satellite terrestre en attente sur une orbite circulaire "basse" de rayon r1 = 6700 km vers une orbite circulaire "haute" de
rayon r2 = 42000 km. On communique pour cela en un point quelconque P
de l’orbite basse un supplément de vitesse orthoradiale ∆vP en allumant les
moteurs pendant une durée très brève. Le satellite décrit une orbite de transfert elliptique - dite orbite de Hohman - qui se raccorde tangentiellement en un
point A à l’orbite haute. Au point A, un nouvel allumage des moteurs pendant
une durée très brève permet de stabiliser le satellite sur son orbite haute en
communiquant une variation ∆vA à la vitesse orthoradiale.
Données : G = 6, 67.10−11 N.m2 .kg −2 , MT = 6.1024 kg.
1. Exprimer en fonction de r1 et de r2 l’excentricité de l’ellipse de transfert.
2. Exprimer les vitesses v1 et v2 du satellite sur les orbites circulaires de rayons respectifs r1 et r2 . Calculer
v1 et v2 .
3. Déterminer l’expression des vitesses vP et vA du satellite sur l’ellipse de transfert respectivement au
point P (juste après l’extinction des moteurs) et A (juste avant le rallumage des moteurs). Les calculer.
Indication : dans une ellipse on a, avec les notations habituelles :
a=
p
1 − e2
et
b= √
p
1 − e2
4. En déduire les accroissements de vitesse orthoradiale ∆vP et ∆vA .
Exercice no 28 : Comète de 1843
En 1843, une comète est passée extrêmement près du Soleil, de masse MS : sa distance au périhélie était
d = 6, 1.10−3 a0 où a0 est la rayon de l’orbite terrestre. Des mesures précises ont montré que l’excentricité de
la comète était e = 1 − x avec x = 9, 4.10−5 .
Données : u = 30 km.s−1 vitesse de révolution de la Terre autour du soleil.
1. Exprimer le produit GMS en fonction de u et a0 .
2. En considérant que la trajectoire de la comète est quasi-parabolique, calculer sa vitesse de passage vP
au périhélie. Indication : dans une ellipse on a, avec les notations habituelles :
a=
p
1 − e2
et
b= √
p
1 − e2
3. Exprimer le demi-grand axe a de la trajectoire de la comète, en fonction de d et x. Calculer a en
fonction de a0 .
4. En déduire la vitesse vA de passage à l’aphélie en fonction de vP et x. Faire l’application numérique.
5. En quelle année cette comète reviendra-t-elle dans le système solaire ?
8
Exercice no 29 : Dynamique dans le référentiel géocentrique (cours)
Soit un point matériel M de masse m dont on étudie le mouvement dans le référentiel géocentrique R0 .
1. Rappeler les définitions des référentiels de Copernic RC , de Képler RK et géocentrique R0 .
2. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à M dans le référentiel géocentrique non galiléen.
Faire apparaître les termes de marée des différents astres définis par :
~γastre (M ) = G~astre (M ) − G~astre (O)
où G~astre est le champ de gravitation de l’astre considéré.
3. Proposer alors une explication aux phénomènes de marée en considérant uniquement l’influence de la
lune.
Exercice no 30 : Dynamique dans le référentiel terrestre (cours)
Soit un point matériel M de masse m dont on étudie le mouvement dans le référentiel terrestre RT . On
note ω
~ T le vecteur rotation de la Terre par rapport au référentiel géocentrique.
1. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à M dans le référentiel terrestre non galiléen.
Remarques : le référentiel galiléen de base à considérer est le référentiel de Copernic et les expressions des
accélérations d’entraînement et de Coriolis doivent être explicitées.
2. Rappeler la définition du poids de M et donner l’expression du champ de pesanteur en négligeant les
termes de marée. Réécrire la relation fondamentale de la dynamique en introduisant le poids de M .
3. Soit α l’angle formé par le poids de M et le champ de gravitation de la Terre. Déterminer α en fonction
de λ (la latitude), RT (le rayon de la Terre), ωT et g l’intensité de la pesanteur.
4. Faire l’application numérique pour λ = 45˚ et g = 9, 81 m.s−2 . On rappelle que RT = 6370 km.
Exercice no 31 : Oscillations dans un référentiel en rotation
Un point matériel M de masse m peut coulisser sans frottement sur
une tige τ , d’extrémité O, contenue dans le plan (Oxy) et tournant autour de l’axe vertical (Oz) à la vitesse angulaire constante ω. De plus, le
point M est attaché à l’extrémité d’un ressort de longueur à vide l0 et de
constante de raideur k, enfilé sur la tige τ , dont l’autre extrémité est fixée
en O. La position du point M est repérée par son abscisse X(t) mesurée
k
sur la tige par rapport au point O. On pose ω0 = m
.
1. Faire le bilan des forces exercées sur le point M dans le référentiel
lié à la tige.
2. Montrer qu’il existe une position d’équilibre Xeq du point M sur
la tige, sous réserve d’une condition portant sur ω à expliciter.
3. En posant X(t) = Xeq + x(t), déterminer l’équation différentielle vérifiée par x(t).
4. En déduire la pulsation ω 0 des oscillations du point M autour de sa position d’équilibre. Que peut-on
dire de la période des oscillations par rapport au cas où la tige est immobile ?
Exercice no 32 : Système de deux points matériels (cours)
Soient deux points matériels M1 et M2 de masses respectives m1 et m2 et repérés par leur vecteur position
−−→
−−→
−−−−→
~r1 = OM 1 et ~r2 = OM 2 . On posera ~r = M1 M2 .
1. Déterminer la position ~rG de leur barycentre G. Exprimer, à l’aide de ~r, les positions relatives ~r1∗ =
−−−→
−−−→
GM1 et ~r2∗ = GM2 de M1 et M2 respectivement.
2. On suppose que M1 (resp. M2 ) est soumis à la force extérieure F~ext→1 (resp. F~ext→2 ) et à la force
intérieure f~2→1 (resp. f~1→2 ). Établir le théorème du centre de masse.
3. On suppose dans cette question que le système constitué des deux points matériels est isolé. Introduire
la notion de mobile réduit pour décrire le mouvement des deux points matériels dans le référentiel barycentrique.
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Exercice no 33 : Binaires
On considère deux étoiles E1 et E2 , assimilées à des points matériels de masses
respectives m1 et m2 , en interaction gravitationnelle et telles que le système
S = {E1 , E2 } soit isolé. Dans leur référentiel barycentrique R ∗ , on suppose
que ces deux étoiles décrivent des orbites circulaires de rayons r1 et r2 . On pose
D = r1 + r2 . La constante gravitationnelle est G = 6, 67.10−11 N.m2 .kg −2 .
1. Pourquoi les deux étoiles ont-elles nécessairement la même période de
révolution T ?
2
2. Montrer que rr12 = m
m1 .
3. Établir la relation :
4π 2
T2
=
3
D
G(m1 + m2 )
4. Deux étoiles α et β décrivent des orbites circulaires de rayon r1 =
1, 00.109 km et r2 = 5, 0.108 km avec une période de orbitale T = 44, 5 années
terrestres. Calculer leurs masses m1 et m2 .
Exercice no 34 : Comète SHOEMAKER-LEVY 9
La comète de SHOEMAKER-LEVY 9 est passée en juillet 1992 suffisamment près de Jupiter pour se
fragmenter et éclater en morceaux à cause des forces de marée de Jupiter. Les différents morceaux de la comète
se sont finalement écrasés sur Jupiter en juillet 1994 et cette collision a été suivie en détail et en direct par les
astronomes du monde entier. Le but de cet exercice est de comprendre, à l’aide d’un modèle simple, l’origine
de la fragmentation.
On supposera que le référentiel Jupiterocentrique RJ est galiléen et on négligera dans tout le problème les
effets dus au Soleil dans ce référentiel. Jupiter est supposée sphérique et homogène.
Données numériques : rayon de Jupiter : RJ = 71400 km, masse de Jupiter : MJ = 1, 91.1027 kg, constante
de gravitation : G = 6, 67.10−11 N.m2 .kg −2 , masse volumique de la glace : µC = 1, 00.103 kg.m−3 .
On cherche à déterminer la distance en dessous de laquelle un corps (ici la comète) s’approchant de Jupiter
se séparerait en plusieurs morceaux sous l’effet des forces de marée dues à Jupiter. Pour cela, on fait les deux
hypothèses suivantes :
• La comète de masse volumique µC est en orbite circulaire de rayon r autour de Jupiter.
• La comète est constituée de deux sphères identiques de masse m et de rayon d, homogènes
et disposées comme indiqué sur la figure cicontre. Les deux sphères (1) et (2) ne sont
liées entre elles que par leur attraction gravitationnelle mutuelle. On suppose que la disposition des sphères reste inchangée au cours
de la rotation de la comète, leurs centres étant
toujours alignés avec le centre de Jupiter.
On définit enfin le référentiel R 0 en rotation avec la comète autour de Jupiter ainsi que la base polaire
(~ur , ~uθ ) liée à ce référentiel.
1. En appliquant le théorème du centre de masse à la comète en mouvement dans le référentiel Jupiterocentrique , exprimer la vitesse ω de rotation de la comète autour de Jupiter. En utilisant le fait que d r, en
déduire la relation :
GMJ
ω2 '
r3
2. Le référentiel R 0 est-il galiléen ? Justifier.
3. Faire le bilan complet des forces exercées sur la partie (1) de la comète dans le référentiel R 0 , dans
le cas où le contact entre les deux sphères est maintenu, en distinguant les forces intérieures et les forces
extérieures.
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4. En traduisant l’équilibre de la sphère (1) dans le référentiel R 0 , montrer que l’action de contact N1
exercée par la sphère (2) s’écrit de manière approchée :
N1 =
GMJ m m 1
−
3
r2
4MJ 2
où = dr 1.
5. En déduire que le contact entre les deux sphères est rompu lorsque la distance r devient inférieure à
rlim (rlim est appelée limite de Roche). Exprimer rRlim
en fonction de µJ et µC . Faire l’application numérique.
J
6. En réalité, les observations ont montré que la fragmentation de la comète s’est produite lorsque celle-ci
est arrivée à une distance r0 = 1, 5RJ de Jupiter. Proposer une explication.
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